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2014-2014学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习:1.5.3《定积分的概念》(新人教A版选修2-2)


10/21/2014

选修 2-2
一、选择题 1.定积分?3(-3)dx 等于(

1.5.3 定积分的概念

?1

) B.6 D.3

A.-6 C.-3 [答案] A

[解析] 由积分的几何意义可知?3(-3)dx 表示由 x=1,x=3,y=0 及 y=-3 所围成

?1

的矩形面积的相反数,故?3(-3)dx=-6.

?1

2.定积分?bf(x)dx 的大小(

?a

)

A.与 f(x)和积分区间[a,b]有关,与 ξ i 的取法无关 B.与 f(x)有关,与区间[a,b]以及 ξ i 的取法无关 C.与 f(x)以及 ξ i 的取法有关,与区间[a,b]无关 D.与 f(x)、区间[a,b]和 ξ i 的取法都有关 [答案] A [解析] 由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知 A 正确. 3.下列说法成立的个数是( ①?bf(x)dx= ?f(ξ i)
n

)

?a ?a

i=1

b-a n b-a 无限趋近的值 n b-a 无限趋近的常数 n

②?bf(x)dx 等于当 n 趋近于+∞时,f(ξ i)·
n

③? f(x)dx 等于当 n 无限趋近于+∞时, ?f(ξ i)
b

?a ?a

i=1

④?bf(x)dx 可以是一个函数式子 A.1 C.3 [答案] A [解析] 由?bf(x)dx 的定义及求法知仅③正确,其余不正确.故应选 A. B.2 D.4

?a

4.已知?3f(x)dx=56,则(

?1

)

10/21/2014

A.?2f(x)dx=28

?1 ?1

B.?3f(x)dx=28

?2 ?1

C.?22f(x)dx=56 [答案] D

D.?2f(x)dx+?3f(x)dx=56

?2

[解析] 由 y=f(x),x=1,x=3 及 y=0 围成的曲边梯形可分拆成两个:由 y=f(x),

x=1,x=2 及 y=0 围成的曲边梯形知由 y=f(x),x=2,x=3 及 y=0 围成的曲边梯形.
∴?3f(x)dx=?2f(x)dx+?3f(x)dx

?1 ?1

?1 ?2

?2

即?2f(x)dx+?3f(x)dx=56. 故应选 D. 5.已知?bf(x)dx=6,则?b6f(x)dx 等于(

?a

?a

)

A.6 C.36 [答案] C [解析] ∵?bf(x)dx=6,

B.6(b-a) D.不确定

?a

∴在?b6f(x)dx 中曲边梯形上、 下底长变为原来的 6 倍, 由梯形面积公式, 知?b6f(x)dx

?a

?a

=6?bf(x)dx=36.故应选 C.

?a

6.设 f(x)=? x ? ?2

?x ?

2

(x≥0), (x<0),

则?1-1f(x)dx 的值是(

?

)

[答案]

D

[解析] 由定积分性质(3)求 f(x)在区间[-1,1]上的定积分,可以通过求 f(x)在区间 [-1,0]与[0,1]上的定积分来实现,显然 D 正确,故应选 D. 7.下列命题不正确的是( )

A.若 f(x)是连续的奇函数,则 B.若 f(x)是连续的偶函数,则 C.若 f(x)在[a,b]上连续且恒正,则?bf(x)dx>0

?a

D.若 f(x)在[a,b)上连续且?bf(x)dx>0,则 f(x)在[a,b)上恒正

?a

10/21/2014

[答案] D [解析] 本题考查定积分的几何意义,对 A:因为 f(x)是奇函数,所以图象关于原点对 称, 所以 x 轴上方的面积和 x 轴下方的面积相等, 故积分是 0, 所以 A 正确. 对 B: 因为 f(x) 是偶函数,所以图象关于 y 轴对称,故图象都在 x 轴下方或上方且面积相等,故 B 正确.C 显然正确.D 选项中 f(x)也可以小于 0,但必须有大于 0 的部分,且 f(x)>0 的曲线围成的 面积比 f(x)<0 的曲线围成的面积大.

[答案]

B

9.利用定积分的有关性质和几何意义可以得出定积分?1-1[(tanx) +(cosx) ]dx=

?

11

21

( A.2?1[(tanx) +(cosx) ]dx
11 21

)

?0

B.0 C.2?1(cosx) dx
21

?0

D.2 [答案] C [解析] ∵y=tanx 为[-1,1]上的奇函数, ∴y=(tanx) 仍为奇函数,而 y=(cosx) 是偶函数, ∴原式=?1-1(cosx) dx=2?1(cosx) dx.故应选 C.
11 21

?

