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泰州市2014届高三上学期期末考试数学试题(Word版、含答案)


江苏省泰州市 2013~2014 学年度第一学期期末考试

高三数学试题
(考试时间:120 分钟 总分:160 分) 命题人: 朱占奎 张乃贵 王宏官 范继荣 审题人: 吴卫东 石志群
注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上. ) 1.已知集合 A ? ?1,6,9? , B ? 2.复数 (1 ? i 3.函数

?1,2? ,则 A

B?





,则 a ? b 的值为 )2 ? a ? bi ( a , b 是实数, i 是虚数单位) ▲ .



. 开始 n←1,S←0 否 输出 S 结束 n←n+1

y ? log2 ( x ? 3) 的定义域为

4.为了解某地区的中小学生视力情况,从该地区的中小学生中用 分层抽样的方法抽取 300 位学生进行调查,该地区小学,初中, 高中三个学段学生人数分别为 1200 , 1000 , 800 ,则从初中 抽取的学生人数为 ▲ . ▲ .

n≤3 是 S←2S+1

5.已知一个算法的流程图如右图,则输出的结果 S 的值是

第5题 ▲ .
D

6.在 ?ABC 中, BD ? 2DC ,若 AD ? ?1 AB ? ?2 AC ,则 ?1?2 的值为 7.将一颗骰子先后抛掷两次,观察向上的点数.则点数相同的概率是 8.如图,在正三棱柱 ▲



A1 B1

C1

ABC ? A1 B1C1 中, D 为棱 AA 1 的中点.若 AA 1 ?4,
A C B

AB ? 2 ,则四棱锥 B ? ACC1D 的体积为
9.以双曲线





x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 9 16

第8题 ▲ .

10.设函数

.则下列叙述中,正确的序号是 f ( x) ? ( x ? a) x ? a ? b ( a , b 都是实数)



. (请把所

有叙述正确的序号都填上) ①对任意实数 a , b ,函数 ②存在实数 a , b ,函数

y ? f ( x) 在 R 上是单调函数;

y ? f ( x) 在 R 上不是单调函数;

第 1 页 共 15 页

③对任意实数 a , b ,函数

y ? f ( x) 的图像都是中心对称图形;
y ? f ( x) 的图像不是中心对称图形. p ? s ? 2t ? r , m, n, p, s, t , r ?N*

④存在实数 a , b ,使得函数

11.已知在等差数列 {an } 中,若 m ? 2n ? 则

am ? 2an ? ap ? as ? 2at ? ar , 仿 此 类 比 , 可 得 到 等 比 数 列 {bn } 中 的 一 个 正 确 命 题 : 若
▲ .

m ? 2n ? p ? s ? 2t ? r , m, n, p, s, t , r ?N*,则
12. 设等差数列

a ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2a4 a 6 8
▲ .

且 ? 120 ,

1 1 1 1 7 , ? ? ? ? a4 a a6 a a8 a a2 4 6a a a 60 6 a 8 2 8 a 2 4

则 S9 的值为

13. 在平面直角坐标系中,A 两点,则 cos ? 的值为

? 0,0? , B(1,2) 两点绕定点 P 顺时针方向旋转 ? 角后,分别到 A? ? 4, 4? , B?(5, 2)
▲ .

14.已知函数 最小值为

f ( x) ? 3x ? a 与函数 g ( x) ? 3x ? 2a 在区间 (b, c) 上都有零点,则
▲ .

a 2 ? 2ab ? 2ac ? 4bc 的 b 2 ? 2bc ? c 2

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )

15. (本题满分 14 分)已知函数

?? ? f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? . 4? ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (2)若 f ( x0 ?

?
8

6 ) ? ? ,求 f ( x0 ) 的值. 5

第 2 页 共 15 页

16. (本题满分 14 分)如图,在四棱锥 E ? (1)求证: EC (2)若

ABCD 中, ?ABD 为正三角形, EB ? ED, CB ? CD .

