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2013届高三数学全程复习01 第一编 集合与常用逻辑用语(共19页)教学案 新人教版


第一编

集合与常用逻辑用语

§1.1 集合的概念及其基本运算

1.(2008?山东,1)满足 M ? ?a1 , a2 , a3 , a4 ? ,且 M ? ?a1 , a 2 , a3 ? ? ?a1 , a 2 ? 的集合 M 的个数是 答案 答案 答案 答案 2 . 4
U

基础自测

.

1 1 2.设集合 A= ? , 2? ,则满足 A ? B= ? ,2,3? 的集合 B 的个数是

3.设全集 U={1,3,5,7},集合 M={1,|a-5|},M ? U, 2或8

M={5,7},则 a 的值为



1 1 4.(2008?四川理,1)设集合 U= ? ,2,3,4,5?, A ? ? ,2,3?, B ? ?2,3,4?, 则 U(A ? B)等于

.

?1,4,5?

5.(2009?南通高三模拟)集合 A= ?x || x ? 2 |? 2, x ? R? ,B= y | y ? ? x 2 ,?1 ? x ? 2 , R(A ? B)= 答案 (-∞,0) ? (0, +∞)

?

?

.

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例1 解

? b ? 若 a,b ? R,集合 ? , a ? b, a? ? ?0, , b?, 求 b-a 的值. 1 ? a ? ? b ? 由 ? , a ? b, a? ? ?0, , b? 可知 a≠0,则只能 a+b=0,则有以下对应关系: 1 ? a ?

? ?a ? b ? 0 ?a ? b ? 0 ? ? ?a ? ?1 ?b ②由①得 ? , 符合题意;②无解.所以 b-a=2. ? ? a ①或 ?b ? a a ?b ?b ? 1 ? ? ?1 ?b ? 1 ? ?a

例2

1 ? ? 已知集合 A= ?x | 0 ? ax ? 1 ? 5? ,集合 B= ? x | ? ? x ? 2?. 2 ? ?

(1)若 A ? B,求实数 a 的取值范围; (2)若 B ? A,求实数 a 的取值范围; (3)A、B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试说明理由. 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论: ①若 a=0,则 A=R;

②若 a<0,则 A= ? x |

? ?

4 1? ? x ? ? ?; a a?

1 4? ? ③若 a>0,则 A= ?x | ? ? x ? ?, a a? ?

(1) 当 a=0 时,若 A ? B,此种情况不存在.当 a<0 时,若 A ? B,如图,

1 ?4 ?? ? ?a 2 ?a ? ?8 ,∴? 则? 1 ∴a<-8. ? 1 ?a ? ? 2 , ?? ? 2 ? ? a ?
当 a>0 时,若 A ? B,如图,

1 ? 1 ?? a ? ? 2 ?a ? 2 ? ,∴? 则? . ∴a≥2.综上知,此时 a 的取值范围是 a<-8 或 a≥2. ?a ? 2 ?4 ? 2 ?a ?
(2)当 a=0 时,显然 B ? A;当 a<0 时,若 B ? A,如图,

1 ?4 ?a ? ?8 ?a ? ? 2 1 ? ? 则? ∴ 当 , ? 1 ∴- ? a ? 0; a>0 时,若 B ? A,如图, 2 ?a ? ? 2 , ?? 1 ? 2 ? ? a ? 1 ? 1 ?? a ? ? 2 ?a ? 2 1 ? 则? ,∴? , ∴0<a≤2.综上知,当 B ? A 时,- ? a ? 2. 0 2 4 a?2 ? ? ?2 ?a ?
(3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时,A=B. 由(1)(2)知,a=2. 、 例3 (14 分)设集合 A ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? x | x 2 ? 2(a ? 1) x ? (a 2 ? 5) ? 0 .

?

? ?

?

(1)若 A ? B ? ?2?, 求实数 a 的值; (2)若 A ? B=A 求实数 a 的取值范围; (3)若 U=R,A ? ( UB)=A.求实数 a 的取值范围. 解 由 x -3x+2=0 得 x=1 或 x=2,故集合 A= ?1, 2?.
2

2分
2

(1)∵A ? B ? ?2?, ∴2 ? B,代入 B 中的方程,得 a +4a+3=0,∴a=-1 或 a=-3; 当 a=-1 时,B= x | x 2 ? 4 ? 0 ? ?? 2,2?, 满足条件; 当 a=-3 时,B= x | x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 ? ?2?, 满足条件; 综上,a 的值为-1 或-3. (2)对于集合 B, ? =4(a+1) -4(a -5)=8(a+3).
2 2

?

?

?

?

4分

∵A ? B=A∴B ? A,

①当 ? <0,即 a<-3 时,B= ? ,满足条件; ②当 ? =0,即 a=-3 时,B= ?2? ,满足条件;
1 ③当 ? >0,即 a>-3 时,B=A= ? , 2? 才能满足条件,

6分

则由根与系数的关系得
5 ? ? ?1 ? 2 ? ?2(a ? 1) ?a ? ? 2 , 矛盾; 即? ? ?1? 2 ? a 2 ? 5 ?a 2 ? 7 ? ?

综上,a 的取值范围是 a≤-3. (3)∵A ? ( B)=A,∴A ? B,∴A ? B= ? ; ①若 B= ? ,则 ? <0 ? a ? ?3 适合; ②若 B≠ ? ,则 a=-3 时,B= ?2? ,A ? B= ?2? ,不合题意;
U U

9分 10 分

a>-3,此时需 1 ? B 且 2 ? B.将 2 代入 B 的方程得 a=-1 或 a=-3(舍去) ;
2 将 1 代入 B 的方程得 a +2a-2=0 ? a ? ?1? 3.

