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上海市静安区2010学年第一学期期末教学质量检测高三年级数学试卷(理)(含答案)


静安区 2010 学年第一学期期末教学质量检测 高三年级数学试卷( 高三年级数学试卷(理)
分钟) (本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 2011.1 学生注意: 本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 1. 本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 在试题纸上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 2. 在试题纸上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 可使用符合规定的计算器答题. 3. 可使用符合规定的计算器答题. 填空题( 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 否则一律得零分. 个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 设 i 为虚数单位,计算

1+ i = i

.

2. 幂函数 f ( x ) 的图象过点 2 , 2 ,则 f
6

(

)

?1

( 4 ) 的值______________.

? 2 1? (用数字作答) 3. ? x + ? 的展开式中常数项是_________. x? ?

?x 1 2
4. 若

2 0 x = 0 ,则 x = ?1 0 2



5. 若直线 mx + y = m + 1与x + my = 2m 平行,则 m = _____. 6.已知 a n = 6.

1 1 1 1 + + +?+ , n ∈ N * ,那么 a n + 1 = a n + n +1 n + 2 n +3 2n
2
2 2

. .

7.若实数 x 满足对任意正数 a > 0 ,均有 a > x ? 1 ,则 x 的取值范围是 7. 8. 已知椭圆 为

y x + 2 = 1 (a > b > 0) 的右顶点为 A(1, 0) ,过其焦点且垂直长轴的弦长为 1 .则椭圆方程 2 a b
. 开始

若直线 y = kx + 2 与抛物线 y 2 = 4 x 仅有一个公共点, 则实数 9.

k=

.

k ← 12 S ←1
是 否

10.如图,若框图所给的程序运行的输出结果为 S = 132 ,那么判 10. 断框 中应填入的关于 k 的判断条件是 .

11.已知全集 U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合 11.

A = {a1 , a2 , a3 } ,则满足 a 3 ≥ a 2 + 1 ≥ a1 + 4 的集合 A 的个数
是 .(用数字作答) , , 12. 已 知 向 量 a = ( 1 , 0 ) b = ( 0 , 1 ) 向 量 c 满 足 ( c + a ) ? (c + b) = 0 ,则| c |的最大值是 13. 13 . 已知函数 f ( x ) = 2 sin( + .

S ← S×k k ← k ?1
第(10)题

输出 S

结束

x 2

π
3

) ,若对任意的 x ∈ R ,都有

f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 )





| x1 ? x2 |










2

.
2

14. 设双曲线

x y ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) , c > 0 ,若以 F1 F2 为 2 a b c 斜边的等腰直角三角形 F1 AF2 的直角边的中点在双曲线上,则 等于 . a

二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应 选择题( 每题有且只有一个正确答案. 编号上,将代表答案的小方格涂黑, 否则一律得零分. 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得零分. 15. 15.右图给出了某种豆类生长枝数 y (枝)与时间 t (月)的散点图,那 么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的 是………………………………………………………………(
2 (A) y = 2t ;

)

(B) y = log 2 t ; (C) y = t 3 ;

(D) y = 2t . )

16. 下列命题中正确的命题是……………………………(

(A)若存在 x1 , x2 ∈ [ a, b ] ,当 x1 < x2 时,有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,则说 函数 y = f (x ) 在区间 [a, b ] 上是增函数; 第(15)题

( B ) 若 存 在 xi ∈ [ a, b] ( 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 2, i、n ∈ N * ) , 当 x1 < x2 < x3 < ? < xn 时 , 有

f ( x1 ) < f ( x2 ) < f ( x3 ) < ? < f ( xn ) ,则说函数 y = f (x) 在区间 [a, b] 上是增函数;
(C) 函数 y = f (x ) 的定义域为 [0,+∞) , 若对任意的 x > 0 , 都有 f ( x ) < f (0) , 则函数 y = f (x ) 在 [0,+∞) 上一定是减函数; (D)若对任意 x1 , x2 ∈ [ a, b ] ,当 x1 ≠ x 2 时,有 是增函数。

