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2015-2016学年福建省泉州市五校联考高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年福建省泉州市五校联考高二(下)期中数学试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若复数 (a∈R)是纯虚数,i 是虚数单位,则 a 的值是( )

A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2 2.下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上是减函数的为( A. B.y=x2 C. D.



3.设函数 f(x)=

,则 f(1+log23)的值为( D.12



A.

B.

C.

4.如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的 生产能耗 y(吨)的几组对应数据,根据表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =0.7x+0.35,则下列结论错误的是( )

x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 A.产品的生产能耗与产量呈正相关 B.t 的取值必定是 3.15 C.回归直线一定过点(4,5,3,5) D.A 产品每多生产 1 吨,则相应的生产能耗约增加 0.7 吨 5.在平面直角坐标系 xOy 中,满足 x2+y2≤1,x≥0,y≥0 的点 P(x,y)的集合对应的平 面图形的面积为 ;类似的,在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,满足 x2+y2+z2≤1,x≥0,y )

≥0,z≥0 的点 P(x,y,z)的集合对应的空间几何体的体积为( A. B. C. D.

6.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然 是错误的,是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 7.设 a,b∈(0,+∞) ,则 a+ C.推理形式错误 D.非以上错误 ( )

A.都不大于 2 B.都不小于 2 C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2

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8.已知曲线 C 的参数方程为

(t 为参数) ,C 在点(1,1)处的切线为 l,以坐

标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为( ) A.ρcosθ+ρsinθ=2 B.ρcosθ﹣ρsinθ=2 C.ρcosθ+ρsinθ= D.ρcosθ﹣ρsinθ= 9.[ ]表示不超过 的最大整数.若 S1=[ ]+[ ]+[ ]=3, S2=[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]=10, S3=[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]=21, …, 则 Sn=( ) A.n(n+2) B.n(n+3) C. (n+1)2﹣1 D.n(2n+1) 10.已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b) ,若 f(x)的图象如图所示,则函数 g x (x)=a +b 的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

11.定义在 R 上的偶函数 y=f(x)在[0,+∞)上递减,且 的 x 的集合为( A. D. ) B.

=0,则满足

C.

12.偶函数 f(x)满足 f(x)=f(2﹣x) ,且当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=cos 数 g(x)=f(x)﹣logax 有且仅有三个零点,则实数 a 的取值范围是( )

﹣1,若函

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A.

B.

C. (2,4) D. (3,5)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知集合 M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},则 M∪N= 14.函数 f(x)= 15. 在极坐标系中, 点P 的定义域为 . 的距离等于



. .

16. f =x2﹣1, =﹣2, 已知函数 f (x) 为奇函数, 当 x<0 时, (x) 若f (a) 则 a=

三、解答题:本大题共 5 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某城市随机抽取一年内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据,结果统计如表: [0, (50, (100, (150, (200, (250, API >300 50] 100] 150] 200] 250] 300] 空气质 中度重污 重度污 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 量 染 染 4 13 18 30 9 11 15 天数 (1) 若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S (单位: 元) 与空气质量指数 API (记为 ω) 的关系式为:

S=

, 试估计在本年内随机抽取一天, 该天经济损失 S 大于 200

元且不超过 600 元的概率; (2)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染,完成下面 2×2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关? 附: P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 k2= 非重度污染 重度污染 合计

供暖季 非供暖季 合计 18.已知函数 f(x)=a﹣ 是定义在(﹣1,1)上的奇函数.

100

(1)求 a 的值; (2)试判断函数 f(x)在(﹣1,1)上的单调性并证明; (3)若 f(x﹣1)+f(x)<0,求 x 的取值集合. 19.已知:sin230°+sin290°+sin2150°= ;
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sin25°+sin265°+sin2125°= ; sin212°+sin272°+sin2132°= ; 通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给予的证明. 20.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已 知在极坐标系中,A(3 , ) ,B(3, ) ,圆 C 的方程为 ρ=2cosθ.

(1)求在平面直角坐标系 xOy 中圆 C 的标准方程; (2)已知 P 为圆 C 上的任意一点,求△ABP 面积的最大值. 21.已知函数 f(x)=x|2a﹣x|+2x,a∈R. (1)若 a=0,判断函数 y=f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f(x)在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若存在实数 a∈(1,2]使得关于 x 的方程 f(x)﹣tf(2a)=0 有三个不相等的实数根, 求实数 t 的取值范围.