∴a≠-1 且 a≠-3 且 a≠-1 ? 3. 综上,a 的取值范围是 a<-3 或-3<a<-1- 3 或-1- 3 <a<-1 或-1<a<-1+ 3 或 a>-1+ 3 . 例4

13 分 14 分

1 为集合 A 的同一种分拆,则集合 A= ? ,2,3? 的不同分拆种数是

若集合 A1、A2 满足 A1 ? =A2=A,则称(A1,A2)为集合 A 的一种分拆,并规定:当且仅当 A1=A2 时, 1,A2)与(A2,A1) (A . 27

答案

1.设含有三个实数的集合可表示为 ?a, a ? d , a ? 2d ?, 也可表示为 a, aq, aq 2 , 其中 a,d,q ? R,求常数 q. 解 依元素的互异性可知,a≠0,d≠0,q≠0,q≠ ?1 .

?

?

由两集合相等,有(1) ?

?a ? d ? aq ,
2 ?a ? 2d ? aq
2 2

或(2) ?

?a ? d ? aq 2 , ?a ? 2d ? aq.

由(1)得 a+2a(q-1)=aq ,∵a≠0, ∴q -2q+1=0,∴q=1(舍去).

1 2 2 由(2)得 a+2a(q -1)=aq,∵a≠0,∴2q -q-1=0,∴q=1 或 q=- . 2
∵q≠1, ∴q=-

1 1 , 综上所述,q=- . 2 2

2.(1)若集合 P= x | x 2 ? x ? 6 ? 0 , S ? ?x | ax ? 1 ? 0?, 且 S ? P,求 a 的可取值组成的集合; (2)若集合 A= ?x | ?2 ? x ? 5?, B ? ?x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1?, 且 B ? 解 (1)P= ??3,2?. 当 a=0 时,S= ? ,满足 S ? P;

?

?

A ,求由 m 的可取值组成的集合.

当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解为 x=为满足 S ? P,可使 ?

1 , a

1 1 1 1 ? 1 1? ? ?3 或 ? ? 2, 即 a= 或 a=- . 故所求集合为 ?0, ,? ?. a a 3 2 ? 3 2?

(2)当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B= ? ,满足 B ? A;若 B≠ ? ,且满足 B ? A,如图所示,

?m ? 1 ? 2m ? 1, ?m ? 2 ? ? 则 ?m ? 1 ? ?2 , 即 ?m ? ?3, ∴2≤m≤3. ?2 m ? 1 ? 5 ?m ? 3 ? ?
综上所述,m 的取值范围为 m<2 或 2≤m≤3,即所求集合为 ?m | m ? 3?. 3.已知集合 A= x | x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? 0, x ? R , B ? ?x ? R | x ? 0? ,试问是否存在实数 a,使得 A ? B= ? ? 若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 解 方法一 假设存在实数 a 满足条件 A ? B= ? ,则有

?

?

(1)当 A≠ ? 时,由 A ? B ? ?, B= ?x ? R | x ? 0? ,知集合 A 中的元素为非正数, 设方程 x +(2+a)x+1=0 的两根为 x1,x2,则由根与系数的关系,得
?? ? ( 2 ? a ) 2 ? 4 ? 0 ? ? ? x1 ? x2 ? ?(2 ? a ) ? 0, 解得 a ? 0; ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2 ?
2

(2)当 A= ? 时,则有△=(2+a) -4<0,解得-4<a<0.
2

综上(1)(2) 、 ,知存在满足条件 A ? B= ? 的实数 a,其取值范围是(-4,+∞). 方法二 假设存在实数 a 满足条件 A ? B≠ ? ,则方程 x +(2+a)x+1=0 的两实数根 x1,x2 至少有一个为正,
2

因为 x1?x2=1>0,所以两根 x1,x2 均为正数.
?? ? ( 2 ? a ) 2 ? 4 ? 0 ?a ? 0或a ? ?4 ? , 解得 ? 则由根与系数的关系,得 ? ,即a ? ?4. ? x1 ? x2 ? ?(2 ? a ) ? 0 ?a ? ?2 ?

又∵集合 ?a | a ? ?4? 的补集为 ?a | a ? ?4?, ∴存在满足条件 A ? B= ? 的实数 a,其取值范围是(-4,+∞). 4.(2007?陕西理,12) 设集合 S= ?A0 , A1 , A2 , A3 ? ,在 S 上定义运算 ? 为:Ai ? Aj=Ak,其中 k 为 i+j 被 4 除的余数, i,j=0,1,2,3,则满足关系式(x ? x) ? A2=A0 的 x(x ? S)的个数为 答案 2 .

一、填空题
1 1.(2008?江西理,2)定义集合运算:A*B= ?z | z ? xy, x ? A, y ? B?. 设 A= ? ,2?, B ? ?0, 2?, 则集合 A*B

的所有元素之和为 答案

.

6 2.已知全集 U={0,1,3,5,7,9},A∩ UB={1},B={3,5,7},那么( UA)∩( UB)=
答案 {0,9} . 3.设全集 U=R,集合 M={x|x≤1 或 x≥3},集合 P= ?x | k ? x ? k ? 1, k ? R ? ,且 UM ? P ≠ ? ,则实数 k 的取值 范围是 答案

.

0<k<3 4.集合 A={y∈R|y=lgx,x>1},B={-2,-1,1,2},则( RA)∩B=
答案 {-2,-1} 5.已知集合 P={(x,y)||x|+|y|=1},Q={(x,y)|x +y ≤1},则 P 与 Q 的关系为 答案 P Q
2 2

.
.

? ? 6.(2009?徐州模拟)设 A,B 是非空集合,定义 A?B= ?x | x ? A ? B且x ? A ? B?,已知 A= ? x | y ? 2 x ? x 2 ? , ? ?
B= y | y ? 2 x , x ? 0 ,则 A?B= 答案

?

?