? BD ;

AB ? BC , M , N 分别为线段 AE, AB 的中点,求证:平面 DMN / / 平面 BEC .
E

M

D C

A

N

B

17. (本题满分 15 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 2 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 和圆 O : x ? y ? a , F1 ? ?1,0? , F2 ?1,0? 2 a b

分别是椭圆的左、 右两焦点, 过F 1 且倾斜角为 ?

? ? ? ?? 交圆 O 于 ? ? ? ? 0, 2 ? ? 的动直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点, ? ?? ?

P, Q 两点(如图所示,点 A 在 x 轴上方) .当 ? ?
(1)求圆 O 与椭圆 C 的方程; (2)若点 M 是椭圆 C 上一点,求当

?
4

时,弦 PQ 的长为

14 .

AF2 , BF2 , AB 成等差数列时, ?MPQ 面积的最大值.
y P A

F1 B Q

O

F2

x

第 3 页 共 15 页

18. (本题满分 15 分)某运输装置如图所示,其中钢结构 AB 上可滑动的点 C 使 CD 垂直于底面( C 不与

ABD 是 AB ? BD ? l ,?B ?

?
3

的固定装置,

,且 CD 可伸缩(当 CD 伸缩时,装置 ABD A, B 重合)

随之绕 D 在同一平面内旋转) ,利用该运输装置可以将货物从地面 D 处沿 D 货物从 D 处至 C 处运行速度为 v ,从 C 处至 运送前调整运输装置中 ?DCB

? C ? A 运送至 A 处,

A 处运行速度为 3v .为了使运送货物的时间 t 最短,需在

??

的大小.

(1)当 ? 变化时,试将货物运行的时间 t 表示成 ? 的函数(用含有 v 和 l 的式子) ; (2)当 t 最小时, C 点应设计在

AB 的什么位置?
C

D

第 4 页 共 15 页

19 . (本题满分 16 分)设函数 f 1 ( x ) ?

1 4 ,记 x ? ae x (其中 a 是非零常数, e 是自然对数的底) 12

fn ( x ) ? fn??1 (x )( n ? 2 , n ?N*)
(1)求使满足对任意实数 x ,都有 (2)设函数 g n ( x) 点x ; f n ( x) ? f n?1 ( x) 的最小整数 n 的值( n ? 2 , n ?N*)

? f 4 ( x) ? f 5 ( x) ? ? ? f n ( x) ,若对 ?n ? 5 , n ?N*, y ? g n ( x) 都存在极值

? t n ,求证:点 An (t n , g n (t n )) ( n ? 5 , n ?N*)在一定直线上,并求出该直线方程;
y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极值,则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点.)

(注:若函数

(3)是否存在正整数 k

? k ? 4? 和实数 x0 ,使 f k ( x0 ) ?

f k ?1 ( x0 ) ? 0 且对于 ?n ? N*, f n ( x) 至多有

一个极值点,若存在,求出所有满足条件的 k 和 x0 ,若不存在,说明理由.

第 5 页 共 15 页

20. (本题满分 16 分)己知数列 (1)若 cn

?an ?是公差不为零的等差数列,数列 ?bn ? 是等比数列.

,求证: ?cn ? 为等比数列; ? ? an?1 ? an ? bn (n∈N*)
n

12 ? 若 c ? 2c ? 4c ? 8c ? 16c , (2) 设 cn ? anbn(n∈N*) , 其中 an 是公差为 2 的整数项数列,b ? ? ? ? , 5 4 3 2 1 n ? 13 ?
且当 n ? 17 时,

?cn ?是递减数列,求数列 ?an ? 的通项公式;
? a n bn ? an ? cn ? 是等比数列,数列 ?d n ?的前 n 项和为 cn ? cn ?
, 使 ,且数列

(3)若数列

?cn ? 使得 ?

?d n ?满足:对任
?cn ? 为

意n

? 2 ,n ?N*,或者 dn ? 0 恒成立或者存在正常数 M

1 ? dn ? M M

恒成立, 求证: 数列

等差数列.

