koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

例谈“裂项求和法”求数列的前n项和

例谈“裂项求和法”求数列的前 n 项和
江苏省六合高级中学 刘明(2115000 (电话:025-6359666)
先来看下面的一个例子: 例 1 求数列 {

1 } 的前 n 和 Sn . n(n ? 1)

分析 :在求数列的前 n 和时,通常需要研究数列的通项公式.该数列的的通项公式为

an ?

1 , 容易发现, 这一个数列既不是等差数列又不是等比数列, 那么, 怎样求该数列的 n n(n ? 1)
1 1 ? ,于是,该数列的相邻的各项之间可以消去互为相反数的项,从而可以求 n n ?1

项和呢?我们知道,欲求该数列的前 n 项和,其关键就是要探求数列的通项公式所隐含的内在规 律.由于 an ?

出该数列的前 n 项和. 解:? ak ?

1 1 1 , ? ? ( k ? N*) k (k ? 1) k ? 1 k

1 1 1 1 1 1 n ? Sn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
在例 1 中,通过将数列中的每一项裂成符号相反的量两项,然后在求和过程中,依据相邻项 之间的关系, 消去互为相反数的项, 从而求出数列的前 n 和, 这一求和是方法叫做裂项求和法. 再 看下面的例子: 例 2 求数列 {

1 } 的前 n 和 Sn . n(n ? 2) 1 1 1 1 ? ( ? )(k ? N*) ,从而将数列中的每一项 k (k ? 2) 2 k k ? 2

分析:该数列的通项公式为 ak ?

裂成了符号相反的两部分.注意到相邻两项之间并没有互为相反数的项,即

1 1 1 1 1 ak ? ak ?1 ? [( ? )?( ? )] ,但是,该数列具有这样的特点,间隔一项的两项之 2 k k ?2 k ?1 k ? 3
间存在着互为相反数的两项. 解:? ak ?

1 1 1 1 ? ( ? )(k ? N*) , k (k ? 2) 2 k k ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )?( ? )] 2 3 2 4 3 5 4 6 n ?1 n ? 1 n n?2 1 1 1 1 1 3 1 1 ? (1 ? ? ? )? ( ? ? ). 2 2 n ?1 n ? 2 2 2 n ?1 n ? 2
需要注意的是,在本中,数列中的各项之间有着这样的规律:每一项的后一部分与它后面隔

一项的项的前一部分恰好是互为相反数,可以相互抵消. 例 3 求数列 {

1 } 的前 n 和 Sn . n(n ? 1)(n ? 2)

分析: 本例与例 1 相比, 其通项公式的分母中多出了一个因式 n ? 2 , 那么, 怎样求它的和呢? 我们可以联想到前面的裂项求和法,其关键是将数列的每一项列成符号相反的两部分(想一想: 可否将数列的每一项裂成三项来求和?)于是,本例中,我们仍然可以设法将数列的每一项裂成 符号相反的两项,即 ak ?

1 1 1 . [ ? ] ( k ? N*) 2 k (k ? 1) (k ? 1)(k ? 2)

解:? ak ?

1 1 1 . [ ? ] ( k ? N*) 2 k (k ? 1) (k ? 1)(k ? 2)

1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? {( ? )?( ? ) ??? [ ? ] 2 1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 ? [ ? ]. 2 2 (n ? 1)(n ? 2)
在本例中,将分母中的 n ? 1 分别与 n 和 n ? 2 组合,将数列中的每一项裂成了符号相反的两 项,利用裂项求和法求出了该数列的前 n 项和.再看下面的例子: 例 4 求数列 {

1 } 的前 n 和 Sn . n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)

分析:本例我们仍然可以利用裂项求和法来求和,将数列的每一项裂成符号相反的两部分, 即

1 1 1 1 ? [ ? ] ( k ? N*) . k (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3) 3 k (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3)
解:? ak ? [

1 1 1 ? ] ( k ? N*) . 3 k (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3)

1 1 1 1 1 ? Sn ? {( ? )?( ? )? 3 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 2 ? 3? 4 3? 4 ? 5 1 1 ??[ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)
1 1 1 ? [ ? ]. 3 6 (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)
上面介绍了一种求数列前 n 项和的方法——裂项求和法,这一方法的核心是将数列的每一项 裂成符号相反的两部分,在求和过程中消去互为相反数的项,从而求得数列的前 n 项和. (本文发表于《现代教育报》 )


推荐相关:

例谈“裂项求和法”求数列的前n项和.doc

例谈裂项求和法求数列的前n项和_数学_高中教育_教育专区。例谈裂项求和法求数列的前n项和 例谈裂项求和法求数列的前 n 项和江苏省六合高级中学...


