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湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期11月份月考数学(理)试题(含精品解析)

2019 届湖南雅礼中学高三上学期 11 月份月考试题
第I卷 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
1.设全集 I 是实数集 R, 合为 都是 I 的子集(如图所示),则阴影部分所表示的集

A. C. 【答案】B 【解析】 由题意

B. D.

, 故选 B.

由图知阴影部分所表示的集合为

【点睛】本题考查 Venn 图表达集合的关系及运算,解题的关键是根据图象得出 出阴影部分所表示的集合. 2.设 A. 1 B. ,其中 x,y 是实数,则 C. D. 2

再由集合的运算求

【答案】B 【解析】 试题分析:因为 【考点】复数运算 【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容 有:复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运 算错误,特别是 3.已知命题 :函数 于直线 中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性. 的图象恒过定点 ;命题 :若函数 为偶函数,则函数 的图象关 所以 故选 B.

对称,则下列命题为真命题的是( )

A. 【答案】D 【解析】

B.

C.

D.

试题分析:当

时,

,所以命题 为假命题;若函数 的图象关于直线

为偶函数,即函数

的图象向右平

移 1 个单位后关于 轴对称,所以 真命题. 考点:逻辑联结词与命题。

对称,所以命题 为假命题。由此可判断选项 A 为

4.某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的 范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直 方图,这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是

A. 56

B. 60

C. 120

D. 140

【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知中的频率分布直方图, 先计算出自习时间不少于 22.5 小时的频率, 进而可得自习时间不少于 22.5 小时 的频数. 【详解】 根据频率分布直方图, 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5 =0.7, 故 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数为 200×0.7=140. 故选:D. 【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图,难度不大,属于基础题目. 5.执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数:① 函数是( ) ;② ;③ ;④ .则输出的

A. C. 【答案】A 【解析】 试题分析:对① D.

B.

,显然满足

,且存在零点.故选 A.

考点:程序框图及函数的性质. 6.若变量 x,y 满足 A. 4 B. 9 C. 10
2 2 则 x +y 的最大值是

D. 12

【答案】C 【解析】 试题分析:画出可行域如图所示,点 A(3, 1)到原点距离最大,所以 ,选 C.

【考点】简单线性规划 【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用,是一道基础题目.从历年高考题目看,简单线性规划问题是不

等式中的基本问题,往往围绕目标函数最值的确定,涉及直线的斜率、两点间的距离等,考查考生的绘图、用图 能力,以及应用数学知识解决实际问题的能力. 【此处有视频,请去附件查看】

7.在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过 其关。”则下列说法错误的是( ) A. 此人第二天走了九十六里路 C. 此人第三天走的路程占全程的 【答案】C 【解析】 由题意可知,每天走的路程里数构成以 为公比的等比数列,由 S6=378 求得首项,再由等比数列的通项公式求第 二天的,第三天的,后三天的路程,即可得到答案. 8.如图,下列三图中的多边形均为正多边形,M、N 是所在边上的中点,双曲线均以图中 设图①②③中双曲线的离心率分别为 ,则 为焦点.从左到右 B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里. D. 此人后三天共走了 42 里路

A. 【答案】D 【解析】 【分析】

B.

C.

D.

分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质,将 系,分别求出图示①②③中的双曲线的离心率 【详解】图①中, 图③中, 设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为 , 则 图 ②中, ,故选 D.

用 表示,然后利用双曲线的定义,求得 , 的等量关 ,然后再判断 ; , 则 , ; 的大小关系.

【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率,属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难

点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出

,从而求出 ;②构造

的齐次式,求出 ;③采用离心率的定义

以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解. 9.已知 A. 是边长为 4 的等边三角形, 为平面 B. C. D. 内一点,则 的最小值为 ( )

【答案】B 【解析】

如图建立坐标系, 则

,设 ,



, 最小值为 ,故选 B。

点睛:已知图形的向量问题采用坐标法,可以将几何问题转化为计算问题,数形结合的思想应用。坐标法后得到 函数关系,求函数的最小值。向量问题的坐标化,是解决向量问题的常用方法。 10.一个棱长为 2 的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为( )

A.

