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2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习函数的图象

函数的图象

【知识点精讲】

一、作函数图象的基本方法有两种:

(1) 描点法:1、先确定函数定义域,讨论函数的性质(奇偶性,单调性,周期性)

2、列表(注意特殊点,如:零点,最大最小,与轴的交点)

3、描点,连线

如:作出函数 y ? x ? 1 的图象. x
(2) 图象变换法:利用基本初等函数变换作图

y ? f (x) ?h??0,?右移?;h?0?,左?移? y ? f (x ? h)

1、 平移变换:(左正右负,上正下负)即
y

?

f (x) ?k??0,?下移?;k?0?,上?移? y ?

f (x) ? k

2、 对称变换:(对称谁,谁不变,对称原点都要变)
y ? f (x) ??x轴? y ? ? f (x)

y ? f (x) ??y轴? y ? f (?x)

y ? f (x) ?原??点? y ? ? f (?x)

y ? f (x) ??y??x? y ? f ?1 (x)

y ? f (x) ??y轴右?边不?变?,左?边为?右边?部分?的?对称?图? y ? f ( x )

y ? f (x) ?保?留?x轴上?方图?,?将x轴?下方?图?上?翻? y ? f (x)

仍一点的横坐标变为原来的?? 1 ??倍
3、 伸缩变换: y ? f (x) ????????????? ? y ? f (?x) y ? f (x) ?仍?一?点的?纵坐?标变?为? 原来?的A?倍? y ? Af (x)
二、图象对称性的证明:注意区别一个图象,还是两个图象 (1)、证明函数图象的对称性:图象上任一点关于对称轴(对称点)的对称点仍在图象上 (2)、证明两个图象 C1C2 的对称性:证 C1 上任意点关于对称轴(对称点)的对称点在 C2 图
象上,反之也对 三、有关结论:
(1) 若 f(a+x)=f(a-x),x∈R 恒成立,则 y=f(x)关于 x=a 对称 (2) 若 f(a+x)=f(b-x),x∈R 恒成立,则 y=f(x)关于 x=(a+b)/2 对称 (3) 若 f(a+x)= -f(a-x),x∈R 恒成立,则 y=f(x)关于点(a,0)对称 (4) 函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)的图象关于直线 x=(b-a)/2 对称 (5) 若定义在 R 上的函数 f(x) 关于 x=a 和 x=b(b>a)对称,则 y=f(x)为周期函数,2b-2a 为它
的周期(未必最小正周期) (6) 函数 y=f(x)关于 y= -x 对称的函数为-x=f(-y)即 y= - f -1(-x) 四、关于周期、
1、 f(x+a)=f(x) (a≠0)→T=a 2、 f(x-a)=f(x+a) (a≠0)→T=2a 3、 f(x-a)= -f(x) (a≠0)→T=2a

4、 f(x-a)= - 1 (a≠0)→T=2a f (x)
5、 f(x)关于直线 x=a 对称,且为偶函数→T=2a 【例题选讲】
例 1、作出函数 y ? log 2 ?1? x? 的图象,并说明与函数 y=log 2x 的图象的关系
解: 变换过程: y ? log2 x ? y ? log2 ?x ?1? ? y ? log2 ?? x ?1? ? y ? log2 ?1? x?
或 y ? log2 x ? y ? log2 ?? x? ? y ? log2 ?? ?x ?1?? ? y ? log2 ?1? x?
或 y ? log2 x ? y ? log2 x ? y ? log2 ?x ?1? ? y ? log2 ?1? x?

『变式』已知函数 y=2x 的图象,如何作下列函数的图象:

?1?y ? ?? 1 ???2x?1 ? 2;
?2?

1
?2?y ? ?2 2x ;

?3?y ? log 2 x;

?4?y ? 2 x?1

[评析]已知函数的图象,运用平移、伸缩、对称变换作相关函数的图象,关键是分析两函数 解析式的结构特征,寻找 x 之间、y 之间的变化关系;等价化简解析式时,容易忽略定义域 和值域。