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) > 0 ,则说函数 y = f (x) 在区间 [a, b] 上 x1 ? x 2

3n 1 17. = (n ∈ N * ) ,则实数 a 满 17.若 lim n+1 n n→∞ 3 + (a + 1) 3
足………………………………………………( ) (B) ? 4 < a < 2 ; (C) ? 1 < a < 2 ; (D) 0 < a < 2 . (A) a = ?1 ; 18. 18.生物学指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约只有 10%-20%的能量能够流动到下一个 营养级,在 H1 → H2 → H3 → H4 → H5 → H6 这条生物链中,若能使 H6 获得 10KJ 的能量,则需要 H1 提供 的最少的足够的能量 是……………………………………………………………………………………( ) 4 5 6 7 (A)10 KJ; (B)10 KJ ; (C)10 KJ; (D)10 KJ. 解答下列各题必须在答题纸相应 必须在答题纸相应编号的规定区域内写 三、解答题(本大题满分 78 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 解答题( 出必要的步骤. 出必要的步骤. 19. 个小题, 19.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

已知函数 f ( x) =| x + 1 | + ax ( a ∈ R). (1) 当 a = 1 时,画出此时函数的图象; (2)若函数 f (x) 在 R 上具有单调性,求 a 的取值范围.

20. 个小题, 20.(本题满分 15 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) = sin 2 x ? 2 cos x + 2 cos 2 x . (1)若 f ( x) = ?1 ,求 x 的值; (2)求 f (x) 的最大值和最小值.

21. 个小题, 21.(本题满分 15 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 5 分. 已知函数 f ( x) = x 2 + ( a + 1) x + lg | a + 2 | (a ∈ R, 且a ≠ ?2) . (1)写出一个奇函数 g (x) 和一个偶函数 h(x) ,使 f (x) = g (x) + h(x) ; (2)对(1)中的 g (x) . 命题 P:函数 f (x) 在区间 [(a + 1) 2 ,+∞) 上是增函数;命题 Q:函数 g (x) 是减 函数;如果命题 P、Q 有且仅有一个是真命题,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,求 f ( 2) 的取值范围.

22. 个小题, 22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题, 1 小题满分 4 分, 2 小题满分 4 分, 3 小题满分 8 分. 第 第 第 设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 = b1 = 1 , a2 + b3 = a3 + b2 = 7 . (1)求 {an } , {bn } 的通项公式; (2)记 c n = a n ? 2010 , n ∈ N * , An 为数列 {c n } 的前 n 项和,当 n 为多少时 An 取得最大值或最小值? (3)是否存在正数 K ,使得 (1 +

1 1 1 )(1 + ) ? ? ? ? ? (1 + ) ≥ K 2n + 1 对一切 n ∈ N * 均成立,若存在, a1 a2 an

求出 K 的最大值,若不存在,说明理由. 23. 个小题, 23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

设 常 数 a > 0 , 对 x1 , x 2 ∈ R ,

P ( x, y ) 是 平 面 上 任 意 一 点 , 定 义 运 算 “ ? ”:
1 1 x ? x + y ? y , d 2 (P) = ( x ? a) ? ( x ? a) . 2 2

x1 ? x2 = ( x1 + x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 , d1 ( P) =

(1)若 x ≥ 0 ,求动点 P ( x, x ? a ) 的轨迹 C; (2)计算 d 1 ( P ) 和 d 2 ( P ) ,并说明其几何意义; (3) (1) 在 中的轨迹 C 中, 是否存在两点 A1 , A2 , 使之满足 d 1 ( A1 ) =

a d 2 ( A1 ) 且 d 1 ( A2 ) = a d 2 ( A2 ) ?

若存在,求出 a 的取值范围,并请求出 d 1 ( A1 ) + d 1 ( A2 ) 的值;若不存在,请说明理由.

