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ch2 统计学基础(数学)-1


第二章

统计学基础

一、总体和样本 总体: 研究对象的全体. 总体: 研究对象的全体 个体: 组成总体的每一个基本单元. 个体: 组成总体的每一个基本单元 样本: 总体的一部分。从总体中随机地抽取n个个体 样本: 总体的一部分。从总体中随机地抽取 个个体, 个个体, 个个体称为取自总体容量为n的样本 这n个个体称为取自总体容量为 的样本 个个体称为取自总体容量为 的样本. 问题:统计学中抽取样本的目的是什么? 问题:统计学中抽取样本的目的是什么?采取何种 方法进行抽样? 方法进行抽样?

简单随机抽样:样本具有代表性( 简单随机抽样:样本具有代表性(总体中每个个体被抽 到的机会均等, 与总体同分布)、相互独立性( )、相互独立性 到的机会均等, 与总体同分布)、相互独立性(每次抽 取结果不受其它次抽取结果影响, 取结果不受其它次抽取结果影响,也不影响其它次抽取 结果) 结果).

二、统计量
统计量:不含任何未知参数的样本的函数. 统计量:不含任何未知参数的样本的函数.
的样本, 设X 1 , X 2 , L , X n 是来自总体 X的样本,常用的统计量 有:
1. 样本均值 2. 样本方差 3. 样本协方差 4. 样本相关系数

三、随机变量的几种重要分布
正态分布, 分布, 分布, 正态分布, χ 2 分布, t分布,F分布

问题: 问题:
1. X ~ N( ? , σ 2 ), 则Y = X??

σ

~?

2. 相互独立的正态分布随 机变量的线性组合 ~ ? 3. X1 , X 2 , X n ~ N( ? , σ 2 ), 且相互独立,则 Y = 且相互独立, 1
n

σ2


i =1

(Xi ? ? )2 ~ ?

4. X1 ~ χ 2 (n 1 ), X 2 ~ χ 2 (n 2 ), 且相互独立,则 X1 + X 2 ~ ? 且相互独立, 1 ~? X 6. X ~ t(n ), 则X 2 ~ ? 5. X ~ F(m, n ), 则

四、统计推断
(一)基础——抽样分布 基础 抽样分布
的样本, 设X1 , X 2 , L , X n是来自于总体 X ~ N( ? , σ 2 )的样本,则 ( n ? 1) S 2 X与S 2相互独立, 相互独立, ~ χ 2 ( n ? 1). 2

σ

问题: 1. X ~ ? 问题
X?? 2. ~? S/ n

(二)参数估计
1. 点估计 (1) 矩估计法:以样本矩估计总体相应的矩,以样本 ) 矩估计法:以样本矩估计总体相应的矩, 矩的函数估计总体矩相应的函数

总体 k阶中心矩 E(X - ? )k , k阶原点矩 E(X k ) 1 n 1 n k 样本 k阶中心矩 ?k = ∑ (X i - X)k , k阶原点矩 ν k = ∑ X i n i =1 n i =1 的样本, 例1 设 X 1 , X 2 , L , X n是来自总体 X ~ N ( ? , σ 2 )的样本,求 ?和 σ 2
的矩估计量。 的矩估计量。
1 n ? ? = ∑ Xi n i =1 1 n n?1 2 ? S σ = ∑ ( X i - X) 2 = n i =1 n
2

(2)极大似然法 )
设 X 1 , X 2 , L , X n是来自总体 X的样本

1o .设总体X为离散型随机变量,其 分布律 P ( X = x ) 为离散型随机变量, = f (θ , x )已知, 求θ 的极大似然估计量 .
2o .设总体 X为连续型随机变量,其 分布密度 f (θ , x ) 为连续型随机变量, 已知, θ 未知.求θ 的极大似然估计量 .
求极大似然估计量的步骤
例2 设 X 1 , X 2 , L , X n是来自总体 X ~ N( ? , σ 2 )的样本, 的样本, 求 ?和 σ 2的极大似然估计量 .

2. 点估计的统计性质 小样本情形 (1)无偏性 ) (2)有效性 ) (3)最佳线性无偏性 ) 最佳线性无偏估计量(BLUE) 最佳线性无偏估计量( ) 讨论例1得到的矩估计量的无偏性. 例3 讨论例1得到的矩估计量的无偏性. 大样本情形 (1)渐近无偏性 ) (2)一致性 )

3. 区间估计

的样本, 例4 设 X 1 , X 2 , L , X n是来自总体 X ~ N ( ? , σ 2 )的样本, (1) σ 2已知,求 ?的置信系数为 1 ? α 的置信区间; 已知, 的置信区间; ( 2 ) σ 2未知,求 ?的置信系数为 1 ? α 的置信区间 . 未知,

(三) 假设检验
1. 假设检验的步骤 2. 单侧检验和双侧检验的选择 3. 两种类型的错误 第Ⅰ类错误:原假设正确,而拒绝原假设,称为以真为假 类错误:原假设正确,而拒绝原假设, 错误. 错误 类错误:原假设错误,但被接受,称为以假为真错误. 第Ⅱ类错误:原假设错误,但被接受,称为以假为真错误 H0正确 正确决策( α 正确决策(1-α) H0错误 第Ⅱ类错误 β 正确决策( β 正确决策(1-β)

接受H 接受 0

拒绝H 拒绝 0 第Ⅰ类错误 α

五、最小二乘法(OLS) 最小二乘法( )
1. 最小二乘原理 2. 最小二乘法的步骤

例5 广告费用及其效应分析
某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆, 某装饰材料公司欲以每桶 元的价钱购进一批彩漆,为了尽快 元的价钱购进一批彩漆 收回资金并获得较多的盈利,公司经理李先生打算做广告, 收回资金并获得较多的盈利,公司经理李先生打算做广告,于是便 找到广告公司进行咨询。李先生认为,随着彩漆价格的提高, 找到广告公司进行咨询。李先生认为,随着彩漆价格的提高,预期 销售量将减少,并对此进行了估算(见下表 见下表), 销售量将减少,并对此进行了估算 见下表 , 他问广告公司广告有 多大效应?根据经验, 多大效应?根据经验,广告公司给出了广告费与销售增长因子的关 见下表), 系(见下表 , 李经理看后迫切想知道最佳广告费和售价为多少时可 见下表 获得最大利润,广告公司会怎么解答? 获得最大利润,广告公司会怎么解答?
售价(元)X 售价( 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 销售量(千桶)Q 销售量 千桶) 千桶 41 38 34 32 29 28 25 22 20 广告费(元)P 广告费( 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 增长因子k 增长因子 1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80


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