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最新人教版高中数学必修5第三章《基本不等式 的应用》习题详解


习题详解 (课本第 114 页习题 3.4)? ?A 组? 1.(1)设两个正数为 a、b,则 a>0,b>0,且 ab=36,所以 a+b≥2ab =236=12,当且仅当 a=b=6 时取等号.? 答:当这两个正数均为6时,它们的和最小.? (2)设两个正数为 a、b,依题意 a>0,b>0,且 a+b=18,所以 a× b≤( a ? b 2 18 2 ) =( ) =81,当 2 2 且仅当 a=b=9 时,它们的积最大.? 答:当这两个正数均为9时,它们的积最大.? 2.设矩形的长为 x m,宽为 y m,菜园的面积为 S m2,则 x+2y=30,S=xy.由基本不等式与不等 1 1 x ? 2 y 2 1 900 225 ( ) = × × x× 2y≤ = .? 2 2 2 2 4 2 15 225 2 当 x=2y,即 x=15, y ? 时,菜园的面积最大,最大面积是 m .? 2 2 式的性质,可得 S= 3.设矩形的长和宽分别为 x 和 y,圆柱的侧面积为 z.因为 2(x+y)=36,即 x+y=18,? z=2π×x× y≤2π× ( x? y 2 ) =162π.? 2 当 x=y,即长和宽均为9时,圆柱的侧面积最大.? 4.设房屋地面长为 x m,宽为 y m,总造价为 z 元,则? xy=12,? y? 12 ,? x z=3y× 1 200+6x× 800+5 800? = 12 ? 3600 +4 800x+5 800? x ≥23 600×12×4 800+5 800? =34 600.? 当 12 ? 3600 =4 800x,即 x=3 时,z 有最小值,最低总造价为 34 600 元.? x ?B组? 1.设矩形的长AB为 x,由矩形ABCD(AB>AD)的周长为 24,可知宽AD为 12-x, 设 P C = a , 则 D P = x-a , 所 以 (12-x)2+(x-a)2=a2, 可 得 a ? x-a= a ? x 2 ? 12 ? 72 ,DP= x 12 x ? 72 .所以△ ADP的最大面积.? x 1 12x ? 72 ? x 2 ? 18x ? 72 72 S ? (12 ? x) ? 6? ? 6 ? [?( x ? ) ? 18]. 由基本不等式与不等 2 x x x 式的性质,得? S≤6(-2 72 +18)=6× (18-12 2 )=108-72 2 .? 当x? 72 ,即 x=6 2 m 时,菜园的面积最大,最大面积是(108-72 2 )m2.? x b?c .在△ ACD中,? x 2.过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D, 设∠BCD= α,∠ACD=β,CD=x.在△ B CD中, tanα= tan (α+β)= tan? ? tan ? a?c ,则? ? 1 ? tan? ? tan ? x a?c a?c a?c 1 a?c x ? (a ? c)(b ? c) x tan ? ? ? ? ? .? a?c b?c x 2 b ? c ( a ? c )( b ? c ) 1? ? 2 x? x x x 当且仅当 x ? (a ? c)( b ? c) 1 a?c ,即 β=arctan 时,视角最大.?? x 2 b?c

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