.

?0,1? ? (2,?? )
2

7.集合 A={x||x-3|<a,a>0},B={x|x -3x+2<0},且 B ? A,则实数 a 的取值范围是 答案 [2,+∞)?

.

8.(2008?福建理,16) 设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈P,都有 a+b、a-b、ab、 b≠0),则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域;数集 F={a+b 2 |a,b∈Q}也是数域.有下列命题: ①整数集是数域;? ②若有理数集 Q ? M,则数集 M 必为数域;? ③数域必为无限集;? ④存在无穷多个数域.? 其中正确的命题的序号是 答案 ③④?
2

a b

∈P(除数

.(把你认为正确的命题的序号都填上)?

二、解答题 9.已知集合 A={x|mx -2x+3=0,m∈R}.? (1)若 A 是空集,求 m 的取值范围;? (2)若 A 中只有一个元素,求 m 的值;? (3)若 A 中至多只有一个元素,求 m 的取值范围.? 解 集合 A 是方程 mx -2x+3=0 在实数范围内的解集.?
2 2

(1)∵A 是空集,∴方程 mx -2x+3=0 无解.∴Δ =4-12m<0,即 m> (2)∵A 中只有一个元素,∴方程 mx -2x+3=0 只有一个解.? 若 m=0,方程为-2x+3=0,只有一解 x= ∴m=0 或 m=
2

1 .? 3

1 3 ;若 m≠0,则Δ =0,即 4-12m=0,m= .? 2 3

1 .? 3 1 . 3

(3)A 中至多只有一个元素包含 A 中只有一个元素和 A 是空集两种含义,根据(1)(2)的结果,得 m=0 或 m≥ 、 10.(1)已知 A={a+2, (a+1) ,a +3a+3}且 1∈A,求实数 a 的值;? (2)已知 M={2,a,b},N={2a,2,b }且 M=N,求 a,b 的值.? 解(1)由题意知:a+2=1 或(a+1) =1 或 a +3a+3=1,? ∴a=-1 或-2 或 0,根据元素的互异性排除-1,-2,?∴a=0 即为所求.?
2 2 2 2 2

1 ? a? ? ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ?a ? 2a ?a ? b 2 ? 4, (2)由题意知, ? 或? ?? 或? 或? 1 ?b ? b 2 ?b ? 2a ?b ? 1 ?b ? 0 ? ? ? b? ? 2 ? 1 ? a? ?a ? 0 ? ? 4 即为所求. 根据元素的互异性得 ? 或? ?b ? 1 ?b ? 1 ? 2 ?

6 ? ? 11.已知集合 A= ? x | ? 1, x ? R ?, B= x | x 2 ? 2 x ? m ? 0 , ? x ?1 ?
(1)当 m=3 时,求 A ? ( RB) ; (2)若 A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 4?,求实数 m 的值. 解 由

?

?

6 x ?5 ? 1, 得 ? 0. ∴-1<x≤5,∴A= ?x | ?1 ? x ? 5? . x ?1 x ?1

(1)当 m=3 时,B= ?x | ?1 ? x ? 3? ,则 RB= ?x | x ? ?1或x ? 3? , ∴A ? ( RB)= ?x | 3 ? x ? 5? . (2)∵A= ?x | ?1 ? x ? 5?, A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 4?, ∴有 4 -2?4-m=0,解得 m=8.
2

此时 B= ?x | ?2 ? x ? 4? ,符合题意,故实数 m 的值为 8. 12.设集合 A={(x,y)|y=2x-1,x∈N },B={(x,y)|y=ax -ax+a,x∈N },问是否存在非零整数 a,使 A∩B≠ ? ?若存在,
* 2 *

请求出 a 的值;若不存在,说明理由.? 解
? ? y ? 2x ? 1 假设 A∩B≠ ? ,则方程组 ? 有正整数解,消去 y, ? y ? ax 2 ? ax ? a ?
2

得 ax -(a+2)x+a+1=0. 由Δ ≥0,有(a+2) -4a(a+1)≥0,?解得2

(*)

2 3 2 3 .因 a 为非零整数,∴a=±1,? ?a? 3 3
*

当 a=-1 时,代入(*) ,?解得 x=0 或 x=-1,?而 x∈N .故 a≠-1.?当 a=1 时,代入(*),? 解得 x=1 或 x=2,符合题意.故存在 a=1,使得 A∩B≠ ? ,此时 A∩B={(1,1)(2,3)}. ,

§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

基础自测
1.(2009?成化高级中学高三期中考试)若命题“对 ? x ? R,x +4cx+1>0”是真命题,则实数 c 的取值范围是
2

.

答案

1 1 (? , ) 2 2

2.(2008?湖北理,2)若非空集合 A、B、C 满足 A∪B=C,且 B 不是 A 的子集,则下列说法中正确的是 号) ? ? ? ①“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件? ② “x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件? ③ “x∈C”是“x∈A”的充要条件? ④“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 答案?②? 3.若命题 p 的否命题为 r,命题 r 的逆命题为 s,则 s 是 p 的逆命题 t 的 答案 否 命题.

.(填序

4.(2008?浙江理,3)已知 a,b 都是实数,那么“a >b ”是“a>b”的 答案 既不充分也不必要 5.设集合 A、B,有下列四个命题:?

2

2

条件.

①A B ? 对任意 x∈A 都有 x ? B;?②A B ? A∩B= ? ;③A B ? B A;?④A B ? 存在 x∈A,使得 x ? B. 其中真命题的序号是 答案 ④? .(把符合要求的命题序号都填上)?

例1

把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.?