21

21

?0

10.设 f(x)是[a,b]上的连续函数,则?bf(x)dx-?bf(t)dt 的值(

?a

?a

)

A.小于零 C.大于零 [答案] B

B.等于零 D.不能确定

10/21/2014

[解析] ?bf(x)dx 和?bf(t)dt 都表示曲线 y=f(x)与 x=a,x=b 及 y=0 围成的曲边

?a

?a

梯形面积,不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置.所以其值为 0. 二、填空题 11.由 y=sinx,x=0,x= [答案] [解析] 由定积分的几何意义可得. 12.?6(2x-4)dx=________. π ,y=0 所围成的图形的面积可以写成________. 2

?0

[答案] 12 [解析] 如图 A(0,-4),B(6,8)

S△AOM= ×2×4=4 S△MBC= ×4×8=16
∴?6(2x-4)dx=16-4=12. 1 2

1 2

?0

13 . (2010· 新 课 标 全 国 理 , 13) 设 y = f(x) 为 区 间 [0,1] 上 的 连 续 函 数 , 且 恒 有 0≤f(x)≤1, 可以用随机模拟方法近似计算积分?1f(x)dx.先产生两组(每组 N 个)区间[0,1]

?0

上的均匀随机数 x1,x2,…,xN 和 y1,y2,…,yN,由此得到 N 个点(xi,yi)(i=1,2,…,

N).再数出其中满足 yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数 N1,那么由随机模拟方法可得积分?1

?0

f(x)dx 的近似值为________.
[答案]

N1 N

[分析] 本题考查了几何概型、积分的定义等知识,难度不大,但综合性较强,很好的 考查了学生对积分等知识的理解和应用,题目比较新颖. [解析] 因为 0≤f(x)≤1 且由积分的定义知:?1f(x)dx 是由直线 x=0,x=1 及

?0

曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的面积,又产生的随机数对在如图所示的正方形内,正方形 面积为 1,且满足 yi≤f(xi)的有 N1 个点,即在函数 f(x)的图象上及图象下方有 N1 个点, 所以用几何概型的概率公式得:f(x)在 x=0 到 x=1 上与 x 轴围成的面积为 ×1= , 即?1f(x)dx= .

N1 N

N1 N

?0

N1 N

10/21/2014

三、解答题 15.利用定积分的几何意义,说明下列等式.

[解析]

(1)?12xdx 表示由直线 y=2x,直线 x=0,x=1,y=0 所围成的图形的面积,

?0

1 如图所示,阴影部分为直角三角形,所以 S△= ×1×2=1,故?12xdx=1. 2 ?
0

(2)?1-1 1-x dx 表示由曲线 y= 1-x ,直线 x=-1,x=1,y=0 所围成的图形面

?

2

2

π 2 2 2 积(而 y= 1-x 表示圆 x +y =1 在 x 轴上面的半圆),如图所示阴影部分,所以 S 半圆= , 2

16.利用定积分的性质求 [解析] y=

? 42x +sin3x+x2-ex-1?dx. ?x +1 ? e +1? ?
x

x

2x e -1 3 ,y=sin x 均为[-1,1]上的奇函数,而对于 f(x)= x , x +1 e +1
4 -x

e -1 1-e ∵f(-x)= -x = x=-f(x), e +1 1+e 此函数为奇函数.

x

10/21/2014

∵S= ?
i=1

n

1 ?i?2 1 n 2 ·? ? = 3 ? (i)

n ?n?

n i=1

1 1 = 3· n(n+1)(2n+1) n 6 1? 3 1 ? = ?2+ + 2? n n? 6? ∴S=lin→∞ m 1? 3 1 ? 1 ?2+n+n2?=3 6? ?

1 2 2 即 2?1x dx=2× = 3 3 ?
0

17.已知函数 f(x)= [解析] 由定积分的几何意义知

),求 f(x)在区间[-2,2π ]上的积分.

=π -4. 18.利用定积分的定义计算?bxdx.

2

?a

[解析] (1)分割:将区间[a,b]n 等分,则每一个小区间长为 Δ xi=

b-a (i=1,2,…, n

n).
(2)近似代替:在小区间[xi-1,xi]上取点:ξ i=a+

i(b-a) (i=1,2,…,n). n

? i(b-a)?·b-a. Ii=f(ξ i)·Δ xi=?a+ n ? n ? ?
(3)求和:In= ?f(ξ i)·Δ xi
i=1 n

10/21/2014

? = ? ?a+
n i=1

?

i(b-a)? b-a · n ? n ?



b-a n ? i(b-a)? ?a+ n ? n i? ? =1 ?
n n ? b-a? ? ?a+ ? i(b-a)? n ? n ?i=1 i=1



?

?

b-a n ? b-a? ? na + i? = n i? n ? =1 ?

?

?

=(b-a)?a+

? ?

b-a n(n+1)? · ? n2 2 ?

(4)求极限:?bxdx=lin→∞ m In

?a

=lin→∞ m (b-a)?a+

? ?

b-a?

1 ? 1+ ? ? ?? 2 ? n??

? b a? 1 2 2 =(b-a)?a+ - ?= (b -a ). ? 2 2? 2


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