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2015-2016 学年福建省泉州市五校联考高二(下)期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若复数 A.2 B.1 (a∈R)是纯虚数,i 是虚数单位,则 a 的值是( C.﹣1 D.﹣2 )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 解即可得答案. 【解答】解: 由复数 = (a∈R)是纯虚数, = , ,再由已知条件列出方程组,求





解得 a=2. 故选:A. 2.下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上是减函数的为( A. B.y=x2 C. D. )

【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【分析】 本题利用函数的单调性和奇偶性定义判断选项中的函数是否符合条件, 得到本题结 论. 【解答】解:选项 A, ∵f(x)= ,f(﹣x)= ∴y= 是奇函数,不合条件; 选项 B, y=x2 在(0,+∞)单调递增,不合条件; 选项 C, ∵ ,f(﹣x)= , =﹣f(x) ,

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∴f(x)是偶函数,在区间(0,+∞)上是减函数,符合条件; 选项 D, ∵ ∴ ,f(﹣x)=( )﹣x=2x 不是偶函数,不符合条件. ,

故答案为:C.

3.设函数 f(x)=

,则 f(1+log23)的值为( D.12



A.

B.

C.

【考点】分段函数的应用. 【分析】根据分段函数的性质,把 x=1+log23 分别反复代入 f(x﹣1)直到 x≤0,再代入相 应的函数解析式,从而求解; 【解答】解:∵2<1+log23<3, ∴﹣1<1+log23﹣3<0, 即 f(1+log23)=f[(1+log23)﹣1)]=f(log23) ∵log23>0 f(log23)=f(log23﹣1) ,∵log23﹣1>0 ∴f(log23﹣1)=f(log23﹣2) , ∵log23﹣2=log2 ≤0, ∴f(log23﹣2)=f(log2 )=( ) 故选:C 4.如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的 生产能耗 y(吨)的几组对应数据,根据表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =0.7x+0.35,则下列结论错误的是( ) 6 4.5 =2 = ,

x 3 4 5 y 2.5 t 4 A.产品的生产能耗与产量呈正相关 B.t 的取值必定是 3.15 C.回归直线一定过点(4,5,3,5) D.A 产品每多生产 1 吨,则相应的生产能耗约增加 0.7 吨

【考点】线性回归方程. 【分析】先求出这组数据的 ,把 代入线性回归方程,求出 ,即可得到结果. 【解答】解:由题意, ∵ =0.7x+0.35,
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=

=4.5,

∴ =0.7×4.5+0.35=3.5, ∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3, 故选:B. 5.在平面直角坐标系 xOy 中,满足 x2+y2≤1,x≥0,y≥0 的点 P(x,y)的集合对应的平 面图形的面积为 ;类似的,在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,满足 x2+y2+z2≤1,x≥0,y )

≥0,z≥0 的点 P(x,y,z)的集合对应的空间几何体的体积为( A. B. C. D.

【考点】类比推理. 【分析】类似的,在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,满足 x2+y2+z2≤1,x≥0,y≥0,z≥0 的 点 P(x,y)的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的 ,即可得出结论. 【解答】解:类似的,在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,满足 x2+y2+z2≤1,x≥0,y≥0,z≥0 的点 P(x,y)的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的 ,即 故选:B. 6.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然 是错误的,是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 【考点】进行简单的演绎推理. 【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的,在使用三段论推理证明中,如 果命题是错误的, 则可能是“大前提”错误, 也可能是“小前提”错误, 也可能是推理形式错误, 我们分析的其大前提的形式:“有些…”,不难得到结论. 【解答】解:∵大前提的形式:“有些有理数是真分数”,不是全称命题, ∴不符合三段论推理形式, ∴推理形式错误, 故选 C. = ,

7.设 a,b∈(0,+∞) ,则 a+





A.都不大于 2 B.都不小于 2 C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2 【考点】不等式比较大小. 【分析】利用反证法证明,假设 a+ ,b+ 都小于或等于 2,然后找出矛盾,从而得到结论. 【解答】解:假设 a+ ,b+ 都小于或等于 2, 即 a+ ≤2,b+ ≤2, 将两式相加,得 a+ +b+ ≤4,
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又因为 a+ ≥2,b+ ≥2, 两式相加,得 a+ +b+ ≥4,与 a+ +b+ ≤4,矛盾 所以 a+ ,b+ 至少有一个不小于 2. 故选 D.