高三年级数学试卷
1. 1 ? i ; 2. 文) x (
1 2

解答(文理合) 解答(文理合)
-1;

2011.1

(理) 16 ; 3. 15; 4. -4; 5.

1 1 1 1 1 y2 + ? = ? 6. ; 7. (文) 理) [ ? 1 ,1 ] ;8. + x2 = 1 ( 2 n + 1 2 n + 2 n + 1 2n + 1 2n + 2 4 1 9.0, ; 10. k≤ 10;或 k<11;或 k=10;11. (文)10; (理)56; 10; 56; 2 10 + 2 12. (文)3, (理) 2 ; 13. 2 π ;14. 3 + 5 = 。 2 15. D ;16. D ;17. B ; 18. C 19. 19.解(1)当 a = 1 时,

? 2 x + 1 x ≥ ?1 ,………………3 分 f ( x) =| x + 1 | + ax = ? ? ? 1 x < ?1
简图如右图所示.……………………………………………3 分 (2) f ( x ) =| x + 1 | + ax = ?

?(a + 1) x + 1 ?(a ? 1) x ? 1

x ≥ ?1 x < ?1

,……3 分

当?

?a + 1 > 0 ?a + 1 < 0 或? ,………………………………3 分 ?a ? 1 > 0 ?a ? 1 < 0

即 a > 1 或 a < ?1 时, f (x) 在 R 上分别是增函数和减函数。所以,当 a > 1 或 a < ?1 时,函数 f (x) 在 R 上具有单调性. ……………………………………………………2 分 20. ( 20.解: 1)

f ( x) = 1 ? cos 2 x ? 2 cos x + 2(2 cos 2 x ? 1) = 3 cos 2 x ? 2 cos x ? 1 = ?1 …………3 分

? 3 cos 2 x ? 2 cos x = 0 ? cos x = 0或 cos x = ? x = kπ +

2 , x = 2kπ ± arccos , k ∈ Z …………………………………………………………2 分 2 3 1 2 4 2 (2)因为: f ( x ) = 3 cos x ? 2 cos x ? 1 = 3(cos x ? ) ? ,…………………………………4 分 3 3
所以,当 cos x = ?1 时, f ( x ) max = 4 ;………………………………………2 分 当 cos x = 21. 21.解:
2 (1) h( x ) = x + lg | a + 2 | ,…………2 分 ; g ( x ) = ( a + 1) x ;……………………………2 分 2 (2)由函数 f ( x ) 在区间 [(a + 1) ,+∞) 上是增函数得 ?

π

2 …………………………………………………2 分 3

1 4 时, f ( x ) min = ? ……………………………………………2 分 3 3

a +1 ≤ (a + 1) 2 ,解得 2

3 a ≤ ? 或a ≥ ?1 ,…………………………………………………………………………………………2 分 2

由函数 g (x ) 是减函数得 a + 1 < 0 ,解得 a < ?1 ,………………………………………………………1 分 再由命题 P、Q 有且仅有一个是真命题,得 a 的取值范围是 [ ?1,+∞ ) ∪ ( ? ( 3)

3 3 ,?1) = ( ? ,+∞ ) .……3 分 2 2

f (2) = 4 + 2a + 2 + lg | a + 2 |= 6 + 2a + lg(a + 2) ,……………………………………………………2 分
因为在 a ∈ ( ?

3 3 3 ,+∞) 上递增,所以 f ( 2 ) > 6 + 2 ? ( ? ) + lg( ? + 2 ) = 3 ? lg 2 ,即: 2 2 2

f (2) ∈ (3 ? lg 2,+∞) .………………………………………………………………………………………3 分
22.解: 22. (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则依题意有 q > 0 且 ?

