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优化方案2016高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示新人教A版必修4

§6 平面向量数量积的坐标表示 , ) 1.问题导航 (1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗? (2)向量有几种表示方法?由于表示方法的不同,计算数量积的方法有什么不同? (3)由向量夹角余弦值的计算公式可知,两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有 什么关系? 2.例题导读 P96 例 1.通过本例学习, 学会利用平面向量数量积的坐标表示计算两向量夹角的余弦值. 试一试:教材 P99 练习 T1 你会吗? P98 例 2,P99 例 3.通过此二例学习,体会向量在解析几何中的应用,学会利用平面向量 的数量积求曲线的方程. 试一试:教材 P100 习题 2-6B 组 T6 你会吗? P99 例 4.通过本例学习,学会利用向量的夹角公式求两条直线的夹角. 试一试:教材 P100 习题 2-6A 组 T6 你会吗? 1.向量数量积的坐标表示 向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于相应坐 标乘积的和.简记为“对应相乘计算和”. 2.两个向量垂直的坐标表示 向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0. 3.度量公式 长度 2 2 2 2 2 向量 a=(x,y),则|a|= x +y 或|a| =x +y 公式 距离 → P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),则|P1P2|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 公式 夹角 公式 非零向量 a 与 b 的夹角为 θ ,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有 cos θ = = |a||b| x1x2+y1y2 2 2 x2 x2 1+y1· 2+y2 a·b 4.直线 l 的方向向量 给定斜率为 k 的直线 l,则向量 m=(1,k)与直线 l 共线,把与直线 l 共线的非零向量 m 称为直线 l 的方向向量. 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线 x+2y-1=0 的方向向量为(1,2).( ) (2) 若 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) , 则 向 量 a , b 的 夹 角 θ x1x2+y1y2 .( ) 2 2 x2 x2 1+y1 2+y2 满 足 cos θ = 1 → (3)若 A(1,0),B(0,-1),则|AB|= 2.( ) 1 解析:(1)错误.直线 x+2y-1=0 的方向向量为(1,- ). 2 (2)错误.当 a≠0 且 b≠0 时,向量 a,b 的夹角θ 满足 cos θ = x1x2+y1y2 ,即向 2 2 x +y1 x2 2+y2 2 1 量夹角公式的适用范围是 a≠0 且 b≠0. (3)正确.由两点间的距离公式,得 → 2 2 |AB|= (0-1) +(-1-0) = 2. 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.已知向量 a=(-4,7),向量 b=(5,2),则 a·b 的值是( ) A.34 B.27 C.-43 D.-6 解析:选 D.因为 a=(-4,7),b=(5,2),所以 a·b=(-4,7)·(5,2)=-4×5+ 7×2=-20+14=-6. π 3.已知向量 a=(1, 3),b=(3,m). 若向量 a,b 的夹角为 ,则实数 m=( ) 6 A.2 3 B. 3 C.0 D.- 3 解析:选 B.因为 a·b=(1, 3)·(3,m)=3+ 3m, π 2 2 2 2 又 a·b= 1 +( 3) × 3 +m ×cos , 6 π 2 2 2 2 所以 3+ 3m= 1 +( 3) × 3 +m ×cos ,所以 m= 3. 6 1.对向量数量积的坐标运算与度量公式的两点说明 (1)向量的坐标运算实现了向量运算的代数化,其将数与形紧密联系在一起,使向量的 运算方式得到拓展. (2)向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度, 其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离, 如 a=(x, y), → → 则在平面直角坐标系中, 一定存在点 P(x, y),使得OP=a=(x,y),故|OP|=|a|= x2+y2, → → 即|a|为点 P 到原点的距离;同样若 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),故|AB| 2 2 = (x2-x1) +(y2-y1) ,即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式.由此可知向量 的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算. 2.在不同表示形式下求向量夹角的策略 (1)当 a,b 是非坐标形式时,求 a 与 b 的夹角,需求出 a·b,|a|和|b|或直接得出它 们之间的关系. x1x2+y1y2 (2)当 a,b 是坐标形式时,则可直接利用公式 cos θ = 2 (其中 a=(x1, 2 x1+y2 x2 1· 2+y2 y1),b=(x2,y2))求解. 3.如何用向量所成的角来判断直线所成的角 可以借助向量所成的角来判断直线所成的角, 但必须注意两者的范围不同, 向量夹角的 ? π? 范围是[0,π ],而直线夹角的范围是?0, ?. 2? ? 设 m,n 分别为直线 l1,l2(l1 与 l2 不重合)的方向向量,θ 为 m 与 n 的夹角,α 为 l1 与 l2 所成的角,则 (1)当 θ =0°或 180°时,l1∥l2,此时 α =0°, 2 (2)当 0°<θ ≤90°时,l1 与 l2 所成的角 α =θ , (3)当 90°<θ <180°时,l1 与 l2 所成的角 α =180°-θ . 平面向量数量积的坐标运算 已知向量 a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1).求: (1)a·b; (2)(a+b)·(2a-b); (3)(a·b)c, a(b·c);(4)(a+b)2,(a+b)·(a-b). (链接教材 P98 例 1) [解] (1)a·b=(1,3)·(2

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