8.已知曲线 C 的参数方程为

(t 为参数) ,C 在点(1,1)处的切线为 l,以坐 )

标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为( A.ρcosθ+ρsinθ=2 B.ρcosθ﹣ρsinθ=2 C.ρcosθ+ρsinθ= D.ρcosθ﹣ρsinθ=

【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】化参数方程与普通方程,求出圆的圆心与半径,求出切线的斜率,然后求解切线方 程,转化为极坐标方程. 【解答】 解: 因为曲线 C 的参数方程为 (t 为参数) , 所以其普通方程为 x2+y2=2,

即曲线 C 为以原点为圆心, 为半径的圆. 由于点(1,1)在圆上,且该圆过(1,1)点的半径的斜率为 1, 所以切线 l 的斜率为﹣1,其普通方程为 x+y﹣2=0, 化为极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ=2. 故选:A. 9.[ ]表示不超过 的最大整数.若 S1=[ ]+[ ]+[ ]=3, S2=[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]=10, S3=[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]=21, …, 则 Sn=( ) A.n(n+2) B.n(n+3) C. (n+1)2﹣1 D.n(2n+1) 【考点】归纳推理. 【分析】先根据条件,观察 S1,S2,S3…的起始数、项数的规律,再根据规律归纳推理,得 到 Sn 的起始数、项数,从而求出 Sn. 【解答】解:第一个等式,起始数为:1,项数为:3=4﹣1=22﹣12,S1=1×3; 第二个等式,起始数为:2,项数为:5=9﹣4=32﹣22,S2=2×5; 第三个等式,起始数为:3,项数为:7=16﹣9═42﹣32,S3=3×7; … 第 n 个等式,起始数为:n,项数为: (n+1)2﹣n2=2n+1,Sn=n(2n+1) , (n∈N*) . 故选:D.

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10.已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b) ,若 f(x)的图象如图所示,则函数 g x (x)=a +b 的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】指数函数的图象变换;函数的零点与方程根的关系. 【分析】根据题意,易得(x﹣a) (x﹣b)=0 的两根为 a、b,又由函数零点与方程的根的关 系,可得 f(x)=(x﹣a) (x﹣b)的零点就是 a、b,观察 f(x)=(x﹣a) (x﹣b)的图象, 可得其与 x 轴的两个交点分别在区间(﹣∞,﹣1)与(0,1)上,又由 a>b,可得 b<﹣1, 0<a<1;根据函数图象变化的规律可得 g(x)=aX+b 的单调性即与 y 轴交点的位置,分析 选项可得答案. 【解答】解:由二次方程的解法易得(x﹣a) (x﹣b)=0 的两根为 a、b; 根据函数零点与方程的根的关系,可得 f(x)=(x﹣a) (x﹣b)的零点就是 a、b,即函数 图象与 x 轴交点的横坐标; 观察 f(x)=(x﹣a) (x﹣b)的图象,可得其与 x 轴的两个交点分别在区间(﹣∞,﹣1) 与(0,1)上, 又由 a>b,可得 b<﹣1,0<a<1; 在函数 g(x)=ax+b 可得,由 0<a<1 可得其是减函数, 又由 b<﹣1 可得其与 y 轴交点的坐标在 x 轴的下方; 分析选项可得 A 符合这两点,BCD 均不满足; 故选 A.

11.定义在 R 上的偶函数 y=f(x)在[0,+∞)上递减,且 的 x 的集合为( A. D.
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=0,则满足

) B. C.

【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】由于函数 y=f(x)为 R 上的偶函数,所以 f(x)=f(|x|) ,又由于 y=f(x)在[0, +∞)上单调递减,所以要求的 ? ?

,然后解出含绝对值的对数不等式即可.

【解答】解:因为定义在 R 上的偶函数 y=f(x)在[0,+∞)上递减,且

=0,则满足

?

?

?



? 0<x

< 或 x>2 故选 D.

12.偶函数 f(x)满足 f(x)=f(2﹣x) ,且当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=cos 数 g(x)=f(x)﹣logax 有且仅有三个零点,则实数 a 的取值范围是( A. B. C. (2,4) D. (3,5) )

﹣1,若函

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】由题意可得,函数 f(x)的图象既关于 y 轴对称又关于 x=1 对称,函数 f(x)是 周期为 2,函数 y=f(x)的图象

和函数 y=logax 有的图象有且仅有 3 个交点,数形结合可得

,由此求得 a 的

范围. 【解答】解:∵偶函数 f(x)满足 f(x)=f(2﹣x) , 故函数的图象既关于 y 轴对称又关于 x=1 对称, 故函数 f(x)是周期为 2. 由当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=cos ﹣1,

可得函数 f(x)的图象, 如图所示: 由题意可得,函数 y=f(x)的图象 和函数 y=logax 有的图象有且仅有 3 个交点,

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故有

,求得 <a< ,

故选:A.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知集合 M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},则 M∪N= 【考点】并集及其运算. 【分析】由题意求出集合 N,然后直接利用并集运算得答案. 【解答】解:∵M={0,1,3}, ∴N={x|x=3a,a∈M}={0,3,9}, 则 M∪N={0,1,3,9,}. 故答案为:{0,1,3,9}.