例 2 设函数 y=f(x)的定义域为R,则函数 y=f(x-1)与 y=(1-x)的图象关系为( ) A、直线 y=0 对称 B、直线 x=0 对称 C、直线 y=1 对称 D、直线 x=1 对称 解法一:设(x1,y1)是 y=f(x-1)图象上任意一点,则 y1=f(x 1-1) 而 f(x 1-1)= f[1-(2- x 1)],说明点(2- x 1, y1)一定是函数 y=(1-x)上的一点,而点(x1,y1)与点(2- x 1, y1)关于直线 x=1 对称,所以 y=f(x-1)的图象与 y=(1-x)的图象关于直线 x=1 对称,所以选D。 解法二:函数 y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称,y=(1-x)= y=[-(x-1)],把 y=f(x)与 y=f(-x)的 图象同时都向右平移一个单位,就得到 y=f(x-1)与 y=(1-x)的图象,对称轴 y 轴向右平移一个单 位得直线 x=1,故选D。
解法三:特殊值法。设 f(x)=x2,则 f (x ?1) ? ?x ?1?2 , f (1 ? x) ? ?1 ? x?2 ,由图象可知(两
图象重合),函数 f(x-1)和 f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称,只有 D 可能正确。

练习:『变式』函数 y=f(x+1)与函数 y=f -1(x+1)关于直线( )对称

A. y=x B y=x+1 C y=x-1 D y=-x

解:设 x+1=t ∴y=f(t)与 y=f -1(t)关于 y=t 对称,∴关于 y=x+1 对称

选D

[评析]可以用图象上一点,图象之间的相互关系,利用特殊值,换元的方法,判断图象之间

的位置关系

例 3、方程 4 ? 4x ? x2 ? 2 ? x 的实根共有几个? x ?1
解:看成函数 y ? 4 ? 4x ? x2 ? ?x ? 2?2 ? y2 ? 8?y ? 0?与函数 y ? 2 ? x ? 1 ?1的
x ?1 x ?1
图象相交,
∵两个曲线有一个交点∴方程有一个解

『变式』方程 x ? lg x ? 2 的实根共有几个?
解:画图得 2 个
[评析] 交点个数问题,可利用数形结合。交点的横坐标即方程的解
例 4、当 a>1 时,已知 x1,x2 分别是方程 x+ax= -1 和 x+logax= -1 的解,则 x1+x2 的值 解: x+ax= -1 得 ax= -1-x x+logax= -1 得 logax= -1-x 利用 y=logax 与 y= ax 互为反函数,又分别与 y=-x-1 相交 y=-x-1 与 y=x 垂直 ∴x1+x2=-1

『变式』若函数 y ? x 的图象如下,则 a 的取值范围为? x2 ? a

解:原式为 y ? 1 ,分 x>0,x<0 考虑

选B

x? a

x

[评析]应用数形结合,求参数范围问题也是一种常见的题型

例 5、已知函数 f (x) ? ? a (a ? 0且a ? 1)(1)证明函数 y=f(x)的图象关于点(1/2,-1/2) ax ? a
对称 (2)求 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)的值
解:(1)证明:函数 y=f(x)的定义域 R,任取一点(x,y)关于点(1/2,-1/2)对称的坐标为(1-x,-1-y) 则 -1-y=

?1? a ? ? ax ax ? a ax ? a

f (1 ? x) ? ?

a?

a ? ? a ?ax ? ? ax

a1?x ? a a ? a

a? a ?ax

ax ? a

ax

??1? y ? f (1? x)即函数f (x)关于点(1 ,? 1)对称 22
(2)由(1),-1-f(x)=f(1-x)即 f(1-x)+f(x)=-1
? f (?2) ? f (3) ? f (?1) ? f (2) ? f (0) ? f (1) ? ?1?原式 ? ?3
【课堂小结】
一、作函数图象的基本方法有两种:(1)描点法 (2) 图象变换法:利用基本初等函数变换作 图 其中掌握好(1)平移变换:(2) 对称变换: (3) 伸缩变换 二、图象对称性的证明:
三、有关结论: 若 f(a+x)=f(a-x),x∈R 恒成立,则 y=f(x)关于 x=a 对称 若 f(a+x)=f(b-x),x∈R 恒成立,则 y=f(x)关于 x=(a+b)/2 对称 若 f(a+x)= -f(a-x),x∈R 恒成立,则 y=f(x)关于点(a,0)对称 函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)的图象关于直线 x=(b-a)/2 对称 若定义在 R 上的函数 f(x) 关于 x=a 和 x=b(b>a)对称,则 y=f(x)为周期函数,2b-2a 为它的周期 (未必最小正周期)
函数 y=f(x)关于 y= -x 对称的函数为-x=f(-y)即 y= - f -1(-x)
四、利用数形结合,求参数问题,交点个数问题等

【作业布置】 P95 基础强化 8 P96 能力提高 5、 6、 7、 8


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