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福州三中2015年5月校模拟考试试卷


福州三中 2015 年 5 月校模拟考试
理科数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. “ a ? b, c ? 0 ”是“ ac ? bc ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 2.已知集合 M ? 范围是( A. (??,1)
x

) C.充要条件 D.不充分不必要条件

?? x, y ? y ? 2 ? , N ? ?? x, y ? y ? a? ,若 M ? N ? ? ,则实数 a 的取值
B. (??,1] C. (?? ,0) D. (??,0]
开始



3.执行如图所示的程序框图,若 a ? 1, b ? 2 ,则输出的结果是( A. 9 C. 13 B. 11 D. 15



输入 a , b

a ? 12 ?



4.已知角 ? 的终边经过点 P ? 4, m? ,且 sin ? ? A. ? 3 B. 3

m?i 5.复数 z ? ? m ? R, i为虚数单位? 在复平面上对应的点不可能位于( 1? i
A.第一象限 6.设 F1 , F2 为椭圆 B.第二象限 C.第三象限

3 ,则 m 等于( 5 16 C. 3

) D. ? 3



a ? 2b ? a
输出 a 结束



D.第四象限

PF2 PF1

的值为 (

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,若线段 PF 1 的中点在 y 轴上,则 4 1 2 ) 0.5 1

7.在如图 5 ? 5 的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数 列,那么 x ? y ? z 的值为( A.1 B. 2 ) C. 3 D. 4

1 3 1 C. 7
A.

1 5 1 D. 9
B.

x
y

z
第7题

8.定义在 R 上的函数 f ( x) ,对 ?x1 , x2 ? R 有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ? x2 ? ?1,则下列命题 正确的是( ) B. f ( x) 是奇函数 C. f ( x) ? 1 是偶函数 D. f ( x) ? 1 是奇函数

A. f ( x) 是偶函数

9 . 若 等 式 (2x ? 1) 2014 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2014 x 2014 对 于 一 切 实 数 x 都 成 立 , 则
2015 年校模拟考理科数学试卷 第 1 页 共 4 页

1 1 1 a1 ? a2 ? ? ? a2014 ? ( 2 3 2015 1 1 A. B. 4030 2015 a0 ?
点 P(a,? ) 的所有直线中(

) C.

2 2015

D.0

10.在平面直角坐标系中,把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点.若 a 为无理数,则在过

1 2



A.有无穷多条直线,每条直线上至少存在两个有理点 B.恰有 n?n ? 2? 条直线,每条直线上至少存在两个有理点 C.有且仅有一条直线至少过两个有理点 D.每条直线至多过一个有理点 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11.一个总体分为 A, B, C 三层,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 15 的样本,若 B 层中 每个个体被抽到的概率都为

1 ,则总体的个数为___________. 20

12. 在 ?ABC 中, 若角 A 为锐角, 且 AB ? (2,3), AC ? (3, m) , 则实数 m 的取值范围是________. 13.如图所示 2 ? 2 方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是 1、2、 3 中的任何一个, 允许重复.若填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字, 则不同的填法共有_______种(用数字作答) . 14.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 5, BC ? 4, AA1 ? 3 ,沿该长方 体对角面 ABC1 D1 将其截成两部分,并将它们再拼成一个新的四棱柱, 那么这个四棱柱表面积的最大值为___________. A
D1 A1 B1

A C

B D

(13 题)

C1

D B

C

15 .为了近似估计 ? 的值,用计算机分别产生 90 个在 ??1,1? 的均匀随机数 x1 , x2 ,? , x90 和

y1 , y2 ,?, y90 ,在 90 组数对 ?xi , yi ? 1 ? i ? 90, i ? N * ,经统计有 25

?

?

? ? ? y ? tan 4 x 组数对满足 ? ,则以此估计的 ? 值为________. ?? x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? 4 ?
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 甲、乙两个篮球队季度总决赛采用 7 场 4 胜制,每场必须分出胜负,场与场之间互不影响, 只要有一队获胜 4 场就结束比赛.现已比赛了 4 场,且甲篮球队胜 3 场.已知甲队第 5,6 场获胜的概率均为

3 2 ,但由于体力原因,第 7 场获胜的概率为 . 5 5

(1)求甲队分别以 4 : 2 , 4 : 3 获胜的概率; (2)设 X 表示决出冠军时比赛的场数,求 X 的分布列及数学期望.

2015 年校模拟考理科数学试卷 第 2 页 共 4 页

17.(本小题满分 13 分) 某同学用“五点法”画函数 f ?x ? ? A sin ??x ? ? ? ? B ( A ? O, ? ? 0, ? ? 期内的图像时,列表并填入的部分数据如下表:

?
2

)在某一个周

x
?x ? ?
A sin??x ? ? ? ? B

x1
0 0

1 3

x2

?
2
3

?
0

7 3 3? 2
? 3

x3
2?

0

(Ⅰ)请求出上表中的 x1 , x2 , x3 的值,并写出函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)将 f ( x) 的图像向右平移

2 个单位得到函数 g ?x ? 的图像,若函数 g ?x ? 在区间 ?0, m? 3

( 3 ? m ? 4 )上的图像的最高点和最低点分别为 M , N ,求向量 NM 与 ON 夹角 ? 的大小.

18.(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,点 N 与点 M ?? 1,1? 关于原点 O 对称, P 是动点,且直线 MP 与

NP 的斜率之积等于 ?

1 . 3

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 MP 和 NP 分别与直线 x ? 3 分别交于 A, B 两点,问:是否存在点 P 使得 ?PMN 与 ?PAB 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

19. (本小题满分 13 分) 如图,菱形 ABCD 的边长为 2 ,现将 ?ACD 沿对角线 AC 折起至 ?ACP 位置,并使平面 PAC ? 平面 ABC . (Ⅰ)求证: AC ? PB ; (Ⅱ)在菱形 ABCD 中,若 ?ABC ? 60 ,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值;
0

(Ⅲ)求四面体 PABC 体积的最大值.
A D

P

A
B C

C

B

2015 年校模拟考理科数学试卷 第 3 页 共 4 页

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

(Ⅰ) 讨论函数 f ? x ? 的单调性;

1 2 x ? ax ? ?a ? 1? ln x 2

?a ? 1? .

(Ⅱ) 若 a ? 2 ,数列 ?an ? 满足 an?1 ? f ?an ? .

(1)若首项 a1 ? 10 ,证明数列 ?an ? 为递增数列;

(2)若首项为正整数,且数列 ?an ? 为递增数列,求首项 a1 的最小值.

21.本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分.如果 多做,则按所做的前两题计分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换

在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 矩 阵 M 对 应 的 变 换 将 平 面 上 的 任 意 一 点 P ? x, y ? 变 换 为 点 P??x ? 2 y, x ? y ? .
?1

(Ⅰ)求矩阵 M 的逆矩阵 M
2 2



(Ⅱ)求圆 x ? y ? 1 在矩阵 M 对应的变换作用后得到的曲线 C 的方程. (2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 l 过 点 P?1,0? ,斜率为 3 ,曲线 C : ? ? ? cos2? ? 8 cos? . (Ⅰ)写出直线 l 的一个参数方程及曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 PA ? PB 的值. (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 m ? 0 ,函数 f ?x? ? 2 x ? 1 ? 2x ? m 的最大值为 3 . (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若实数 a, b, c 满足 a ? 2b ? c ? m ,求 a ? b ? c 的最小值.
2 2 2

2015 年校模拟考理科数学试卷 第 4 页 共 4 页


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