B. 4

C. 3

D.

【答案】A

【解析】

如图所示,正方体被面 ABCD 所截,截面 ABCD 是上底为 ,下底为 可得高为 .

,两腰长为 的等腰梯形,

其面积为 故选 A.

.

点睛: 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力, 三视图问题是考查学生空间 想象能力最常见题型,也是高考热点. 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的 三要素“高平齐, 长对正, 宽相等”, 还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 11.如图,已知抛物线 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,且过点(2,4),圆 直线 l 与抛物线和圆分别交于 P,Q,M,N,则 的最小值为 ,过圆心 的

A. 36 C. 49

B. 42 D. 50

【答案】B 【解析】

【分析】 设拋物线的标准方程,将点代入拋物线方程,求得拋物线方程,设出直线方程并与抛物线方程联立,根据韦达定 理可得 ,则 ,由焦半径公式以及基本不等式,即可求得结果.

【详解】设抛物线方程为 由抛物线过定点 圆的标准方程为 得 ,抛物线方程 圆心为 ,焦点为 ,半径 ,设 , ,

由于直线过焦点,可设直线方程为 , 又

, 时等号成立, 的最小值为 ,故选 B. 【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质,以及直线与抛物线的位置关系、利用基本不等式求最值,属于中档 题. 利用基本不等式 12.已知函数 的个数为 A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 求最值,要注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”. ,设 ,若 中有且仅有 4 个元素,则满足条件的整数

【答案】D 【解析】 【分析】 因为 画出函数图象, 的图象在 等价于当 上面,平移 时, ;当 时, ,即 轴左侧 的图象在

下面, 轴右侧 【详解】因为 画出

,符合条件的整数根,除零外有三个即可.

,符合条件的整数根,除零外有且只有三个即可,

的函数图象如图所示,



时,

;当 的图象在 ,

时,

, 的图象在 , 上面,

即 轴左侧

下面, 轴右侧

, 平移 当 时, 时, 时, 整数 的值为 及 ,共 个,故选 D. ,由图可知, 时, ,符合题意; ,符合题意; ,符合题意; ,符合题意



【点睛】本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用,属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对 应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤 其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法 的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换, 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为 简,并迎刃而解.

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知{ }是等差数列, 是其前 项和.若 【答案】 , =10,则 的值是 .

【解析】 由 得 ,因此

【考点】等差数列的性质 【名师点睛】本题考查等差数列的基本量,对于特殊数列,一般采取待定系数法,即列出关于首项及公差(比) 的两个独立条件即可.为使问题易于解决,往往要利用等差数列相关性质,如 及 【此处有视频,请去附件查看】

14.定义在区间[0,3π]上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是 【答案】7 【解析】 由 考点:三角函数图像 15.若直线 ( 都是正实数)与圆 相交于 两点,当 ,因为 ,所以

.

共7个

( 是坐标原点)的面积最大时,

的最大值为__________. 【答案】2 【解析】 根据题意画出图形,如图所示:



的面积为 可得,

为直角三角形,

,则点 到直线

的距离为 ,即

,那么只有当且仅当 16.如图, 在棱长为 1 的正方体

时,

取最大值 .

中, 作以 A 为顶点, 分别以 AB, AD, AA1 为轴, 底面圆半径为

的圆锥.当半径 r 变化时,正方体挖去三个 圆锥部分后,余下的几何体的表面积的最小值是__________.

【答案】 【解析】 【分析】 余下几何体的表面积由原正方体的表面积剩余部分和 3 个 圆锥的侧面组成,其表面积为 ,利用导数研究函数的单调性,求出最值即可. 【详解】由题意,余下几何体的表面积由原正方体的表面积剩余部分和 3 个 圆锥的侧面组成, 其表面积为 ,其中 设 , ,

求导并整理得





时,

, 故 故当 在 上是减函数,则余下几何体的表面积 在 时, . , 上也是减函数,

故答案为

【点睛】求几何体的表面积的方法:(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题, 即将空间图形平 面化,这是解决立体几何的主要出发点,求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、 台体,先求这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或求差求得几何体的表面积.