(1)正三角形的三内角相等;? (2)全等三角形的面积相等;? (3)已知 a,b,c,d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d.? 解 (1)原命题即是“若一个三角形是正三角形,则它的三个内角相等”.? 逆命题: 若一个三角形的三个内角相等, 则这个三角形是正三角形 (或写成: 三个内角相等的三角形是正三角形) . ? 否命题:若一个三角形不是正三角形,则它的三个内角不全相等.? 逆否命题:若一个三角形的三个内角不全相等,那么这个三角形不是正三角形(或写成:三个内角不全相等的三角 形不是正三角形).? (2)原命题即是“若两个三角形全等,则它们的面积相等.”? 逆命题:若两个三角形面积相等,则这两个三角形全等(或写成:面积相等的三角形全等).? 否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形面积不相等(或写成:不全等的三角形面积不相等).? 逆否命题:若两个三角形面积不相等,则这两个三角形不全等.? (3)原命题即是“已知 a,b,c,d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d”.其中“已知 a,b,c,d 是实数”是大前提, 与 “a b,c 与 d 都相等”是条件 p, “a+c=b+d”是结论 q,所以? 逆命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c=b+d,则 a 与 b,c 与 d 都相等.? 否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a 与 b,c 与 d 不都相等,则 a+c≠b+d.? 逆否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a 与 b,c 与 d 不都相等.? 例 2 指出下列命题中,p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不 、 、 、 必要条件”中选出一种作答).? (1)在△ABC 中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB;? (2)对于实数 x、y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6;? (3)非空集合 A、B 中,p:x∈A∪B,q:x∈B; (4)已知 x、y∈R,p: (x-1) +(y-2) =0,q: (x-1) (y-2)=0.??? 解 (1)在△ABC 中,∠A=∠B ? sinA=sinB,反之,若 sinA=sinB,因为 A 与 B 不可能互补(因为三角形三个内角 和为 180°),所以只有 A=B.故 p 是 q 的充要条件.? (2)易知:
2 2

? p:x+y=8, ? q:x=2 且 y=6,显然 ? q ? ? p.但 ? p ? q,即 ? q

是 ? p 的充分不必要条件,根据原命

题和逆否命题的等价性知,p 是 q 的充分不必要条件.? (3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B,但 x∈B 一定有 x∈A∪B,所以 p 是 q 的必要不充分条件.? (4)条件 p:x=1 且 y=2,条件 q:x=1 或 y=2,所以 p ? q 但 q p,故 p 是 q 的充分不必要条件.? 例 3(14 分)已知 ab≠0,? 求证:a+b=1 的充要条件是 a +b +ab-a -b =0.? 证明(必要性)? ∵a+b=1,∴a+b-1=0, 2 分?
3 3 2 2

∴a +b +ab-a -b =(a+b) -ab+b )-(a -ab+b ) (a =(a+b-1) -ab+b )=0. (a (充分性)? ∵a +b +ab-a -b =0,? 即(a+b-1) -ab+b )=0, (a 又 ab≠0,∴a≠0 且 b≠0,?
b 3 2 2 2 ∴a -ab+b =(a- ) 2 ? b >0,? 2 4
2 2 3 3 2 2 2 2

3

3

2

2

2

2

2

2

5 分? 7 分?

9 分?

∴a+b-1=0,即 a+b=1, 综上可知,当 ab≠0 时,a+b=1 的充要条件是? a +b +ab-a -b =0.
3 3 2 2

12 分 14 分

1.写出下列命题的否命题,并判断原命题及否命题的真假:? (1)如果一个三角形的三条边都相等,那么这个三角形的三个角都相等;? (2)矩形的对角线互相平分且相等;? (3)相似三角形一定是全等三角形.? 解 (1)否命题是: “如果一个三角形的三条边不都相等,那么这个三角形的三个角也不都相等”.? 原命题为真命题,否命题也为真命题.? (2)否命题是: “如果四边形不是矩形,那么对角线不互相平分或不相等”? 原命题是真命题,否命题是假命题.? (3)否命题是: “不相似的三角形一定不是全等三角形”.? 原命题是假命题,否命题是真命题. 2.( 2008?湖南理,2) “|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的 答案?必要不充分 3.证明一元二次方程 ax +bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0.? 证明 充分性:若 ac<0,则 b -4ac>0,且
2 2 2

条件.

c a

<0,?

∴方程 ax +bx+c=0 有两个相异实根,且两根异号,即方程有一正根和一负根.? 必要性:若一元二次方程 ax +bx+c=0 有一正根和一负根,则Δ =b -4ac>0,x1x2= 综上所述,一元二次方程 ax +bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0.
2 2 2

c <0,∴ac<0.? a

一、填空题 1.下列命题:①5>4 或 4>5;②9≥3;③命题“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题;④命题“矩形的两条对角线相等” 的逆命题.其中假命题的个数为 答案 答案 答案 1 条件. 充分不必要
2

.

2.(2008?重庆理,2)设 m,n 是整数,则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 3. “x>1”是“x >x”的 充分不必要 条件.

4.(2009?成化高级中学高三期中考试)已知函数 f(x)=ax+b(0≤x≤1),则“a+2b>0”是“f(x)>0”恒成立的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”之一) 、 、 、 答案 必要不充分

5.在△ABC 中, “sin2A= 答案 答案 必要不充分性

3 ”是“A=30°”的 2
2

条件.

6.(2008?安徽理,7)a<0 方程 ax +2x+1=0 至少有一个负数根的 充分不必要

条件.

7.设集合 A= ?x || x |? 4?, B ? x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 , 则集合 ?x | x ? A且x ? A ? B? = 答案

?

?

.

?x | 1 ? x ? 3?

8.设 A= ( x, y) | x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 , B ? ?( x, y ) | x ? y ? m ? 0?, 则使 A ? B 成立的实数 m 的取值范围是 答案 二、解答题 9. 求关于 x 的方程 x -mx+3m-2=0 的两根均大于 1 的充要条件.? 解 设方程的两根分别为 x1、x2,则原方程有两个大于 1 的根的充要条件是?
2

?