?1 + d + q 2 = 7 ?1 + 2d + q = 7

解得 d = 2 , q = 2 . …………………………………………………………………………2 分 所以 an = 1 + ( n ? 1) d = 2n ? 1 , bn = q
n ?1

= 2n ?1 .…………………………………………2 分

因为 c n = a n ? 2010 = 2n ? 2011 ≥ 0 ? n ≥ 1005.5 , 所以, 1 ≤ n ≤ 1005 时, n < 0 , n ≥ 1006 当 c 当 ( 2) 时, c n > 0 .……………………………………………………………………………………2 分 所以当 n = 1005 时, An 取得最小值. ( 文 ) 3) ( ……………………………………………………2 分

an 2 n ? 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 = n ?1 . S n = 1 + 1 + 2 + ? + n ? 2 + n ?1 bn 2 2 2 2 2

① ………………………2 分

5 2n ? 3 2n ? 1 2 S n = 2 + 3 + + ? + n ?3 + n ? 2 ② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n = 2 + 2 + + 2 + ? + n ? 2 ? n ?1 ……………………………………………2 分 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 2n ? 1 1 ? 2n ? 1 ? 1 1 = 2 + 2 × ?1 + + 2 + ? + n ? 2 ? ? n ?1 = 2 + 2 × 2 ? n ?1 ……………………………3 分 1 2 2 ? 2 ? 2 2 1? 2 2n + 3 = 6 ? n ?1 .……………………………………………………………………………………………1 分 2
( ( 理 ) 3) K ≤

1 1 1 1 (1 + )(1 + ) ? ? ? ? ? ?(1 + ) 等价于 K ≤ F (n) min , a1 a2 an 2n + 1 1 (1 + 1 1 1 )(1 + ) ? ? ? ? ? ?(1 + ) ;……………………………………2 分 a1 a2 an
1 1 1 1 1 1 )(1 + ) ? ? ? ? ? (1 + )[ (1 + )? ]>0? a1 a2 an 2n + 1 2n + 3 2n + 1

其中 F ( n) =

2n + 1

因为: F (n + 1) ? F (n) = (1 +

2n + 2 )> 2n + 3 2n + 1 1 ?

1 2n + 1

?

1 2n + 3

?

2n + 2 2n + 1

) > 1 ? 2n + 2 > 2 n + 3 ? 2n + 1

? 4n 2 + 8n + 4 > 4n 2 + 8n + 3 ? 4 > 3 显然成立,所以 F (n) 是递增的。……………4 分
从而 K ≤ F ( n) min = F (1) =

2 3 . …………………………………………………………2 分 3

或因为:

2n + 2 2(n + 1) 2(n + 1) F (n + 1) = = > = 1,所以: F (n) 是递增的。……4 分; F (n) (2n + 3)(2n + 1) 4(n + 1) 2 ? 1 2(n + 1) 2 3 .………………………………2 分 3

从而 K ≤ F ( n) min = F (1) =

23 . 文 ) 解 : 1 ) 设 P ( a ,0 ) , 则 PA = ( ? a,1) , PQ = (3 ? a,2) , 由 题 意 得 PA ⊥ PQ , 所 以 ( (

(?a )(3 ? a ) + 2 = 0 ,

…………………………………………………………………………2 分 …………………………………2 分

解得 a = 2 ,1 ,所以点 P 应取在(2,0)或(1,0) ;

;因为若 l 过点 R,设 P(a ,0), …………………………2 分 (2) l 不能过点 R(3,3) ) 则 PA = ( ? a,1) , PR = (3 ? a,3) ,由题意得 PA ⊥ PR ,所以 ( ?a )(3 ? a ) + 3 = 0 ,即

a 2 ? 3a + 3 = 0 ,……………………………………………………………………………2 分
因为 ? = 9 ? 4 × 3 < 0 ,所以点 P 取不到,从而 l 不能过点 R(3,3). ……………2 分 ,P(a,0) ,………………………………………1 分 (3)设直线 l 可以经过点 B(x,y) ) 则 PB = ( x ? a , y ), PA = ( ? a ,1), BP ? PA = 0 ? a 2 ? ax + y = 0 ,

