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1.1.2集合间的基本关系课件_图文

回忆复习
(1)常用数集有哪些?记号各是什么? (2)集合中的元素有哪些特征? (3)集合与元素的关系是什么? (4)集合的表示法主要有哪些?

回忆复习
设x∈R,y∈R,观察下面四个集合 A={ y=x2-1 } B={ x | y=x2-1 } C={ y | y=x2-1 } D={ (x, y) | y=x2-1 } 它们表示含义相同吗?

新课 思考
实数有相等关系、大小关 系,如5=5,5<7,5>3, 等等,类比实数之间的关系, 你会想到集合之间的什么关系?

提出问题

已知 M ? {?1,1}, N

2 ? {?1,1,3} , P ? {x x ?1 ? 0} ,

( 4)分别说出各集合中的元素 ? ( 1)哪些集合表示方法是列举法? 集合M和集合N 集合M中元素有-1,1;集合N中元素有-1,1,3; 集合P ( 2 )哪些集合表示方法是描述法? 集合P中元素有-1,1. (3)将集合M、集合N、集合P用图示法表示. (5)集合M中元素与集合N有何关系? 集合M中元素与集合P有何关系? -1 1 -1 1 -1 1 3 集合M中任何元素都是集合N的元素. 集合MM 中任何元素都是集合 P的元素. P N

子集的概念
一般地,对于两个集合A、B, 如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个 集合有包含关系,称集合A为集合B的子集. 记作 A ? B (或B ? A) 读作 “A含于B”(或“B包含A” )

B

A

1.子 集

示例1:A={1,2,3}
B={1,2,7} C={1,2,3,4,5} 这时, 我们说集合A是集合C的子集.

( 若 x ? A, 则 x ? C , 则 A ? C )
而从B与C来看,显然B不包含于C. 注意:区别∈与 ? .

集合相等与真子集的概念
  如果集合 A是集合B的子集(A ? B) ,且集合B是 集合A的子集(B ? A),此时,集合 A与集合B中 的元素是一样,因此, 集合A与集合B相 等,     记作    A=B

读作:A等于B

如果集合A ? B,但存在元素x ? B,且x ? A, (即A ? B)我们称集合A是集合B的真子集。 记作A?B,或B?A. 读作:A真含于B, ? ? 或B真包含A

2.集合相等 示例2:

A={ x|x是两边相等的三角形}, B={ x|x是等腰三角形}, 有A?B,B?A,则A=B.
?若A?B,B?A,则A=B.

3.真子集 示例3:A={1, 2, 7},B={1, 2, 3, 7}, 因为A?B,但存在元素3∈B,且

3? A,(A≠B),称A是B的真子集.
记作A?B,或B?A.

?

?

4.空 集

示例4:考察下列集合,并指出集合中的 元素是什么? A={(x, y)| x+y=2}; B={x| x2+1=0,x∈R}.
? A表示的是x+y=2上的所有的点; ? B没有元素.

不含任何元素的集合为空集,记作?. 规定:空集是任何集合的子集,空集 是任何非空集合的真子集. B是A的真子集.

集合之间的基本关系.
( 1 )任何一个集合是它本 身的子集,即        A?A ( 2 )对于集合A、B、C,如果A ? B,B ? C,那么 A ? C.

?

子集的传递性

例1⑴写出集合{a,b}的所有子集; ⑵写出所有{a,b,c}的所有子集; ⑶写出所有{a,b,c,d}的所有子集.

⑴ ?, {a},{b},{a,b} ; ⑵ ? ,{a},{b},{c},{a,b}, {a,c}, {b, c}, {a,b,c} ; ⑶ ? ,{a},{b},{c},{d},{a, b},{b, c}, {a, d},{a, c}, {b, d}, {c, d}, {a,b,c},{a,b,d}, {b,c,d}, {a,d,c} ,{a,b,c,d}.

例1⑴写出集合{a,b}的所有子集; ⑵写出所有{a,b,c}的所有子集; ⑶写出所有{a,b,c,d}的所有子集.