?

.

m?

2 ?1

?? ? m 2 ? 4(3m ? 2) ? 0, ?? ? m 2 ? 12m ? 8 ? 0, ? ? ? ? ?( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? 0, ?即 ?( x1 ? x 2 ) ? 2 ? 0, ? x ? 1)(x ? 1) ? 0, ? x x ? ( x ? x ) ? 1 ? 0. ( 2 1 2 ? 1 ? 1 2 ? ?
? ? m ? 6 ? 2 7 或m ? 6 ? 2 7 , ? 又∵x1+x2=m,x1x2=3m-2,?∴ ?m ? 2, 故所求的充要条件为 m≥6+2 7 . ? 1 ?m ? . 2 ?

10. 已知 x,y∈R.? 求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy≥0.? 证明(充分性)? 若 xy≥0,则 x,y 至少有一个为 0 或同号.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.? (必要性)?若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y) =(|x|+|y|) ,? x +2xy+y =x +2|xy|+y ,? ∴xy=|xy|,∴xy≥0.?综上,命题得证. 11. a,b,c 为实数,且 a=b+c+1.证明:两个一元二次方程 x +x+b=0,x +ax+c=0 中至少有一个方程有两个不相等的实数根. 证明 假设两个方程都没有两个不等的实数根,则?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?Δ 1=1-4b≤0,Δ 2=a -4c≤0,?∴Δ 1+Δ 2=1-4b+a -4c≤0.? ∵a=b+c+1,∴b+c=a-1.?∴1-4(a-1)+a ≤0,? 即 a -4a+5≤0.?但是 a -4a+5=(a-2) +1>0,故矛盾.? 所以假设不成立,原命题正确,即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根. 12.设 ? 、 ? 是方程 x -ax+b=0 的两个根,试分析 a>2 且 b>1 是两根 ? 、 ? 均大于 1 的什么条件??
2 2 2 2



令 p:a>2,且 b>1;q: ? >1,且 ? >1,易知 ? + ? =a, ? ? =b.?

?? ? ? ? 2 ①若 a>2,且 b>1,即 ? 不能推出 ? >1 且 ? >1.? , ??? ? 1

1 ? ?? ? 6 ?? ? ? ? 6 ? 可举反例:若 ? 2 ,则? 1 所以由 p 推不出 q ? ??? ? 3 ?? ? 2 , ? ?

②若 ? >1,且 ? >1,则 ? + ? >1+1=2, ? ? >1.所以由 q 可推出 p.综合知 p 是 q 的必要不充分条件,也即 a>2,且 b>1 是两根 ? 、 ? 均大于 1 的必要不充分条件.

§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

基础自测 1.已知命题 p: ?x ? R , sin x ? 1, 则 ? p 为 答案
?x ? R , sin x ? 1

.

2.已知命题 p:3≥3;q:3>4,则下列判断不正确的是 ①p ? q 为假,p ? q 为假, ? p 为真 ③p ? q 为假,p ? q 为假, ? p 为假 答案 ①( ③ ( 的是 答案 ④ (填序号). ② 3 > 2 ? ①②③

(填序号). ③p ? q 为真,p ? q 为假, ? p 为真 ④ p ? q 为真,p ? q 为假, ? p 为假

3. (2008?广东理,6)已知命题 p:所有有理数都是实数;命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题

?p ) ? q ?p ) ?
( ?q) (填序号).



p?q ? p ) ? ( ?q )

④(

4.下列命题中不是全称命题的是 ①圆有内接四边形?

?

③ 3≤ 2

④若三角形的三边长分别为 3,4,5,则这个三角形为直角三角形? 答案 答案 ②③④ . 所有点都不在函数 y=kx (k≠0)的图象上 5.命题: “至少有一个点在函数 y=kx (k≠0)的图象上”的否定是

例 1 分别指出由下列命题构成的“p ? q”、 ? q”、 ? p”形式的命题的真假. “p “ (1)p:3 是 9 的约数,q:3 是 18 的约数;? (2)p:菱形的对角线相等,q:菱形的对角线互相垂直;? (3)p:方程 x +x-1=0 的两实根符号相同,? q:方程 x +x-1=0 的两实根绝对值相等.? (4)p: ? 是有理数,q:
2 2

? 是无理数.?

解(1)∵p 是真命题,q 是真命题,∴p ? q 是真命题,p ? q 是真命题, ? p 是假命题. (2) ∵∵p 是假命题,q 是真命题,?∴p ? q 是真命题,p ? q 是假命题, ? p 是真命题. (3)∵p 是假命题,q 是真命题,∴p ? q 是假命题,p ? q 是假命题, ? p 是真命题. (4)∵p 是假命题,q 是真命题,∴p ? q 是真假命题,p ? q 是假命题, ? p 是真命题. 例 2 (14 分) 已知两个命题 r(x):sinx+cosx>m,s(x):x +mx+1>0.如果对 ? x∈R,r(x)与 s(x)有且仅有一个是真命题.
2

求实数 m 的取值范围实心. 解 ∵sinx+cosx= 2 sin(x+

? )≥- 2 ,? 4
3 分?
2

∴当 r(x)是真命题时,m<- 2 又∵对 ? x∈R,s(x)为真命题,即 x +mx+1>0 恒成立,? 有Δ =m -4<0,∴-2<m<2. ∴当 r(x)为真,s(x)为假时,m<- 2 ,? 同时 m≤-2 或 m≥2,即 m≤-2; 当 r(x)为假,s(x)为真时,m≥- 2 且-2<m<2,? 即- 2 ≤m<2. 综上,实数 m 的取值范围是 m≤-2 或- 2 ≤m<2. 例 3 写出下列命题的“否定” ,并判断其真假.? (1)p: ? x∈R,x -x+
2 2

6 分? 9 分?

