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山东省德州市某中学高一数学上学期12月月考试题

(数学)
本试卷共分三部分, 请同学们先完成前 21 个题, 且保证基础题满分再做附加题, 否则附加题不得分。其中基础题满分 42 分。 第 I 卷(共 50 分) 一.选择题(本题共 10 个小题,每题 5 分,每题有且只有一个正确选项。 ) 1.( 基 础 题 : 教 材 P20 A3 ) 已 知 集 合 A ? ? 1,2,3,4? , B ? ?3,4,5,6,7? , 则 A? B 等 于 ( ) A. ? 1,2,3,4,3,4,5,6,7? B. ?3,4?
2

C. ? 1,2,3,4,5,6,7?

D. ? ( )

2.(基础题: 教材 P32 例 2)已知函数 f ? x ? ? A.

1 ,x?R则 x ?1
C.

?1? f? ?? ?2?
D.

1 5

B.

5 4

2 3

4 5
( D. )

3. (基础题: 教材 P 下列图形符号是处理框的是 8) A. B. C.

4. 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于 该正方 ... 形 ( A. ) 1 5 B. 2 5
| x|













C.

3 5
2

D.

4 5

5. 已 知 函 数 f(x) = 5 ( ) A. 1 B. 2

, g(x) = ax - x(a∈ R) . 若 f[g(1)] = 1 , 则 a =

C. 3

D.- 1

6. 设样本数据 x1,x2,?,x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi= xi+ a(a 为非零常数,

i = 1 , 2 , ? , 10) , 则 y1 , y2 , ? , y10 的 均 值 和 方 差 分 别 为
( ) B. 1+ a, 4+ a D. 1, 4+ a ( ) B. y= (x- 1)
2

A. 1+ a, 4 C. 1, 4 A. y= x+ 1 C. y ? 2
?x

7. 下列函数中,在区间 (0,+∞)上为增函数的是

D. y= log0.5(x+ 1)

8. 如 图 所 示 , 程 序 框 图 ( 算 法 流 程 图 ) 的 输 出 结 果 是 ( ) A.34 B.55 C .78 D.89

1

9. 函数 f ?x? ? ln x 2 ? x 的定义域为

?

?

(

)

A.(0,1] B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1, +∞) 10.若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像如图所示,则下列函数图像正确的是( )

B C D 第 II 卷(共 100 分) 二、填空题(本题共 5 小题,每小题 5 分,请将正确答案写在答题卡的相应横线上). 11.(基础题:教材 P67 例 2)数据 5,7,7,8,10,11 的标准差 为__________. ... 12. (基础题: 教材 P99 例 2) 在数学考试中, 小明的成绩在 80 分以上的概率为 0.69, 在 70-79 分的概率为 0.15,在 60-69 分的概率为 0.09,则小明不及格的概率为___________. 13.(基础题:教材 P 63 )已知函数 f ?x? ? x ? ?a ? 1?x ? a 在区间 ?2,??? 上是增函数,则
2

A

实数 a 的取值范围是_____________.
2 14. 已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ?

1 ,则函数 f ( x) 的解析 x

式为______ ___. 15.对于实数 x ,符号 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,例如 ?? ? ? 3, ?? 1.08? ? ?2 ,定义函数

f ( x) ? x ? ?x ? ,则下列命题中正确的是
①函数 f ( x) 的最大值为 1; ③函数 G ( x) ? f ( x) ?

(填序号)

②函数 f ( x) 的最小值为 0; ④函数 f ( x) 是增函数

1 与 x 轴有无数多个交点; 2

三、解答题(本题共 6+1 个小题,前 4 个每题 12 分,第 5 题 13 分,第 6 题 14 分,附加题 15 分) 16. (基础题)某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重 2 指标(单位:千克/米 )如下表所示:

2

A 身高 体重指标 1.69 19.2

B 1.73 25.1

C 1.75 18.5

D 1.79 23.3

E 1.82 20.9

(Ⅰ)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人, 求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概 率 (Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 [18.5,23.9)中的概率

17. 设集合

A ? {x | 0 ? x ? m ? 2} , B ? ? x ? x 2 ? 3x ? 0? ,分别求满足下列条件的实
B ? ?;
(2) A

数 m 的取值范围: (1) A

B?B.

18. 已知幂函数 f ( x) ? x (1)求实数 m 的值; (2)求满足 (a ? 1)
? m 99

m?3

(m∈N+)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,
? m 99

? (3 ? 2a)

的 a 的取值范围.