数列中的裂项法求和举例.doc

求等差数列前 n 项和 例 2 在数列 {an } 中,若 an = 2n + 1,求前n项和sn 学生在求和中,数列中的基本元素及求和公式都会搞错,若 用裂项法就很容易求...


求数列前N项和的七种方法(含例题和答案).doc

3n ? 2 ,… a a a [例 6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和....3 (分组、 裂项求和)=4?( ? ) ? 8? = 1 3 1 4 1 4 13 3 练习:...


数列前n项和的求法.doc

? ? (2n ? 1) x n?1 例 7: 求数列 2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 四、分组法求和(并项法) 有一类...


数列通项、数列前n项和的求法例题+练习.doc

[例 6] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1, 1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ...? (裂项求和) ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?...


数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结.doc

求通项 2)前 n 项和 S n 与 an 的关系法, ...下面将以常见的几种递推数列入手,谈谈此类数列的通...??? ? (裂项求和) = ( 2 ? 1) ? ( 3 ?...


求数列的前n项和列(教案+例题+习题).doc

求数列的前n项和列(教案+例题+习题)_数学_高中教育_教育专区。四.数列求和的常用方法 1.公式:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列...


求数列前n项和的几种方法_图文.ppt

求数列{an}的前 n 项和. 三、错位相减法求和 ...- 四、裂项相消法求和 1 2 n 2 【例 5】 在...


差比型数列的裂项求和法.doc

差比型数列的裂项求和法差比型数列的求和是数列的重点内容之一,也就是形如 Bn...例:已知 an=3 (2n+1),求 an 的前 n 项和 Sn. 设 an=f(n)-f(n-...


数列的前n项和求法_图文.ppt

数列的前n项和公式法(倒序相加) 错位相减 裂项相消 分组求和 公式法:利用常见求和公式求 和常见的求和...


差比型数列前n项和的求解方法--裂项法_图文.pdf

差比型数列前n项和的求解方法--裂项法_数学_自然科学_专业资料。 中学生数 学


裂项相消法求数列的前n项和.doc

裂项相消法求数列的前 n 项和 数列是高中数学一个非常重要的内容,数列求和是数 列题目中的常见题型,公式法、错位相减法、裂项相消法等 是数列求和的通用解法,...


数列前N项和求法_图文.ppt

公式:直接运用等差数列、等比数列求和公式 3 例1 若数列{an }的前n项和为...2.裂项相消法:将数列的通项分解成两项之差,正负相消剩下首尾若干项。 1 1...


求数列的前n项和列(教案 例题 习题).doc

? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a 例 2、 求数列的前 n 项和: ...1 (裂项求和) = 8(1 ? 1 8n ) = n ?1 n ?1 ;; 1 1 1 ? ??...


数列前n项和的求法总结.doc

练习: (1) 2 三.裂项相消法裂项相消是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出 数列的前 n 项和。 例题 3:求数列 (n∈...


数列求和-裂项_图文.ppt

b a ?b 1.学习了求数列前n项和的四种常用方法:公式法, 分组求和法,错位相减法,裂项相消法; 2.数列求和时,先研究其通项公式,根据通项公 式的特点选择相...


求数列前n项和的几种方法_图文.ppt

求数列前n项和的几种方法 - 求数列前 n 项和的几种方法 一、公式法求和 【例


求数列前n项和的几种方法_图文.ppt

求数列前n项和的几种方法_高二数学_数学_高中教育...{bn}为等比数列. 四、裂项相消法求和(高效 AB ...


求数列的前n项和列(教案+例题+习题).doc

1 1 1 例 2、 求数列的前 n 项和: 1 ? 1, ? 4, 2 ? 7,? ? ?...的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有: 1 ...


数列求和专题(裂项相消).doc

倒序相加法似于等差数列的前 n 项和的公式的推导...这一种求和的方法称 为倒序相加法. 例 3:求 sin...裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com