12 分? 14 分

1 ≥0;? 4

(2)q:所有的正方形都是矩形;? (3)r: ? x∈R,x +2x+2≤0;?
2

(4)s:至少有一个实数 x,使 x +1=0.? 解 (1) ?p : ?x ? R , x 2 ? x ? 因为 ?x ? R , x 2 ? x ?
1 ? 0 ,这是假命题, 4

3

1 1 ? ( x ? ) 2 ? 0 恒成立. 4 2

(2) ?q : 至少存在一个正方形不是矩形,是假命题. (3) ?r : ?x ? R, x (4) ?s : ?x ? R, x
2

? 2x ? 2 >0,是真命题,这是由于 ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 1 >0 成立. ? 1 ≠0,是假命题,这是由于 x=-1 时,x +1=0.
3

3

1.分别指出由下列命题构成的“p ? q”、 ? q”、 ? p”形式的命题的真假. “p “

(1)p:4∈{2,3},q:2∈{2,3};? (2)p:1 是奇数,q:1 是质数;? (3)p:0∈ ? ,q:{x|x -3x-5<0} ? R;?
2

(4)p:5≤5,q:27 不是质数;? (5)p:不等式 x +2x-8<0 的解集是{x|-4<x<2},? q:不等式 x +2x-8<0 的解集是{x|x<-4 或 x>2}.? 解 (1)∵p 是假命题,q 是真命题,∴p ? q 为真,p ? q 为假, ? P 为真. (2)∵1 是奇数,∴p 是真命题, 又∵1 不是质数,∴q 是假命题,因此 p ? q 为真,p ? q 为假, ? p 为假. (3)∵0 ? ? ,∴p 为假命题, 又∵x -3x-5<0 ,?
2 2 2

3 ? 29 3 ? 29 ?x? , 2 2

? ? 3 ? 29 ? ? 3 ? 29 ?x? ∴ x | x 2 ? 3x ? 5 ? 0 ? ? x | ? ? R 成立. 2 2 ? ? ? ?

?

?

∴q 为真命题.∴p ? q 为真命题,p ? q 为假命题, ? p 为真命题. (4)显然 p:5≤5 为真命题,q:27 不是质数为真命题, ∴p ? q 为真命题,p ? q 为真命题, ? p 为假命题. (5)∵x +2x-8<0, ∴(x+4)(x-2)<0.
2 即-4<x<2,∴x +2x-8<0 的解集为 ?x | ?4 ? x ? 2?, ∴命题 p 为真,q 为假. 2

∴p ? q 为真,p ? q 为假, ? p 为假. 2.已知 a>0,设命题 p:函数 y=a 在 R 上单调递减,q:不等式 x+|x-2a|>1 的解集为 R,若 p 和 q 中有且只有一个命 题为真命题,求 a 的取值范围.? 解 由函数 y=a 在 R 上单调递减知 0<a<1,所以命题 p 为真命题时 a 的取值范围是 0<a<1,令 y=x+|x-2a|,
x x

?2 x ? 2a ( x ? 2a) 则 y= ? 不等式 x+|x-2a|>1 的解集为 R,只要 ymin>1 即可,而函 y 在 R 上的最小值为 2a,所以 2a ( x ? 2a) ?2a
>1,即 a>

1 1 .即 q 真 ? a> .? 2 2 1 或 a≥1. 2

所以命题 p 和 q 有且只有一个命题正确时 a 的取值范围是 0<a≤ 3.写出下列命题的否定并判断真假.? (1)p:所有末位数字是 0 的整数都能被 5 整除;? (2)q: ? x≥0,x >0;?
2

(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于 180°;? (4)t:某些梯形的对角线互相平分.? 解 (1) ? p :存在一个末位数字是 0 的整数不能被 5 整除,假命题.
2

(2) ?q : ?x ? 0, x

? 0. 真命题.

(3) ?r :所有三角形的内角和都小于等于 180°,真命题. (4) ?t : 每一个梯形的对角线都不互相平分,真命题.

一、填空题 1.今有命题 p、q,若命题 m 为“p 且 q” ,则“ ? p 或 ? q ”是 ?m 的 答案 充要 . 条件. . 条件.

1 1 2.已知命题 p: ? ? ?0?, q : ? ?? ? ,2?, 由它们组成的“p 或 q”, “p 且 q”和“ ? p ”形式的复合命题中,真命

题的个数为 答案 答案 答案 1 必要不充分
2

3.“p∨q”为真命题”是“p∧q 为真命题”的 4.命题“存在 x∈Z 使 2x +x+m≤0”的否定是 对任意 x∈Z,都有 2x +x+m>0 .
2

5.若命题 p: x ? A ? B ,则 ? p 是 答案 答案 x? A 或 x? B ?

6.若 p、q 是两个简单命题,且“p∨q”的否定是真命题,则必有 p 假 假
2

,q

.(用“真”“假”填空). 、

7.(2009?姜堰中学高三综合卷)已知命题 P:“ ?x ? R,x +2x-3≥0”,请写出命题 P 的否定:

.

?x ? R,x +2x-3<0 答案 2 8. 令 p(x):ax +2x+1>0,若对 ? x∈R,p(x)是真命题,则实数 a 的取值范围是 答案 a>1 ?
2

.

