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广东省江门市2015届普通高中高三调研测试数学(理)试卷


广东省江门市 2015 届普通高中高三调研测试 数学(理)试卷
本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 注意事项: ⒈答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 ⒉做选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其它答案标号。 ⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。 ⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。 ⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.
1 3

(a ? b) 3 ? a 3 ? 3a 2 b ? 3ab 2 ? b 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. ⒈已知 R 为实数集, A ? ?x | 2 x ? 3 ? 3x? , B ? ?x | x ? 2? ,则 A ? B ? A. ?x | x ? 2? ⒉ i 是虚数单位,则 ( A. 1 ⒊已知三个实数: a A. a ? b ? c ⒋已知 a A.充分非必要条件 C. 非充分非必要条件 B. ?x | x ? ?3?
3 1 1 3 i ? )(? ? i) ? 2 2 2 2 B. ? 1 ? 3 i 2 2
1 ? 32

C. ?x | 2 ? x ? 3?

D. R

C. 1 ?
2
2

3 i 2

D. ? 1 ?
2

3 i 2

、 b ? ( 1 ) 3 、 c ? log3 1 ,它们之间的大小关系是
2

B. a ? c ? b

C. b ? c ? a B.必要非充分条件 D.充要
3 2
正视图

D. b ? a ? c

是非零向量, b ? c ,则“ a ? b ? a ? c ”是“ a ? (b ? c ) ”成立的

条件 图分别是直角三
4
侧视图

⒌如图 1, 某几何体的正视图、 侧视图和俯视

角形、等腰三角形和半圆,则该几何体的体 A. 4 C. 2? B. 8 D. 4?

积为

图1
俯视图

⒍在 ?ABC中, ?A 、 ?B 、 ?C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 ?A ? 750 、 ?B ? 600 、 c ? 10 ,则 b ? A. 5
3

B. 5

6

C. 10
3 4

3

D. 10

6

⒎在同一直角坐标系中,直线 x ? y ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的位置关系是 A.直线经过圆心 B.相交但不经过圆心 C.相切 D.相离

⒏已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则常数 a 的取值范围 是 A. (?? ,
? 2)

B. (?? ,

? 1)

C. (1 ,

? ?)

D. ( 2 ,

? ?)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) ⒐双曲线 9x 2 ? 16 y 2 ? 144 的离心率 e ?
( x , y ) 在△ABC

. , z ? 2 x ? y 的最大值是 是 . .

⒑△ABC 是等腰直角三角形,已知 A(1,1),B(1,3),AB⊥BC,点 C 在第一象限,点 内部,则点 C 的坐标为 ⒒如图 2,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别 点 , 则 异 面 直 线 A1M 与 DN 所 成 角 的 大 小 是 CD、 CC1 的中

⒓ 若

x?0 ?? x , f ( x) ? ? 2 ?x ? 2x , x ? 0

, 则

f ( x)

的 最 小 值
图2





⒔已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? ? 1 ,a n ? 1 ?
4

1 a n ?1

( n ?1 ) ,计算并观察数列 ?a n ? 的前若干项,根据 .

前若干项的变化规律推测, a 2015 ?

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ⒕计算定积分: ?1
4

1 x

dx ?



⒖已知定义在区间 是 .

(?? , ? )

上的函数

f ( x) ? x sin x ? cos x

,则

f ( x)

的单调递增区间

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) , x ? R . ⑴求 f ( x) 的最小正周期 T 和最大值 M ; ⑵若 f (? ? ? ) ? ? 1 ,求 cos? 的值.
2 8 3

⒘(本小题满分 14 分) 已知 ?a n ? 是等差数列, a 2 ? 3 , a 3 ? 5 . ⑴ 求数列 ?a n ? 的通项公式; ⑵ 对一切正整数 n ,设 bn ?
(?1) n n a n ? a n ?1

,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 S n .

⒙(本小题满分 14 分) 如图 3,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD ABCD,PD=DC.E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB ⑴求证:PA//平面 EDB;
F P

是 正 方 形 , 侧 棱 PD⊥ 底 面 于点 F.
E

D

C
B

A

图3

⑵求证:PF= 1 PB;
3

⑶求二面角 C-PB-D 的大小.

⒚(本小题满分 12 分) 一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方 成正比,如果此船速度是 10km/h,那 .. 么每小时的燃料费是 80 元. 已知船航行时其他费用为 500 元/时, 在 100 km 航程中, 航速多少时船行驶总费用最少?此时总费用多少元?

⒛(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B 的坐标分别是 ( 0 , 相交于点 M,且它们的斜率之积是 ? 1 .
2
? 3 ) 、 ( 0 , 3 ) ,直线

AM、BM

⑴求点 M 的轨迹 L 方程; ⑵若直线 l 经过点 P( 4 , 1 ) ,与轨迹 L 有且仅有一个公共点,求直线 l 的方程.