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
17.已知 三个内角 的对边分别为 , 的面积 满足 .

(1)求角 的值; (2)求 【答案】 (1) ;(2) 【解析】 试题分析: (1)由余弦定理 ,所以 试题解析:(1) 和面积公式 代 入 可 求 角 C.(2) 由 ( 1 ) 得 ,可求的范围。 的取值范围.

,消去角B,变成关于角 A 的三角函数,注意

,又 (2)



.

【点睛】 (1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某 个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角 的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. (2)在解三角形的问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三

角函数值的符号,防止出现增解或漏解.

18.如图,四棱锥 (1)证明: (2)若直线 ; 与平面

中,侧面

为等边三角形且垂直于底面



.

所成角为

,求二面角

的余弦值.

【答案】(1)见解析;(2) 【解析】 试题分析: (1)取 的中点为 ,连接 平面 ,由正三角形性质得 ,由矩形的性质得 ,根据线

面垂直的判定定理可得 间直角坐标系 试题解析: (1) 取 为矩形, (2) 由面 即 角坐标系 的法向量为 , 面 ,由 ,则 .

,从而可得结论; (2) 的法向量与平面 , 平面 知, 平面 .分别以 , ,则 , ,设平面 由图可知二面角

的方向为 轴, 轴, 轴的正方向建立空

,分别求出平面 的中点为 , 连接 ,

的法向量,利用空间向量夹角的余弦公式可得结果. .底面 .又 两两垂直, 直线 中, 可得四边形 ,所以 与平面 . 所成角为 ,

为等边三角形, , , 平面

,知

,得

的方向为 轴, 轴, 轴的正方向建立空间直 , 设平面 的法向量为 的余弦值 , . ,则

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何 问题的一般步骤是: (1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系; (2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向 向量; (3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量; (4)将空间位置关系转 化为向量关系; (5)根据定理结论求出相应的角和距离.

19.已知椭圆 的两条直线

两焦点分别为 分别交椭圆于 两点.

是椭圆在第一象限弧上一点,并满足

,过 P 作倾斜角互补

(1)求 点坐标; (2)求证:直线 (3)求 的斜率为定值;

面积的最大值. ; (2)证明见解析; (3) .

【答案】 (1) 【解析】 【分析】

(1)设出 的坐标,则可分别表示出 得 和 即 的坐标; (2)设出



,进而利用

求得 和 的关系,同时根据 ,表示出 和



的方程,与椭圆方程联立根据

,同理表示出点 的坐标,进而

求得 求得 论.

的斜率,化简即可得结果; (3)设出 ,最后利用弦长公式求得

的方程与椭圆的方程联立,利用韦达定理表示出



,进而

的长, 利用三角形面积公式表示出三角形面积, 结合基本不等式即可得到结

【详解】 (1)由题可得 设 则 , ,







在曲线上,则



从而 则点 的坐标为 .

,得



(2)由题意知,两直线 则 由 的直线方程为 得

的斜率必存在,设 ,

的斜率为







,则



同理可得







的斜率 (3)设 的直线方程 得

为定值. , ,







到 则

的距离为



, 当且仅当 三角形 时取等号, 面积的最大值为 .

【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般 有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲 线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单 调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形面积最值的.

20.十九大提出,加快水污染防治,建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量 X(单位:吨)的历史 统计数据,得到如下频率分布表:将污水排放量落入各组的频率作为概率,并假设每年该河流的污水排放量相互 独立

(1)求在未来 3 年里,至多 1 年污水排放量 (2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下:当

的概率; 时,没有影响;当 时,经济损失为

10 万元;当 X∈[310,350)时,经济损失为 60 万元.为减少损失,现有三种应对方案: 方案一:防治 350 吨的污水排放,每年需要防治费 3.8 万元; 方案二:防治 310 吨的污水排放,每年需要防治费 2 万元; 方案三:不采取措施. 试比较上述三种方案,哪种方案好,并请说明理由. 【答案】(1) .