第 6 页 共 15 页

江苏省泰州市 2013~2014 学年度第一学期期末考试 高三数学试题(附加题)
21. [选做题]请考生在 A、B、C、D 四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前两题记分. A. (本小题满分 10 分,几何证明选讲) 如图,

AB 是 O 的一条直径, C , D 是 O 上不同于 A, B 的两点,过 B 作 O 的切线与 AD 的

延长线相交于点 M , (1)求证: ?NBD (2)求证:

AD 与 BC 相交于 N


点, BN

? BM .
C N A B D M

? ?DBM

AM

是 ?BAC 的角平分线.

O

B. (本小题满分 10 分,矩阵与变换) 已知矩阵 A ? ?

? 2 n? ?1 ? ? 的一个特征根为 ? ? 2 ,它对应的一个特征向量为 ? ? ? ? . m 1 ? ? ? 2?
(2)求

(1)求 m 与 n 的值;

A ?1 .

C. (本小题满分 10 分,坐标系与参数方程选讲)

? 5 3 x? ? 2 cos ? ? ? 2 己知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,以 Ox 轴为极 7 ? y ? ? 2sin ? ? ? 2
? 轴, O 为极点建立极坐标系,在该极坐标系下,圆 N 是以点 ? 3, ? ? 为圆心,且过点 ( 2, ) 的圆. ? ?
? 3?

2

(1)求圆 M 及圆 N 在平面直角坐标系 xOy 下的直角坐标方程; (2)求圆 M 上任一点 P 与圆 N 上任一点 Q 之间距离的最小值.

D. (本小题满分 10 分,不等式选讲) 已知: a ? b ? c (1)求证: abc ? (2)求证: a
2

? 1 , a, b, c ? 0 .

1 ; 27

? b2 ? c2 ? 3 abc .

第 7 页 共 15 页

[必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 己知直线 l : y ? 2 x ? 4 与抛物线 C

: y 2 ? 4 x 相交于 A, B 两点, T ? t ,0? (t ? 0 且 t ? 2 )为 x 轴上任意

一点,连接 AT , BT 并延长与抛物线 C 分别相交于 A1 , B1 . (1)设

A1B1 斜率为 k ,求证: k ? t 为定值;
AB, A1B1 与 x 轴分别交于 M , N ,令 S?ATM ? S1, S?BTM ? S2 , S?B1TN ? S3 , S?ATN ? S4 , 1

(2)设直线

若 S1 , S2 , S3 , S4 构成等比数列,求 t 的值.

23.(本小题满分 10 分) 如图, 在三棱柱

?ACB ? 底面 ?ABC 为直角三角形, ABC ? A1B1C1 中,

?
2

, 顶点 C1 在底面 ?ABC

内的射影是点 B ,且

AC ? BC ? BC1 ? 3 ,点 T

是平面 ABC1 内一点.

(1)若 T 是 ?ABC1 的重心,求直线 (2)是否存在点 T ,使 TB1 存在,说明理由.

AT 1 与平面 ABC1 所成角;

TC 的长度,若不 ? TC 且平面 TAC 1 1 ? 平面 ACC1 A 1 ,若存在,求出线段
B1 C1

A1

T A

B

C

第 8 页 共 15 页

江苏省泰州市 2013~2014 学年度第一学期期末考试

高三数学参考答案
一、填空题 1.

?1? ;

2. 2 ;

3.

?x | x ? 3? ;

4.100 ;
2

5. 7 ;
2

6.

2 9



9. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 16 ; 二、解答题 15.(1) T

10.①③;

11. bm ? bn ? bp ? bs ? bt ? br ;

12. 63 ; 2

1 ; 6 3 13. ? ; 5
7.

8. 2

3;

14. ?1 .

2? ?? , 2 1 ? 3 ? 增区间为 ? ? ? k? , ? ? k? , k ? Z ? ? 8 ? 8 ? ?