一般地,集合A含有n个元素, 则A的子集共有2n个,A的真子集 共有2n-1个.

例1⑴写出集合{a,b}的所有子集; ⑵写出所有{a,b,c}的所有子集; ⑶写出所有{a,b,c,d}的所有子集.

⑴ ?, {a},{b},{a,b} ; ⑵ ? ,{a},{b},{c},{a,b}, {a,c}, {b, c}, {a,b,c} ; ⑶ ? ,{a},{b},{c},{d},{a, b},{b, c}, {a, d},{a, c}, {b, d}, {c, d}, {a,b,c},{a,b,d}, {b,c,d}, {a,d,c} ,{a,b,c,d}.

A

A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

反馈演练
1、下列命题: (1)空集没有子集; (2)任何集合至少有两个 子集; (3)空集是任何集合的真子集;其中正确的有( A ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

反馈演练

2.判断下列说法是否正确:

(1)??? 表示空集 . (2) ?1,2,3?不是 ?3,2,1?;
(3)?0,1? 的所有子集是 ?0?, ?1?, ?0,1? ; (5) A ? B 与 B ? A不能同时成立.

(×) (×) (×)

(4)如果 A ? B且 A ? B ,那么B必是A的真子集; (√)
(×)

反馈演练
3. 用适当的符号( ?,?, ? ,



)填空:

? ?; (1)0 ____ ? ?0? ;? ___?0? ; 0 ___
?0?___?x x 2 ? 1 ? 0, x ? R? ? ___ = ?x x 2 ? 1 ? 0, x ? R? ; (2)
(3)设

? B ? ?x x ? 2m ? 1, m ? Z, ? A ? ?x x ? 2n ? 1, n ? Z ,
C.

? A =B C ? ?x x ? 4k ? 1, k ? Z,则

反馈演练
4.已知A ? {x | ?2 ? x ? 5},B ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1}, B ? A,求实数a的取值范围.

解: ? ? ? A, ?当B ? ?,有a ? 1 ? 2a ? 1, 即a ? 2 ?2 a ? 1 ? a ? 1 ? 当B ? ?时,有?a ? 1 ? -2 ?2 a ? 1 ? 5 ? ?2 ? a ? 3 综上所述,a的取值范围a ? 3.

课堂练习
1.教科书8面练习第2、3题
2.教科书13面习题1.1第5题

课堂小结
?子集:A?B?任意x∈A?x∈B. A?B ? x∈A,x∈B,但存在 ?真子集: x0∈A且x0?A. ?集合相等:A=B?A?B且B?A. ?空集:?. 性质:①??A,若A非空,则??A. ? ②A?A. ③A?B,B?C?A?C.

?

机动例题
1、设集合A={1, a, b},

B={a, a2, ab},
若A=B,求实数a, b.

机动例题
2、已知A={x | x2-2x-3=0},

B={x | ax-1=0},
若B?A, 求实数a的值.

机动例题
3、设集合A={x|1≤x≤3},B={x|x-a≥0} 若A是B的真子集,求实数a的取值范围。
4、设A={1,2},B={x|x?A},问A与B有什 么关系?并用列举法写出B?

机动例题
5、设集合A ? {x|x 2 ? 4x ? 0},B ? {x|x 2 ? 2(a ? 1)x ? a 2 -1 ? 0,a ? R}, 若B ? A,求实数a的值.

解: A ? {0, -4},B ? A,于是可分类处理. (1)当A ? B时,B ? {0, -4}. 由此知:, 0 -4是方程x ? 2(a ? 1) ? a ? 1 ? 0的两根,
2 2

由韦达定理得 ?-2(a ? 1) ? ?4 ? 2 ?a ? 1=0 解得 a ? 1

Thank you

Thank you

(2)当B ? A时,又可分为: (a) B ? ?时,即B ? {0},或B ? {-4}, ? ? 4(a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0, 解得a ? ?1
2 2

B ? {0}满足条件; (b)B ? ?时,? ? 4(a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0, 解得a ? ?1
2 2

综合(1)、 (2)知,所求实数a的值a ? ?1, 或a ? 1.

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