x2 a ? ax + y = 0 有解 ? x ? 4 y ≥ 0 即 y ≤ ,…………3 分 4
2 2

y

所以,直线 l 可以经过的点 B 的集合是 {( x, y ) | y ≤

x2 } ,即直线 l 4

移动的区域是抛物线 y =

x2 及以下部分。…………………2 分 4

O

x

简图如右…………………………………………………………2 分 23.( 23.(理)解: 1)由 y = (

x ? a = ( x + a ) 2 ? ( x ? a ) 2 = 4ax …………………………2 分

可知: y 2 = 4ax ( x ≥ 0, y ≥ 0) ,所以轨迹 C 为抛物线 y 2 = 4ax ( x ≥ 0, y ≥ 0) 在第一象限内的部分,包括 原点;……………………………………………………………2 分 ( 2) d 1 ( P ) =

1 1 x?x+ y? y = 4 x 2 + 4 y 2 = x 2 + y 2 ,……………………………2 分 2 2

1 4( x ? a ) 2 =| x ? a | , …………………………………………………………………2 分 2 分别表示 P 点到原点和到直线 x = a 的距离;…………………………………………………2 分 d 2 ( P) =
( 3 ) 设 若 存 在 为 A1 ( x1 , y1 ) A2 ( x 2 , y 2 ) , 则 由 d 1 ( A1 ) =

a d 2 ( A1 ) 且 d 1 ( A2 ) = a d 2 ( A2 ) 得

? x 2 + y 2 = a | x ?a| ? x1 2 + 4 ax1 = a ( x1 2 ? 2ax1 + a 2 ) 1 1 ? 1 ? ,即 ? , 即 ? 2 ? x 2 2 + 4ax 2 = a ( x 2 2 ? 2 ax 2 + a 2 ) ? x1 + y2 2 = a | x2 ? a | ? ?
?(a ? 1) x12 ? (4a + 2a 2 ) x1 + a 3 = 0 ? , ? ?(a ? 1) x2 2 ? (4a + 2a 2 ) x2 + a 3 = 0 ?
2 2 3 所以 x1、x2是方程(a ? 1) x ? (4a + 2a ) x + a = 0 的两个根.………………………………………2 分

? ?(4a + 2a 2 ) 2 ? 4(a ?1)a3 > 0 ?? > 0 ? 2 ? ?4a + 2a 要使 A1 , A2 存在,必须 ? x1 + x 2 > 0 ,即 ? ,所以必须 a > 1 .…………2 分 >0 ?x x > 0 ? a ?1 ? 1 2 ? a3 >0 ? ?a ?1
当 a > 1 时,由于 ( x1 ? a)( x 2 ? a ) = x1 x 2 ? a ( x1 + x 2 ) + a 2 =

a3 4a + 2 a 2 ?a + a2 = a ?1 a ?1

=

a 3 ? 4 a 2 ? 2 a 3 + a 3 ? a 2 ? 5a 2 = < 0 ,即 x1 ? a与x 2 ? a异号 .………………………………2 分 a ?1 a ?1

或设 f ( x) = (a ? 1) x 2 ? (4a + 2a 2 ) x + a3 ,由

f (a ) = (a ?1)a2 ? (4a + 2a2 )a + a3 = a3 ? a2 ? 4a2 ? 2a3 + a3 = ?5a2 < 0
得 a 介于 x1、x2 之间,即 x1 ? a与x 2 ? a异号 .……………………………………………2 分
所以 d 1 ( A1 ) + d 1 ( A2 ) = a (| x1 ? a | + | x 2 ? a |) = a | ( x1 ? a ) ? ( x 2 ? a ) | = a

( 2 a 2 + 4 a ) 2 4a 3 2 a a ? = 5a + 4 。…………………………………………………………2 分 a ?1 a ?1 (a ? 1) 2


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