19. 已知函数 y ? (1)求 M ;

4 ? x 2 ? 2 x ? 2 的定义域为 M ,
2

(2)当 x ? M 时,求函数 f ?x? ? 2?log2 x? ? a log2 x 的最大值。

20. 某地政府招商引资 ,为吸引外商,决定第一年产品免税 .某外资厂该年 A 型产品出厂价 为 每 件 60 元 , 年 销 售 量 为 11.8 万 件 , 第 二 年 , 当 地 政 府 开 始 对 该 商 品 征 收 税 率 为

p 0 0 (0 ? p ? 100,即销售 100 元要征收 p 元)的税收,于是该产品的出厂价上升为每件

8000 元,预计年销售量将减少 p 万件. 100 ? p
(1) 将第二年政府对该商品征收的税收 y (万元)表示成 p 的函数,并指出这个函数的定义
3

域; (2) 要使第二年该厂的税收不少于 16 万元,则 p 的范围是多少?

21.一次函数 f ( x ) 是 R 上的增函数, g ( x) ? f ( x)( x ? m) ,已知

f [ f ( x)] ? 16 x ? 5 .
(Ⅰ)求 f ( x ) ; (Ⅱ)若 g ( x) 在 (1, ??) 单调递增,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)当 x ?[?1,3] 时, g ( x) 有最大值 13 ,求实数 m 的值. 第Ⅲ卷(共 15 分) ◆附加题:基础题失分附加题不得分。 22. 已 知 函 数 f ( x) 定 义 域 为 ??1,1? , 若 对 于 任 意 的 x, y ?? ?1,1? , 都 有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x ? 0 时,有 f ( x) ? 0 .
(1)判断并证明函数 f ( x) 的奇偶性; (2)判断并证明函数 f ( x) 的单调性;
2 (3)设 f (1) ? 1 ,若 f ( x) < m ? 2am ? 1 ,对所有 x ?[?1,1], a ? [?1,1] 恒成立,求实数 m 的

取值范围.

4

月考数学试题答案 1-5 CDBCA 11. 2 6-10AABCB 13. ?- 3, ? ? ? (写不等式或集合都得分)

12. 0.07

? 2 1 ?? x ? x , ? 14. f ?x ? ? ? 0 ? x2 ? 1 , ? x ?

x?0 x?0 x?0
15.②③

解答题 16.解: (1)由题意,低于 1.80 的同学有 A,B,C,D 共 4 人 基本事件空间 ? ? ?AB, AC, AD, , BC, BD, , CD? , 共包含 6 个基本事件。 记 A=“选到的 2 人身高都在 1.78 以下” A 中包含 AB,AC,BC3 个基本事件, ????2 分 ????4 分 ????6 分

3 1 这是一个古典概型,所以 P ? A? ? ? 6 2

(2) 从 5 人中任选 2 人, 基本事件空间 ? ? ?AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE?, 共包含 10 个基本事件, ????8 分

记 B=“选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 ?18.5,23.9? 中” , B 中包含 CD,CE,DE 3 个基本事件, 所以 P ?B ? ? ????10 分 ????12 分

3 10

17.解: A ? x m ? x ? m ? 2 , B ? x x ? 0, 或x ? 3 ?2 分 (1)若 A ? B ? ? ,则实数 m 应满足 ? (2)若 A ? B ? B ,则 A ? B 则实数 m 应满足 m ? 2 ? 0 或 m ? 3 ,解得 m ? ?2 或 m ? 3 18.解 ∵函数

?

?

?

?

? m?0 ,解得 0 ? m ? 1 ?m ? 2 ? 3

???6 分 ???8 分 ???12 分

f ( x) ? x

m?3

在(0,+∞)上递减, ??3 分

∴m-3<0,解得 m<3.∵m∈N+,∴m=1,2. 又函数的图象关于 y 轴对称,∴m-3 是偶数, 而 2-3=-1 为奇数,1-3=-2 为偶数,∴m=1. 而

??5 分

f ( x) ? x

1 ? 99

在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数,

5

∴ (a ? 1)

?

m 99

? (3 ? 2a)

?

m 99

等价于 ???9 分 ???11 分 ??????12 分

a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a.
2 3 解得 a<-1 或 <a< . 3 2 2 3 故 a 的取值范围为{a|a<-1 或 <a< }. 3 2 19. 解: (1)函数 y ?