21(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 1 ( a ? R 是常数) . ⑴设 a ? ?3 , x ? x1 、 x ? x2 是函 数 y ? f ( x) 的极 值点,试 证明曲 线 y ? f ( x) 关于 点
M( x1 ? x2 x ? x2 , f( 1 ) ) 对称; 2 2

⑵是否存在常数 a ,使得 ?x ?[ ? 1 , 取值范围;若不存在,请说明理由.

5 ] , | f ( x) |? 33 恒成立?若存在,求常数 a 的值或

(注:曲线 y ? f ( x) 关于点 M 对称是指,对于曲线 y ? f ( x) 上任意一点 P ,若点 P 关于 M 的对称点为 Q ,
则 Q 在曲线 y ? f ( x) 上. )

评分参考 一、选择题 BDAD CBBA 二、填空题 ⒐5 ⒒? ⒕2 三、解答题 ⒗解:⑴ f ( x) ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ??2 分, ?
2 2 sin(2 x ? ) ? 1 ??4 4
2 ? 1 ??6

4

⒑(3,3), 3 ??第 1 空 3 分(横坐标、纵坐标、格式各 1 分) ,第 2 空 2 分 ⒓ ?1
2

2

⒔5
2

⒖ (?? , ? ? ] 和 [0 , ? ] ??端点对给分;对 1 个给 3 分,全对 5 分
?

分 分

最小正周期 T ? 2? ? ? ??5 分,最大值 M ? ⑵依题意, 即
2 sin[2(

?
2

?

?

? 1 ) ? ] ? 1 ? ? ??7 8 4 3
2 2 3



2 sin? ? 1 ? ?

1 ??8 3

分, sin ? ? ? 分

??10 分

cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?

1 ??12 3

⒘解:⑴依题意,数列 ?a n ? 的公差 d ? a3 ? a 2 ? 2 ??2 分 ∵ a 2 ? a1 ? d ??3 分,∴ a1 ? a2 ? d ? 1 ??4 分 (或:设数列 ?a n ? 的公差为 d ,则 ?
?a1 ? d ? 3 ??2 ?a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 ??4 ?d ? 2

分,解得 ?

分)

数列 ?a n ? 的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 ??6 分 ⑵ 由⑴得 an?1 ? 2n ? 1 , bn ?
1 ( ?1) n (?1) n ? [ ? ] ??9 4 2n ? 1 2n ? 1

(?1) n n (?1) n n ? a n ? a n ?1 (2n ? 1)( 2n ? 1)

??7 分



(?1) n (?1) n 1 1 1 1 n ? 1 时, S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? {(?1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? [ ? ]} 4 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

??11 分, ? 1 [?1 ? (?1)
4

n

2n ? 1

]?

(?1) n ? 2n ? 1 ??13 4(2n ? 1)

分 分

n ? 1 时, S1 ? b1 ? ?

n 1 也符合上式,∴ ?n ? N * , S n ? (?1) ? 2n ? 1 ??14 4(2n ? 1) 3

⒙证明与求解: (方法一) ⑴连接 AC,交 BD 于 O,连接 OE,则 O 是 AC 的中点??1 分 OE 是△PAC 的中位线,OE//PA??2 分 OE ? 平面 EDB,PA ? 平面 EDB, ,∴PA//平面 EDB??4 分 ⑵∵PD⊥底面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,∴PD⊥BC??5 分 ∵ABCD 是正方形,∴BC⊥CD,∵PD ? CD=D,∴BC⊥平面 PCD??6 分 BC⊥PC,EF⊥PB,∠BPC 是公共角,∴△ PEF~△ PBC??7 分 设 PD=DC ? a ,则 PC ?
2a ,PB ? 3a , PF ?
PE 3 1 ? PC ? a= PB 3 3

PB??8 分

⑶由⑵知 BC⊥平面 PCD,∴BC⊥DE??9 分 ∵PD=DC,E 是 PC 的中点,∴PC⊥DE,∵PC ? BC=C,∴DE⊥平面 PBC??10 分 DE⊥PB,EF⊥PB,DE ? EF=E,∴PB⊥平面 DEF??11 分 ∴PB⊥DF,∠DFE 是二面角 C-PB-D 的平面角??12 分 在△DFE 中,∵DE⊥平面 PBC,∴DE⊥EF,DE ?
EF ?
2 a ??13 2



PE 6 DE ? ? BC ? a ,tan∠DFE ? ? 3 ,∠DFE ? ??14 分 PB 6 EF 3 (方法二)⑴以 D 为原点, DA 、 DC 、 DP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空