二、解答题 9.指出下列命题的真假:? (1)命题“不等式(x+2) ≤0 没有实数解” ;? (2)命题“1 是偶数或奇数” ;? (3)命题“
2

2 属于集合 Q,也属于集合 R” ;
2

(4)命题“A A ? B”. 解 (1) 此命题为“ ? p”的形式,其中 p:“不等式(x+2) ≤0 有实数解” ,因为 x=-2 是该不等式的一个解, 所以 p 是真命题,即 ? p 是假命题,所以原命题是假命题.? (2)此命题是“p∨q”的形式,其中 p:“1 是偶数” ,q:“1 是奇数” ,因为 p 为假命题,q 为真命题,? 所以 p∨q 是真命题,故原命题是真命题.? (3)此命题是“p∧q”的形式,其中 p:“ 2 属于集合 Q” ,q:“ 2 属于集合 R” ,因为 p 为假命题,q 为真命题,所 以 p∧q 是假命题,故原命题是假命题. (4)此命题是“ ? p”的形式,其中 p:“ A ? A ? B", 因为 p 为真命题, 所以“ ? p”为假命题,故原命题是假命题. 10.写出下列命题的否命题及命题的否定形式,并判断真假:? (1)若 m>0,则关于 x 的方程 x +x-m=0 有实数根;? (2)若 x、y 都是奇数,则 x+y 是奇数;? (3)若 abc=0,则 a、b、c 中至少有一个为零.? 解 (1)否命题:若 m≤0,则关于 x 的方程 x +x-m=0 无实数根; (假命题)? 命题的否定:若 m>0,则关于 x 的方程 x +x-m=0 无实数根.(假命题)? (2)否命题:若 x、y 不都是奇数,则 x+y 不是奇数;(假命题)? 命题的否定:若 x、y 都是奇数,则 x+y 不是奇数.(真命题)? (3)否命题:若 abc≠0,则 a、b、c 全不为 0; (真命题)? 命题的否定:若 abc=0,则 a、b、c 全不为 0.(假命题)
2 2 2

11.已知命题 p: 方程 x +mx+1=0 有两个不等的负实数根; 命题 q:方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实数根.若 “p 或 q” 为真命题, “p 且 q”为假命题,求 m 的取值范围.? 解 由 p 得: ?

2

2

?? ? m 2 ? 4 ? 0 则 , m>2.? ?m ? 0
2 2

由 q 知:Δ ′=16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0,则 1<m<3.? ∵“p 或 q”为真, 且 q”为假,∴p 为真,q 为假,或 p 为假,q 为真.? “p 则?

?m ? 2 ?m ? 2 或? , 解得 m≥3 或 1<m≤2. ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3
2 2

12.(1)是否存在实数 p,使“4x+p<0”是“x -x-2>0”的充分条件?如果存在,求出 p 的取值范围;? (2)是否存在实数 p,使“4x+p<0”是“x -x-2>0”的必要条件?如果存在,求出 p 的取值范围.? 解 (1)当 x>2 或 x<-1 时,x -x-2>0,?由 4x+p<0,得 x<“x<2

p 4

,故-

p 4

≤-1 时,?
2

p 4

” ? “x<-1” ? “x -x-2>0”.?∴p≥4 时, “4x+p<0”是“x -x-2>0”的充分条件.?
2

(2)不存在实数 p 满足题设要求.

单元检测一
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.(2008?北京理,1) 已知全集 U=R,集合 A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1 或 x>4},那么集合 A∩( uB)= 答案 .

?x | ?1 ? x ? 3?
条件. 充分不必要

2.已知 p 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 成立的 ?答案

3.(2009?江安中学第三次月考)已知集合 N= ?x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1? 是集合 M= 为 答案 答案 答案 . 2<a≤3 条件. 充要

?x | ?2 ? x ? 5?的子集,则 a 的取值范围

4.“a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的

5.设集合 M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M 或 x∈P”是“x∈M∩P”的 必要不充分
2

条件.

6.已知命题 p: ? x∈R,使 tanx=1,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2},下列结论:? ①命题“p∧q”是真命题;? ②命题“p∧ ? q ”是假命题;? ③命题“ ? p

? q ”是真命题; ④命题“ ? p ? ? q ”是假命题.
其中正确的是 答案 答案 答案 ①②③④ . -3<a<-1 ?
2

(填序号).

7.(2008?天津理,6)设集合 S={x||x-2|>3},T={x|a<x<a+8},S∪T=R,则 a 的取值范围是 8.若集合 A={1,m },集合 B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的 充分不必要 条件.

9.若数列{an}满足

2 an?1 2 an

=p(p 为正常数,n∈N ) ,则称{an}为“等方比数列”.

*

甲:数列{an}是等方比数列; 乙:数列{an}是等比数列,则甲是乙的 答案 答案 答案 答案 答案 必要不充分
U

条件.

10.(2008?浙江理,2)已知 U=R,A={x|x>0},B={x|x≤-1},则(A∩ UB)∪(B ? {x|x>0 或 x≤-1}? . 条件.? .? {1,2,5}?
2

A)=

.

11.设集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B= 12.已知条件 p:|x+1|>2,条件 q:5x-6>x ,则非 p 是非 q 的 充分不必要? a≥1 13.不等式|x|<a 的一个充分条件为 0<x<1,则 a 的取值范围为 14.下列命题中:?

①若 p、q 为两个命题,则“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的必要不充分条件;? ②若 p 为: ? x∈R,x +2x+2≤0,则 ? p 为: ? x∈R,x +2x+2>0;?
2 2

③若椭圆

x2 y2 =1 的两焦点为 F1、F2,且弦 AB 过 F1 点,则△ABF2 的周长为 16;? ? 16 25
2

④若 a<0,-1<b<0,则 ab>ab >a.? 所有正确命题的序号是 答案 ②④
2 2

.?

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分)? 15.(14 分)设命题 p: (4x-3) ≤1;命题 q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值 范围.? 解 设 A={x|(4x-3) ≤1},B={x|x -(2a+1)x+a(a+1)≤0},易知 A={x|
2 2

1 ≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}.? 2

1 ? ?a ? 由 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A B,∴ ? 2 , ?a ? 1 ? 1 ?