………………2 分 ; ………………6 分

(2)

? 6 3 4 f ( x0 ? ) ? ? 即 sin(2 x0 ) ? ? ,所以 cos(2 x0 ) ? ? , ………………10 分 8 5 5 5 ? 2 7 2 或? . ………14 分 f ( x0 ) ? 2sin(2 x0 ? ) ? 2 ? sin 2 x0 ? cos 2 x0 ? ? 4 5 5
E

16.(1)取 BD 的中点 O,连结 EO,CO,∵△ABC 为正三角形,且 CD=CB ∴CO⊥BD,EO⊥BD 又 CO ………………4 分
D

EO ? 0 ,∴BD⊥平面 EOC,∵ EC ? 平面 EOC
………………7 分

M

∴BD⊥EC.

C O A N B

(2)∵N 是 AB 中点, ?ABD 为正三角形,∴DN⊥AB, ∵BC⊥AB,∴DN//BC, ∵BC ? 平面 BCE DN ? 平面 BCE,∴BC//平面 BCE, ……………10 分

∵M 为 AE 中点,N 为 AB 中点,∴MN//BE, ∵MN ? 平面 BCE,BE ? 平面 BCE,∴MN//平面 BCE,…………12 分 ∵MN DN=N,∴平面 MND//平面 BCE. ………………14 分

17.解: (1)取 PQ 的中点 D,连 OD,OP

2 由? ? , c ? 1 ,知 OD ? 4 2 2 PQ PQ ? 14 ? OQ 2 ? ? OD 2 ? 4 4 2 2 ? a ? 4, b ? 3

?

y P A D B F1 O F2

l

x

? 椭圆 C 的方程为:
(2)设

Q x2 y 2 ? ? 1 , O : x2 ? y2 ? 4 ,……………4 分 4 3

AF2 ? s, BF2 ? t ,
第 9 页 共 15 页

AF1 ? AF2 ? 2a ? 4, BF1 ? BF2 ? 2a ? 4 ,………………6 分 AF2 , BF2 , AB 的长成等差数列,? 2t ? s ? 8 ? s ? t ? t ?
64 ? ( x0 ? 1) 2 ? y0 2 ? ? 4 15 9 ? 设 B( x0 , y0 ) ,由 ? 得 B(? , ? ), 2 2 3 3 ? x0 ? y0 ? 1 ? 4 3 ?
8 3

………………10 分

? k ? 15 ,? PQ : y ? 15( x ? 1) ,? PQ ?
易求得椭圆上一点到直线 PQ 的距离的最大值是

7 . 2

………………12 分

3 7 ? 15 , 4
………………15 分

所以 ?MPQ 的面积的最大值是

21 7 ? 7 15 . 16

18.解: (1)在 ?BCD 中

?BCD ? ? , ?B ?

?
3

, BD ? l

? BC ?

l sin(120? ? ? ) 3l , CD ? sin ? 2sin ? l sin(120? ? ? ) , sin ?
,(

………………4 分

? AC ? AB ? BC ? l ?
则t

?

AC CD l l sin(120? ? ? ) 3l ? ? ? ? 3v v 3v 3v sin ? 2v sin ?

?
3

?? ?

2? ) 3

… ……8 分

(2) t

?

l 3 cos ? 3l l 3l 3 ? cos? (1 ? )? ? ? ? 6v sin ? 2v sin ? 6v 6v sin ?
? 3 ? cos ? sin ?
,则 m (? ) ?
'

………………10 分

1 ? 3cos? ………………12 分 sin 2 ? 1 1 ? 2? ' ?0 ? ( , ), 令 m (? ) ? 0 得 cos ? ? ,设 cos ? 0 ? 3 3 3 3 ? 2? ' ) 时 m' (? ) ? 0 则 ? ? ( ,? 0 ) 时, m (? ) ? 0 ; ? ? (? 0 , 3 3
令 m(? )

? cos ? ?

1 6?4 l. 时 m(? ) 有最小值 2 2 ,此时 BC ? 3 8

………………14 分

答:当 BC

?

6?4 l 时货物运行时间最短. 8

………………15 分

第 10 页 共 15 页

19. (1) f1 ( x ) ?