(2) 采取方案二最好,理由见解析. 【解析】 【分析】

(1) 设在未来 3 年里, 河流的污水排放量 的概率值为 .

的年数为 ,由题意可知

,据此计算可得满足题意

(2)由题意结合各个方案的数学期望,比较计算可得三种方案中方案二的平均损失最小,所以采取方案二最好. 【详解】(1)由题得 设在未来 3 年里,河流的污水排放量 设事件“在未来 3 年里,至多有一年污水排放量 , 的年数为 ,则 ”为事件 ,则 的概率为 . . 万元. .

.∴在未来 3 年里,至多 1 年污水排放量 (2) 方案二好,理由如下:由题得 用 ,

分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则

的分布列为:

. 的分布列为:

. ∴三种方案中方案二的平均损失最小,所以采取方案二最好. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量分布列的计算与应用,数学期望的理解与应用,意在考查学生的转化能力 和计算求解能力.

21.已知函数 (1)当 时,

. 取得极值,求 的值. 时,总有 . 成立,求 m 的取值范围.

(2)当函数

有两个极值点 ;(Ⅱ)

【答案】 (Ⅰ)

【解析】 试题分析:⑴求导后,代入 ,继而算出 分类讨论 解析: (Ⅰ) 检验 所以 时, 时, 时, (Ⅱ) 所以 定义域为 , , 、 、 , 取得极值,从而计算出 的值,并进行验证(2)由函数 ,构造新函数 有两个极值点算出 ,

,不等式转化为 时三种情况,从而计算出结果 , , 为增函数; 为极大值点 ,则 ,则

为减函数,所以 ,有两个极值点



上有两个不等正根

,所以

.所以

,所以

这样原问题即



时,

成立







,即





① 所以 所以, ② ③ (ⅰ) 这样 这样 (ⅱ) 令 所以,

时, 在

, 上为增函数且 时, ,

不合题意舍去. 同①舍去

时, 时 ,即 时,

时可知 ,

,在 时 成立

上 ,

为减函数且



,即 ,则 故舍去



分子中的一元二次函数的对称轴 时, , 为增函数,

开口向下,且 1 的函数值为

综上可知: 点睛:本题考查了含有参量的函数不等式问题,在含有多个参量的题目中的方法是要消参,从有极值点这个条件 出发推导出参量 及 的取值范围,在求解 的范围时注意分类讨论,本题综合性较强,题目有一定难度

22.在极坐标系中,曲线 :

,曲线 :

.以极点为坐标原点,极轴为 轴正半轴建立直角坐

标系

,曲线 的参数方程为

( 为参数).

(1)求 , 的直角坐标方程; (2) 与 , 交于不同四点,这四点在 上的排列顺次为 【答案】 (1) 【解析】 分析:(1)极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线 的直角坐标方程为 为: . ,它们对应的参数分别为 .联立直线的参数方程与二次曲线 .曲线 的直角坐标方程 , ;(2) ,求 的值.

(2)不妨设四个交点自下而上依次为

的方程可得 详解:(1)因为 由 得



.则 , , . , .



所以曲线 的直角坐标方程为 由 得

所以曲线 的直角坐标方程为:

(2)不妨设四个交点自下而上依次为

,它们对应的参数分别为





代入



得 则

,即

, , .



代入



得 所以

,即

,则



. .

点睛:本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化,直线参数方程的几何意义等知识,意在考查学生的转化能力 和计算求解能力.

23.已知函数 (1)若 时,解不等式:

. ; 恒成立,求实数 a 的取值范围.

(2)对任意实数 x,不等式

【答案】 (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)当

; (Ⅱ)

.

时,原不等式即

,分类讨论去掉绝对值号,即可求解不等式的解集; ,去掉绝对值号,即可求解实数 的取值范围. , ,

(Ⅱ)利用绝对值不等式得到 试题解析: (Ⅰ)当 时,原不等式即









所以原不等式的解集为 (Ⅱ) 当 所以 时, 或 ,依题意 ,解得 , 或 ,

所以实数 a 的取值范围为


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