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步步高高中数学 步步高选修2-3 第二章 章末复习课

学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随 机现象的重要性;2.理解超几何分布及其导出过程,并能够进行简单的应用;3.了解条件概率 和两个事件相互独立的概念,理解 n 次独立重复试验模型及二项分布,并能解决一些简单的 实际问题;4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,能计算简单的离散型 随机变量的均值、方差,并能解决一些简单的实际问题;5.通过实际问题的直方图,了解正 态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 1.条件概率的性质 (1)非负性:0≤P(B|A)≤1. (2)可加性:如果 B 和 C 是两个互斥事件, 则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). 2.相互独立事件的性质 (1)推广:一般地,如果事件 A1,A2,…,An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率等于 每个事件发生的概率的积,即 P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An). (2)对于事件 A 与 B 及它们的和事件与积事件有下面的关系:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). 3.二项分布满足的条件 (1)每次试验中,事件发生的概率是相同的. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生. (4)随机变量是这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数. 4.均值与方差的性质 (1)若 η=aξ+b(a,b 是常数),ξ 是随机变量,则 η 也是随机变量,且 E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ) +b. (2)D(aξ+b)=a2D(ξ). (3)D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2. 5.正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6. (2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4. (3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4. 类型一 条件概率的求法 例 1 口袋中有 2 个白球和 4 个红球,现从中随机地不放回连续抽取两次,每次抽取 1 个, 则: (1)第一次取出的是红球的概率是多少? (2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少? (3)在第一次取出红球的条件下,第二次取出的是红球的概率是多少? 解 记事件 A:第一次取出的是红球;事件 B:第二次取出的是红球. (1)从中随机地不放回连续抽取两次,每次抽取 1 个,所有基本事件共 6×5 个;第一次取出 的是红球,第二次是其余 5 个球中的任一个,符合条件的有 4×5 个, 所以 P(A)=46× ×55=23. (2)从中随机地不放回连续抽取两次,每次抽取 1 个,所有基本事件共 6×5 个;第一次和第 二次都取出的是红球,相当于取两个球,都是红球,符合条件的有 4×3 个, 所以 P(AB)=46× ×35=25. (3)利用条件概率的计算公式, 2 可得 P(B|A)=PP??AAB??=52=35. 3 反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础,计算条件概率时,必须搞清欲求 的条件概率是在什么条件下发生的概率.一般地,计算条件概率常有两种方法: (1)P(B|A)=PP??AAB??; (2)P(B|A)=nn??AAB??.在古典概型下,n(AB)指事件 A 与事件 B 同时发生的基本事件个数;n(A)是 指事件 A 发生的基本事件个数. 跟踪训练 1 掷两颗均匀的骰子,已知第一颗骰子掷出 6 点,问“掷出点数之和大于或等于 10”的概率. 解 设“掷出点数之和大于或等于 10”为事件 A,“第一颗了掷出 6 点”为事件 B, 方法一 3 P(A|B)=PP??ABB??=366=12. 36 方法二 “第一颗骰掷出 6 点”的情况有(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共 6 种.∴n(B) =6. “掷出点数之和大于或等于 10”且“第一颗掷出 6 点”的情况有(6,4),(6,5),(6,6)共 3 种, 即 n(AB)=3. ∴P(A|B)=nn??ABB??=36=12. 类型二 求相互独立事件的概率 例 2 在某次 1 500 米体能测试中,甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为25,34,13,求: (1)3 人都通过体能测试的概率; (2)恰有 2 人通过体能测试的概率; (3)恰有 1 人通过体能测试的概率. 解 设 A 表示事件“甲通过体能测试”,B 表示事件“乙通过体能测试”,C 表示事件“丙 通过体能测试”.由题意有:P(A)=25,P(B)=34,P(C)=13. (1)设 M1 表示事件“甲、乙、丙 3 人都通过体能测试”,即 M1=ABC. 由事件 A,B,C 相互独立,可得: P(M1)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25×34×13=110. (2)设 M2 表示事件“甲、乙、丙 3 人中只有 2 人通过体能测试”,则 M2=AB C +A B C+ A BC,由于事件 A,B,C 彼此相互独立,则 A , B , C 也相互独立,并且事件 AB C ,A B C, A BC 互斥,因此所求概率为 P(M2)=P(A)P(B)P( C )+P(A)P( B )P(C)+P( A )P(B)P(C) =25×34×??1-13??+25×??1-34??×13+??1-25??×34×13=2630. (3)设 M3 表示事件“甲、乙、丙 3 人中只有 1 人通过体能测试”,则 M3=A B C + A B C + A B C 由于事件,A,B,C, A , B , C 均相互独立,并且事件 A B C , A B C , A B C 两两互斥,因此所求概率为 P(M3)=P(A)P( B )P( C )+P( A )P(B)P( C )+ P( A )P( B )P(C) =25×??1-34??×??1-13??+??1-25??×34×??1-13??+??1-25

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