{0,1,3,9} .

14.函数 f(x)=

的定义域为

(﹣2,1] .

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据二次根式的定义可知 1﹣x≥0 且根据对数函数定义得 x+2>0,联立求出解集 即可. 【解答】解:因为 f(x)= 函数定义得 x+2>0② 联立①②解得:﹣2<x≤1 故答案为(﹣2,1] ,根据二次根式定义得 1﹣x≥0①,根据对数

15.在极坐标系中,点 P

的距离等于



【考点】点到直线的距离公式;点的极坐标和直角坐标的互化. 【分析】点的极坐标和直角坐标的互化,极坐标方程化为直角坐标方程,然后用点到直线的 距离来解.

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【解答】解:在极坐标系中,点 P 化为 P 故答案为: .

化为直角坐标为 , 到

, 的距离,即为 .

的距离,所以距离为

16.已知函数 f(x)为奇函数,当 x<0 时,f(x)=x2﹣1,若 f(a)=﹣2,则 a= 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】利用 f(a)=﹣2,分类讨论,即可求出 a 的值. 【解答】解:∵f(a)=﹣2, ∴若 a<0,则 a2﹣1=﹣2,方程无解; 若 a>0,则﹣a<0,依题意,f(﹣a)=(﹣a)2﹣1=2, ∴a= . 故答案为: .



三、解答题:本大题共 5 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某城市随机抽取一年内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据,结果统计如表: [0, (50, (100, (150, (200, (250, API >300 50] 100] 150] 200] 250] 300] 空气质 中度重污 重度污 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 量 染 染 4 13 18 30 9 11 15 天数 (1) 若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S (单位: 元) 与空气质量指数 API (记为 ω) 的关系式为:

S=

, 试估计在本年内随机抽取一天, 该天经济损失 S 大于 200

元且不超过 600 元的概率; (2)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染,完成下面 2×2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关? 附: P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 k2= 非重度污染 重度污染 合计

供暖季 非供暖季 合计 【考点】独立性检验的应用.

22 63 85

8 7 15

30 70 100

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【分析】 (1)由 200<S≤600,得 150<ω≤250,频数为 39,即可求出概率; (2)根据所给的数据,列出列联表,根据所给的观测值的公式,代入数据做出观测值,同 临界值进行比较,即可得出结论. 【解答】解: (1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元” 为事件 A… 由 200<S≤600,得 150<ω≤250,频数为 39,… ∴P(A)= ….

(2)根据以上数据得到如表: 非重度污染 重度污染 22 8 供暖季 7 非供暖季 63 85 15 合计 …. K2 的观测值 K2=

合计 30 70 100

≈4.575>3.841….

所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关.….

18.已知函数 f(x)=a﹣

是定义在(﹣1,1)上的奇函数.

(1)求 a 的值; (2)试判断函数 f(x)在(﹣1,1)上的单调性并证明; (3)若 f(x﹣1)+f(x)<0,求 x 的取值集合. 【考点】函数单调性的性质. 【分析】 (1)根据题意,f(x)为奇函数且在原点有定义,从而有 f(0)=0,这样便可解出 a 的值; (2)根据反比例函数、指数函数及复合函数的单调性便可判断 f(x)在(﹣1,1)上为增 函数,根据增函数的定义:设任意的 x1,x2∈(﹣1,1) ,且 x1<x2,然后作差,通分,根 据指数函数的单调性及值域便可得出 f(x1)<f(x2) ,这样便得出 f(x)在(﹣1,1)上 为增函数; (3)根 f(x)为奇函数便可由 f(x﹣1)+f(x)<0 得到 f(x﹣1)<f(﹣x) ,再由 f(x)

在定义域(﹣1,1)上为增函数便可得到

,从而解该不等式组即可得出 x

的取值范围. 【解答】解: (1)由题意得 (2)由(1)可知 证明如下: 设﹣1<x1<x2<1,则: f (x1)﹣f (x2)
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; ,函数 f (x)在区间(﹣1,1)上为增函数;

=

=

= ∵﹣1<x1<x2<1; ∴





∴f(x1)<f(x2) ; ∴f(x)在(﹣1,1)上为增函数; (3)f(x﹣1)+f(x)<0?f(x﹣1)<﹣f(x) 因为 f(x)为奇函数,所以﹣f(x)=f(﹣x) ; 则不等式可变形为 f(x﹣1)<f(﹣x) ,因为 f(x)在(﹣1,1)上为增函数;

所以



解得

; .