故所求实数 a 的取值范围是[0,

1 ]. 2

2 2 16.(14 分)已知集合 U=R, UA= x | x 2 ? 6 x ? 0 ,B={x|x +3(a+1)x+a -1=0},且 A∪B=A,求实数 a 的取值范围.

?

?



∵A={0,-6},A∪B=A,∴B ? A.?

?0 ? (?6) ? ?3(a ? 1) ? , 得 a=1,? (1)当 B=A 时,由 ? ?0 ? a 2 ? 1 ?

(2)当 B A 时,? ①若 B= ? ,则方程 x +3(a+1)x+a -1=0 无实根.即Δ <0,得 9(a+1) -4(a -1)<0,解得2 2 2 2

13 <a<-1.? 5

②若 B≠ ? ,则方程 x +3(a+1)x+a -1=0 有相等的实根,
2 2

即Δ =0,即 a=-1 或 a=-

13 .由 a=-1 得 B={0},有 B A;? 5

由 a=-

13 12 13 ,得 B={ }不满足 B A,舍去,综上可知,<a≤-1 或 a=1. 5 5 5
x ?1 2 2 |≤2,q:x -2x+1-m ≤0(m>0) ,且 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件,求实数 m 的取值 3
2

? 17.(14 分)已知 p:|1范围. 解 方法一

由 x -2x+1-m ≤0,得 1-m≤x≤1+m,?
x ?1 |≤2,得-2≤x≤10,? 3

2

∴ ? q :A={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0},由|1-

∴ ?p : B ? ?x | x ? 10或x ? ?2? ,∵ ? p 是 ? q 的必要而不充分条件,?

?m ? 0 ? ∴A B ? ?1 ? m ? ?2, 解得 m≥9. ?1 ? m ? 10 ?
方法二?∵ ? p 是 ? q 的必要而不充分条件,? ∴q 是 p 的必要而不充分条件,∴p 是 q 的充分而不必要条件, 由 x -2x+1-m ≤0.得 1-m≤x≤1+m(m>0),∴q:B= ?x | 1 ? m ? x ? 1 ? m? .
2 2

又由|1-

x ?1 |≤2,得-2≤x≤10,∴p:A= ?x | ?2 ? x ? 10? .又∵p 是 q 的充分而不必要条件.? 3

?m ? 0 ? ∴B A ? ?1 ? m ? ?2 ,解得 m≥9. ?1 ? m ? 10 ?
18.(16 分)求关于 x 的方程 ax -(a +a+1)x+a+1=0 至少有一个正根的充要条件.? 解 方法一 若 a=0,则方程变为-x+1=0,x=1 满足条件,若 a≠0,则方程至少有一个正根等价于?
2 2

?a ? 1 ? 0 a ?1 ? ? ? 0或? a 2 ? a ? 1 a ?0 ? a ?
? a2 ? a ?1 ?0 ? a ? ? a ?1 ?0 ? -1<a<0 或 a>0. 或? ? a ?? ? (a 2 ? a ? 1) 2 ? 4a (a ? 1) ? 0 ? ?

综上:方程至少有一正根的充要条件是 a>-1.? 方法二
2 2

若 a=0,则方程即为-x+1=0,?
2 2 2 2 2 2 2

∴x=1 满足条件;若 a≠0,∵Δ =(a +a+1) -4a(a+1)=(a +a) +2(a +a)+1-4a(a+1)? =(a +a) -2a(a+1)+1=(a +a-1) ≥0,∴方程一定有两个实根.?

? a2 ? a ?1 ?0 ? ? a 故而当方程没有正根时,应有 ? , 解得 a≤-1, ? a ?1 ? 0 ? a ?
∴至少有一正根时应满足 a>-1 且 a≠0, 综上:方程有一正根的充要条件是 a>-1. 19.(16 分)记函数 f(x)= 2 ? (1)求 A;

x?3 的定义域为 A,g(x)=lg ?( x ? a ? 1)(2a ? x)?(a ? 1) 的定义域为 B. x ?1

(2)若 B ? A,求实数 a 的取值范围. 解 (1)由 2x?3 x ?1 ? 0, 得 ? 0, ∴x<-1 或 x≥1,即 A=(-∞,-1) ? ?1,?? ? . x ?1 x ?1

(2)由(x-a-1)(2a-x) >0,得(x-a-1)(x-2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a,∵B=(2a,a+1). 又∵B ? A,∴2a≥1 或 a+1≤-1,即 a≥

1 1 或 a≤-2.∵a<1,∴ ≤a<1 或 a≤-2, 2 2

?1 ? 故 B ? A 时,a 的取值范围是 ?? ?,?2?? ? ,1?. ?2 ?
20.(16 分)设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a<0;q:实数 x 满足 x -x-6≤0,或 x +2x-8>0,且 ?p是?q 的必
2 2 2 2

不充分条件,求 a 的取值范围.? 解 设 A={x|p}={x|x -4ax+3a <0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},?
2 2 2 2 2 2

B={x|q}={x|x -x-6≤0 或 x +2x-8>0}={x|x -x-6≤0}∪{x|x +2x-8>0}? ={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4 或 x>2}= ?x | x ? ?4或x ? ?2?. ∵ ?p是?q 的必要不充分条件,∴ ?q ? ?p, 且?p 则 ?x | ?q?

?q .
R

?x | ?p?. 而 ?x | ?q? ? B= ?x | ?4 ? x ? ?2?, ?x | ?p? = ∴ ?x | ?4 ? x ? ?2? ?x | x ? 3a或x ? a, a ? 0?, 2 ?3a ? ?2, ?a ? ?4, 则? 综上可得- ? a ? 0或a ? ?4. 或? a ? 0, a ? 0. 3 ? ?
R

A= ?x | x ? 3a或x ? a, a ? 0?,


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