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例谈“裂项求和法”求数列的前n项和


例谈“裂项求和法”求数列的前 n 项和
江苏省六合高级中学 刘明(2115000 (电话:025-6359666)
先来看下面的一个例子: 例 1 求数列 {

1 } 的前 n 和 Sn . n(n ? 1)

分析 :在求数列的前 n 和时,通常需要研究数列的通项公式.该数列的的通项公式为

an ?

1 , 容易发现, 这一个数列既不是等差数列又不是等比数列, 那么, 怎样求该数列的 n n(n ? 1)
1 1 ? ,于是,该数列的相邻的各项之间可以消去互为相反数的项,从而可以求 n n ?1

项和呢?我们知道,欲求该数列的前 n 项和,其关键就是要探求数列的通项公式所隐含的内在规 律.由于 an ?

出该数列的前 n 项和. 解:? ak ?

1 1 1 , ? ? ( k ? N*) k (k ? 1) k ? 1 k

1 1 1 1 1 1 n ? Sn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
在例 1 中,通过将数列中的每一项裂成符号相反的量两项,然后在求和过程中,依据相邻项 之间的关系, 消去互为相反数的项, 从而求出数列的前 n 和, 这一求和是方法叫做裂项求和法. 再 看下面的例子: 例 2 求数列 {

1 } 的前 n 和 Sn . n(n ? 2) 1 1 1 1 ? ( ? )(k ? N*) ,从而将数列中的每一项 k (k ? 2) 2 k k ? 2

分析:该数列的通项公式为 ak ?

裂成了符号相反的两部分.注意到相邻两项之间并没有互为相反数的项,即

1 1 1 1 1 ak ? ak ?1 ? [( ? )?( ? )] ,但是,该数列具有这样的特点,间隔一项的两项之 2 k k ?2 k ?1 k ? 3
间存在着互为相反数的两项. 解:? ak ?

1 1 1 1 ? ( ? )(k ? N*) , k (k ? 2) 2 k k ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )?( ? )] 2 3 2 4 3 5 4 6 n ?1 n ? 1 n n?2 1 1 1 1 1 3 1 1 ? (1 ? ? ? )? ( ? ? ). 2 2 n ?1 n ? 2 2 2 n ?1 n ? 2
需要注意的是,在本中,数列中的各项之间有着这样的规律:每一项的后一部分与它后面隔

一项的项的前一部分恰好是互为相反数,可以相互抵消. 例 3 求数列 {

1 } 的前 n 和 Sn . n(n ? 1)(n ? 2)

分析: 本例与例 1 相比, 其通项公式的分母中多出了一个因式 n ? 2 , 那么, 怎样求它的和呢? 我们可以联想到前面的裂项求和法,其关键是将数列的每一项列成符号相反的两部分(想一想: 可否将数列的每一项裂成三项来求和?)于是,本例中,我们仍然可以设法将数列的每一项裂成 符号相反的两项,即 ak ?

1 1 1 . [ ? ] ( k ? N*) 2 k (k ? 1) (k ? 1)(k ? 2)

解:? ak ?

1 1 1 . [ ? ] ( k ? N*) 2 k (k ? 1) (k ? 1)(k ? 2)

1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? {( ? )?( ? ) ??? [ ? ] 2 1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 ? [ ? ]. 2 2 (n ? 1)(n ? 2)
在本例中,将分母中的 n ? 1 分别与 n 和 n ? 2 组合,将数列中的每一项裂成了符号相反的两 项,利用裂项求和法求出了该数列的前 n 项和.再看下面的例子: 例 4 求数列 {

1 } 的前 n 和 Sn . n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)

分析:本例我们仍然可以利用裂项求和法来求和,将数列的每一项裂成符号相反的两部分, 即

1 1 1 1 ? [ ? ] ( k ? N*) . k (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3) 3 k (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3)
解:? ak ? [

1 1 1 ? ] ( k ? N*) . 3 k (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3)

1 1 1 1 1 ? Sn ? {( ? )?( ? )? 3 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 2 ? 3? 4 3? 4 ? 5 1 1 ??[ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)
1 1 1 ? [ ? ]. 3 6 (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)
上面介绍了一种求数列前 n 项和的方法——裂项求和法,这一方法的核心是将数列的每一项 裂成符号相反的两部分,在求和过程中消去互为相反数的项,从而求得数列的前 n 项和. (本文发表于《现代教育报》 )


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