间直角坐标系??1 分,设 PD=DC=1,则 D(0 , P(0 , 0 , 1) ??2 分,

0 , 0) , A(1 , 0 , 0) , B(1 , 1 , 0) , C (0 , 1 , 0) ,

连接 AC,交 BD 于 O,连接 OE,则 O 是 AC 的中点, O( 1 , E 是 PC 的中点,∴ E(0 ,
1 1 1 1 , ) , OE ? (? , 0 , ) ??4 2 2 2 2

1 , 0) ??3 2 2





分 OE ? 平面 EDB,PA ? 平面 EDB, ,∴PA//平面 EDB??6 分 ⑵设 PF ? ? PB ? ?(1 , 1 , ? 1) ??7 分,
2 1 ∵EF⊥PB,∴ EF ? PB ? (? , ? ? , ? ? ? 1 ) ? (1 , 1 , ? 1) ? 0 ??9 分 2 2 1 1 即 3? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? ,PF= PB??10 分 3 3 1 1 1 ⑶由⑵知 EF ? ( , ? , ) , DF ? DP ? PF ? (? , ? , 1 ? ?) ? ( 1 , 1 , 2 ) ??11 分 3 3 3 3 6 6 1 1 2 DF ? PB ? ( , , ) ? (1 , 1 , ? 1) ? 0 ,∴DF⊥PB,∠DFE 是二面角 C-PB-D 的平面角?? 3 3 3 分, cos ?DFE ? DF ? EF ? 1 ??13 分,∠DFE ? ? ??14 分 3 | DF || EF | 2

PA ? (1 , 0 , ? 1) , PA ? ?2OE ,PA//OE??5

则 EF ? EP ? PF ? (? , ? ? 1 , ? ? ? 1 ) ??8 分
2

12

⑶(方法三)平面 PBD 的一个法向量是 AC ? (?1 , 1 , 平面 PBC 的一个法向量是 DE ? (0 ,
cos ? AC, DE ?? AC ? DE | AC | ? | DE | ? 1 ??13 2

0) ??11



1 1 , ) ??12 2 2




3

所以, ? AC, DE ?? ? ,二面角 C-PB-D 的大小为 ? ??14 分
3

(各评卷点、评卷教师请注意:本题方法一⑴⑵⑶问的给分依次是 4 分、4 分、 6 分,而方法二三⑴⑵⑶问的给分依次是 6 分、4 分、4 分,因此,本题的给分板⑴ ⑵⑶问分别设计为 6 分、4 分、6 分,评卷时要么按方法一给分,要么按方法二三给 分) ⒚解:设每小时燃料费与航速平方的比例系数为 k ,则 80 ? k ? 102 ??1 分 解得 k ? 4 ??2 分
5

设航速为 x km/h 时,总费用为 y 元,则
4 2 100 100 50000 ??6 分 x ? ? ? 500 ??5 分, ? 80x ? 5 x x x 50000 (方法一)令 y / ? 80 ? 2 ? 0 ??8 分,解得 x ? 25 (负值舍去)??9 x y?



0 ? x ? 25 时, y / ? 0 , x ? 25 时, y / ? 0 ,∴ x ? 25 是极小值点,也是最小值点

??10 分,此时 y ? 80 ? 25 ? 50000 ? 4000 (元)??11 分
25

(方法二)∵ x ? 0 ,∴ y ? 2
x

80 x ?

50000 x

??8 分, ? 4000 (元)??9 分

等号成立当且仅当 80x ? 50000 ??10 分,解得 x ? 25 (负值舍去)??11 分 答:航速为 25km/h 时,总费用最少,此时总费用为 4000 元??12 分 ⒛解:⑴设 M( x , y )是轨迹上任意一点, k AM 依题意, k AM ? k BM
?

?

y ?3 y ?3 1 ? ? ? ??4 分 x x 2 2 2 y x 整理化简得轨迹方程为 ? ? 1 ,其中 x ? 0 ??6 分 18 9 ⑵显然所求直线 l 存在斜率,设 l : y ? 1 ? k ( x ? 4) ??7 分 ①当直线 l 经过 A 点时, k ? ? 3 ? 1 ? 1 ??8 分,代入 y ? 1 ? k ( x ? 4) 得 y ? x ? 3 0?4

y?3 , k BM ? y ? 3 ??2 x x



??9 分; ②当直线
1 y ? ? x ? 3 ??11 2
l

经 过 B 点 时 , k ? 3 ? 1 ? ? 1 ? ? 10 分 , 代 入
0?4 2

y ? 1 ? k ( x ? 4)





③当点 P

? x2 y2 ? ?1 为切点时,由 ? 得 ? 18 9 ? y ? 1 ? k ( x ? 4) ?