2-x ? 2 x ? 2 有意义,故: 2? x

?( x ? 2)(x ? 2) ? 0 ? x ? 2 ?2?0 ? x ? ?2 ?
解得: x ? [1,2]
2

??2 分 ??6 分

(2) f ( x) ? 2 log2 x ? a log2 x ,令 t ? log2 x , t ? [0,1]
2 可得: g (t ) ? 2t ? at, t ?[0,1] ,对称轴 t ? ?

a 4
??8 分 ??10 分

a 1 ? , 即a ? ?2 时, g (t ) ? g (1) ? 2 ? a , g (t ) ? g (0) ? 0 4 2 a 1 当 ? ? , 即a ? ?2 时, , 4 2
当? 综上可得: f ( x) max ? ?

?2 ? a, a ? ?2 ? 0, a ? ?2

??12 分

20.(1)依题意,第二年该商品年销量为( 11.8 ? p )万件, 年销售收入为 ( 11.8 ? p )

8000 100 ? p

万元,

??2 分

政府对该商品征收的税收 y ?

8000 ( 11.8 ? p ) p 0 0 (万元). 100 ? p

??4 分

故所求函数为 y ?

80 ( 11.8 ? p ) p . 100 ? p

?? 5 分

由 11.8 ? p ? 0及 p ? 0 得,定义域为 ?p | 0 ? p ? 11.8? (2)解:由 y ? 16 得

??7 分

80 ( 11.8 ? p ) p ? 16 ,化简得 p 2 ? 12 p ? 20 ? 0 , ?? 10 分 100 ? p
??12 分
6

即 ( p ? 2)( p ? 10) ? 0 ,解得 2 ? p ? 10 ,

故当 2 ? p ? 10 ,税收不少于16万元.

?? 13 分

21. 解: (Ⅰ)∵ f ( x ) 是 R 上的增函数,∴设 f ( x) ? ax ? b, (a ? 0) ??1 分

f [ f ( x)] ? a(ax ? b) ? b ? a2 x ? ab ? b ? 16x ? 5
∴?

? a 2 ? 16 ? ab ? b ? 5



??3 分

?a ? ?4 ?a ? 4 ? 解得 ? 或? 5 (不合题意舍去) ?b ? 1 ?b ? ? 3 ?
∴ f ( x) ? 4 x ? 1

??5 分

??6 分 ??7 分

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x)( x ? m) ? (4x ? 1)( x ? m) ? 4x2 ? (4m ? 1) x ? m 对称轴 x ? ?

4m ? 1 4m ? 1 ,根据题意可得 ? ? 1, 8 8 9 ? 9 ? ∴ m 的取值范围为 ? ? , ?? ? 4 ? 4 ?

??8 分

解得 m ? ? (Ⅲ)①当 ?

??9 分

4m ? 1 9 ? 1 时,即 m ? ? 时 8 4
??-11 分

g ( x)max ? g (3) ? 39 ? 13m ? 13 ,解得 m ? ?2 ,符合题意;
②当 ?

4m ? 1 9 ? 1 时,即 m ? ? 时 8 4 10 ,符合题意; 3
??13 分 ??14 分

g ( x)max ? g (?1) ? 3 ? 3m ? 13 ,解得 m ? ?
由①②可得 m ? ?2 或 m ? ?

10 3

22.解:(1)因为有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) ,所以 f (0) ? 0 , 令 y ? ? x 可得: f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 0, 所以 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 为奇函数. (2)? f ( x) 是定义在 ? -1,1? 上的奇函数,由题意 ??2 分 ??4 分 ??5 分

设-1 ? x1 ? x2 ? 1, 则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (?x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ,
由题意 x ? 0 时,有 f ( x) ? 0 .? f ( x2 ) ? f ( x1 )

??7 分

7

? f ( x) 是在 ?-1,1? 上为单调递增函数;
(3)因为 f ( x) 在 ??1,1? 上为单调递增函数, 所以 f ( x) 在 ??1,1? 上的最大值为 f (1) ? 0 ,

??9 分

??10 分

所以要使 f ( x) < m2 ? 2am ? 1 ,对所有 x, y ?? ?1,1? , a ?? ?1,1? 恒成立, 只要 m2 ? 2am ? 1 >1,即 m2 ? 2am >0 恒成立 令 ??12 分

?2 m ? m 2 ? 0 ? g (?1) ? 0 ? 得? , ? 2 ? ? g (1) ? 0 ?? 2 m ? m ? 0
? m ? 2或m ? ?2

??14 分 ??15 分

8


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