∴x 的取值集合为

19.已知:sin230°+sin290°+sin2150°= ; sin25°+sin265°+sin2125°= ; sin212°+sin272°+sin2132°= ; 通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给予的证明. 【考点】归纳推理. 【分析】 通过所给的等式归纳出一般形式, 利用二倍角的余弦公式将等式的左边降幂求出左 边的值,即得到证明. 【解答】解:一般形式:sin2α+sin2(α+60°)+sin2(α+120°)= … 证明 = 左边= …

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= sin2αsin240°]… = = =右边 ∴原式得证… …



(将一般形式写成 sin2(α﹣60°)+sin2α+sin2(α+60°)= ,sin2(α﹣240°)+sin2(α﹣120°) +sin2α= 等均正确,其证明过程可参照给分. )

20.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已 知在极坐标系中,A(3 , ) ,B(3, ) ,圆 C 的方程为 ρ=2cosθ.

(1)求在平面直角坐标系 xOy 中圆 C 的标准方程; (2)已知 P 为圆 C 上的任意一点,求△ABP 面积的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,可得圆的直角坐标方程; (2)求得 A,B 的直角坐标,即可得到直线 AB 的方程;求得 AB 的距离和圆 C 和半径, 求得圆 C 到直线 AB 的距离,由圆 C 上的点到直线 AB 的最大距离为 d+r,运用三角形的面 积公式,即可得到所求最大值. 【解答】解: (1)由 ρ=2cosθ,可得:ρ2=2ρcosθ,所以 x2+y2=2x … 故在平面直角坐标系中圆的标准方程为: (x﹣1)2+y2=1 (2)在直角坐标系中 A(0,3 所以|AB|= 所以圆心到直线 AB 的距离 d= 所以圆 C 上的点到直线 AB 的最大距离为 故△ABP 面积的最大值为 S= ) ,B( , ) x+y=3

=3,直线 AB 的方程为: = +1 = … ,又圆 C 的半径为 1,

21.已知函数 f(x)=x|2a﹣x|+2x,a∈R. (1)若 a=0,判断函数 y=f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f(x)在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若存在实数 a∈(1,2]使得关于 x 的方程 f(x)﹣tf(2a)=0 有三个不相等的实数根, 求实数 t 的取值范围. 【考点】分段函数的应用;根的存在性及根的个数判断. 【分析】 (1)若 a=0,根据函数奇偶性的定义即可判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)根据函数单调性的定义和性质,利用二次函数的性质即可求实数 a 的取值范围; (3)根据方程有三个不同的实数根,建立条件关系即可得到结论.
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【解答】解: (1)函数 y=f(x)为奇函数. 当 a=0 时,f(x)=x|x|+2x, ∴f(﹣x)=﹣x|x|﹣2x=﹣f(x) , ∴函数 y=f(x)为奇函数; (2)f(x)= ,

当 x≥2a 时,f(x)的对称轴为:x=a﹣1; 当 x<2a 时,y=f(x)的对称轴为:x=a+1; ∴当 a﹣1≤2a≤a+1 时,f(x)在 R 上是增函数, 即﹣1≤a≤1 时,函数 f(x)在 R 上是增函数; (3)方程 f(x)﹣tf(2a)=0 的解即为方程 f(x)=tf(2a)的解. 由 a∈(1,2]知 2a>a+1>a﹣1,∴y=f(x)在(﹣∞,a+1)上单调增,在(a+1,2a)上 单调减, 在(2a,+∞)上单调增, ∴当 f(2a)<tf(2a)<f(a+1)时,关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数 根; 即 4a<t?4a<(a+1)2, ∵a>1,∴ 设 , ,

∵存在 a∈(1,2]使得关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根, ∴1<t<h(a)max, 又可证 ∴h(a)max= , ∴1<t< . 在(1,2]上单调增

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2016 年 8 月 25 日

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