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4k (4k ? 1) x ? (32k 2 ? 16k ? 16) ? 0 ??12



解 ? ? [?4k (4k ? 1)]2 ? 4(2k 2 ? 1)(32k 2 ? 16k ? 16) ? k 2 ? 4k ? 4 ? 0 得 k ? ?2 ??13 分 代入 y ? 1 ? k ( x ? 4) 得 y ? ?2 x ? 9 , 综上所述, 直线 l 的方程为 y ? ? 1 x ? 3 或 y ? x ? 3 或
2
y ? ?2 x ? 9 ??14

分 (注:①②③三种情况独立给分)

21.证明与求解:⑴ f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1 , f / ( x) ? 3x 2 ? 6x ??1 分 解 f / ( x) ? 0 得 x1 ? 0 , x2 ? 2 ??2 分,
M(



x1 ? x2 x ? x2 , f( 1 ) ) 即 M (1 , ? 3 ) ??3 分 2 2 线 y ? f ( x) 上 任 意 一 点 P( x0 , x0 3 ? 3x0 2 ? 1)
3 2

关 于 M 对 称 的 点 为

Q(2 ? x0 , ? x0 ? 3x0 ? 5 ) ??4



直接计算知,f (2 ? x0 ) ? (2 ? x0 ) 3 ? 3(2 ? x0 ) 2 ? 1 ? ?x0 3 ? 3x0 2 ? 5 , 点 Q 在曲线 y ? 所以,曲线 y ? f ( x) 关于点 M 对称??5 分 ⑵(方法一) | f ( x) |? 33 即 | x 3 ? ax 2 ? 1|? 33 , ? 33 ? x 3 ? ax 2 ? 1 ? 33 ??6 分 x ? 0 时,不等式恒成立??7 分;
x ? 0 时,不等式等价于 ?

f ( x) 上,

32 ? x 3 34 ? x 3 ? a ? ??8 分 x2 x2 3 64 34 ? x 3 34 g ( x ) ? ? ?x ? 2 作 g1 ( x) ? ? 32 ?2 x ? ? x ? 32 , , g 1 / ( x ) ? ?1 ? 3 2 2 2 x x x x x 68 / g 2 ( x ) ? ?1 ? 3 ??9 分,解 g1 / ( x) ? 0 、 g 2 / ( x) ? 0 得 x1 ? 4 、 x2 ? ?3 68 ??10 分 x (4 , 5 ] (0 , 4) [ ? 1 , 0) x 4



g1 ( x)
g1 ( x)

/

- ↘ + ↗

+ ↗ - ↘
32 ? x 3 x2

0 极大值 -

- ↘ - ↘

g 2 ( x)
g 2 ( x)

/

??12 分
g1 (?1) ? ?31 , g1 (4) ? ?6 , g1 ( x) ? ?

在 [?1 ,

0) ? (0 , 5] 的最大值为 ? 6 ; g 2 (?) ? 35 ,

g 2 (5) ? ?

34 ? x 3 91 , g 2 ( x) ? 2 25 x

在 [?1 ,

0) ? (0 , 5] 的最小值为 ?

91 ??13 25



综上所述, a 的取值范围为 [?6 ,

?

91 ] ??14 25



(方法二) f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ,a ? 0 时, f ( x) ? x 3 ? 1不符合题意,∴ a ? 0 ,解 f / ( x) ? 0 得 x1 ? 0 , x2 ? ? 2a ??6 分
3

当 x2 ? ? 2a ?[?1 ,
3

5] 时, f ( x) 在 [?1 , 5] 内的极值点为 x1 ??7
15 3 ? ?a ? ? 2 或a ? 2 ? 分,即 ?| a ? 2 |? 33 ?| 25a ? 124 |? 33 ? ?

分,| f ( x) |? 33 当且仅当

2a ? 2a ?? 3 ? 5或 ? 3 ? ?1 ? ?| f (0) |? 33 ??8 ? ?| f ( ?1) |? 33 ? ? ?| f (5) |? 33

??9 分,解集为空集 ? ??10 分

当 x2 ? ? 2a ?[?1 ,
3

5] f ( x) 在 [?1 , 5] 内的极值点为 x1 、 x2 ??11

分, | f ( x) |? 33 当且仅



2a ? ?? 1 ? ? 3 ? 5 ? ?| f (0) |? 33 ? 2a ? ?| f ( ? ) |? 33 3 ? ?| f ( ?1) |? 33 ? ?| f (5) |? 33 ? ?

? ? 12 分 , 即

3 ? 15 ?? 2 ? a ? 2 ? ?| 4 a 3 ? 1 |? 33 ? ? 27 ?| a ? 2 |? 33 ?| 25a ? 124 |? 33 ?

? ? 13 分 , 解 集 为

[?6 , ?

91 ] 25



∵ [?6 ,

?

91 91 91 ] ? ? ? [?6 , ? ] ,∴ a 的取值范围为 [?6 , ? ] ??14 25 25 25




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