1 1 4 2 x 2 x x ? ae x , f 2 ( x ) ? x 3 ? ae x , f3 ( x) ? x ? ae , f 4 ( x) ? 2 x ? ae , 3 12

f5 ( x) ? 2 ? aex , f6 ( x) ? aex , f n' ( x) ? aex (n ? 6) ,

? nmin ? 7 .
(2) gn ( x) ? (2x ? ae
x

………………4 分

) ? (2 ? aex ) ? aex ???? ? aex ? (2 x ? 2) ? (n ? 3) ? aex
………………6 分



' ' gn ( x) ? 2 ? (n ? 3)aex 存在极值点 x ? tn ? gn (tn ) ? 2 ? (n ? 3)aetn ? 0 ' ? gn (tn ) ? 2tn ? 2 ? (n ? 3)aetn ? 2tn



………………8 分 ………………9 分 ………………10 分

? An 在直线 y ? 2 x 上.
(3)

fn ( x) ? aex ? 0(n ? 6) 无解, ? k ? 5

①当 k

? 2 ? ae x0 ? 0 2 ? 5 时, f 4 ( x) ? f5 ( x) ? 0 ? ? ? x0 ? 1 ? a ? ? x0 e ?2 x0 ? ae ? 0
?? 2 x x x ?1 时, f6 ( x) ? ae ? 0 ? f5 ( x) ? 2 ? ae ? 2 ? 2e 单调减,且 f5 (1) ? 0 e

而当 a

? f 4 ( x) 在 (??,1) 上增, (1, ??) 上减,

f 4 (1) ? 0 ? f 4 ( x) ? 0 恒成立.
2 ? 0, f 3 (0) ? ?2e ?1 ? 0 e2


? f3 ( x) 单调减,而 f3 ( x) ? x 2 ? 2e x ?1 , f 3 (?1) ? 1 ?

?t ? (?1,0), f3 ?t ? ? 0 在 (??, t ) 上 f3 (t ) ? 0 ? f 2 ( x)
1 f 2 (t ) ? t 3 ? 2et ?1 ,又 3

(??, t ) 上 增 , (t , ??) 上 减 ,

1 1 f3 (t ) ? t 2 ? 2et ?1 ? 0,? f 2 (t ) ? t 3 ? t 2 ? t 2 ( t ? 1) ? 0 3 3

? f1 (t ) 在 R 上单调减
综上所述,? 存在 k ②当 k

? 5,a ? ?

2 满足条件. e

………………13 分

? 4 时, f4 ( x0 ) ? 2x0 ? aex0 ? f3 ( x0 ) ? x02 ? aex0 ? 0 ,即 x0 ? 0 或 2

当 x0 当 x0

? 0 时 f4 (0) ? a ? 0 (舍) ? 2 时 f 4 (2) ? 4 ? ae 2 ? 0 ? a ? ?
4 4 ? f 6 ( x) ? ? 2 e x ? ?4e x ?2 ? 0 2 e e

? f5 ( x) ? 2 ? 4ex?2 单调减,且 f5 ( x) ? 0 时, x ? 2 ? ln 2
? f 4 ( x) 在 (??, 2 ? ln 2) 上增, (2 ? ln 2, ??) 上减,而 f4 (2) ? 0

第 11 页 共 15 页

? ?m ? 2 ? ln 2 使得在 (??, m) 上, f4 ( x) ? 0 ,在 (m, 2) 上 f4 ( x) ? 0 ,
在 (2, ??) 上,

f4 ( x) ? 0

? f3 ( x) 在 (??, m) 上减,在 (m, 2) 上增,在 (2, ??) 上减(舍)

?k ? 4
综上①②所述:存在 k 20.(1)证明: cn

? 5,a ? ?

2 满足条件. e
且d

………………16 分

? bn (an?1 ? an ) ,设 ?an ? 公差为 d

? 0 , ?bn ? 公比为 q ,

?

cn?1 bn?1 (an? 2 ? an?1 ) bn?1 ? ? ? q =常数,??cn ? 为等比数列………3 分 cn bn (an?1 ? an ) bn

(2)由题意得: cn?1

? 2cn 对 n ? 1, 2,3, 4 恒成立且 cn ? cn?1 对 ?n ? 17 恒成立,…5 分
n

? 12 ? cn ? an bn ? ? ? ? (2n ? t ) ? 13 ? ? 12 ? ?? ? ? 13 ?
?t ??
n n ?1

? 12 ? (2n ? t ? 2) ? 2? ? (2n ? t ) ? 14t ? 24 ? 28n ? 13 ?

n



n ? 1,2,3,4

恒 成 立

44 7
n ?1

………… ……7 分

? 12 ? ? 12 ? ? ? (2n ? t ) ? ? ? ? 13 ? ? 13 ?
? t ? ?10

(2n ? t ? 2) ? t ? 24 ? 2n 对 n ? 17 恒成立
………… ……9 分

??10 ? t ? ?

44 而 t ? Z ? t ? ?9, ?8, ?7 7
………… ……10 分
n

? an ? 2n ? 7 或 an ? 2n ? 8 或 an ? 2n ? 9 .
anbn A ?q ? ? A2 q2 n ? an ? 2 ? 2 ? ? cn (3)证明:设 bn ? A q , cn A1 ? q1 ?
n 1 1

不妨设

n A2 q2 Aq n cn ? cn n ? A, ? q ? an ? Aq ? cn ? ? di ? ? Aq n ? 1 A1 q1 cn i ?1
n n ?1 i ?1

? dn ? ? di ? ? di ? ? A(q ? 1) ? q n ?1 (n ? 2) ,即
i ?1

d n ? A( q ? 1) q
若q

n ?1

(n ? 2) .

………… ……13 分

? 1 ,满足 d n ? 0(n ? 2) ,
第 12 页 共 15 页

若q

? 1 ,则对任给正数 M,则 n 取 (log q

M , ??) 内的正整数时, A(q ? 1)

d n ? M ,与


1 ? dn ? M M

矛盾.

0 ? q ?1 ,则对 任给正数

T=

1 M

,则

n



(log q

T ? ?) A(q ? 1)

内的正整数时

dn ? T =

1 M

,与

1 ? dn ? M M

矛盾.

? q ? 1 ,? an ? Acn 而 an 是等差数列,设公差为 d ? ,
? cn ?1 ? cn ? 1 d? (an ?1 ? an ) ? 为定值,? cn 为等差数列. A A
………… ……16 分

第 13 页 共 15 页

附加题参考答案
21.A.证明: (1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90° 而 BN=BM ? △BNM 为等腰三角形 ………………5 分 ? BD 为∠NBM 的角平分线 ? ∠DBC=∠DBM.

?DBM ? ?DAB ? ? (2)BM 是⊙O 的切线, ?CBD ? ?CAD ? ? ?DAB ? ?DAC ?DBC ? ?DBM ? ? ………………10 分 ? AM 是∠CAB 的角平分线.
21.B.解: (1)由题意得:

? 2 n ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? 2 ? 2n ? 2 ? n ? 0 A? ? ?? ? ? ? ? ? 2 ?? ? ? 2? ?2? ? ? m ? 2 ? 4 ? ?m ? 2 ……5 分 ? m 1 ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ?a b ? ? 2 0? ? a b ? ?1 0? ?1 (2)设 A ? ? ?E?? ?? ? ? ? ? ? ? 2 1? ? c d ? ?0 1? ?c d ? ? 1 ? ? 2a ? 1 ?a ? 2 ?1 ? ? ? 0? ? 2b ? 0 ? ?1 . ………………10 分 ?? ??b?0 即A ?? 2 ? ? 2 a ? c ? 0 ? ?c ? ?1 ? ?1 1 ? ? 2b ? d ? 1 ? ? ? ? d ?1 ? ? 5 3 2 7 3 3 21.C.解: (1)⊙M: ( x ? ) ? ( y ? )2 ? 4 , ( 3, ) 对应直角坐系下的点为 ( , ) , 3 2 2 2 2 ? 3 2 3 (2, ) 对应直角坐系下的点为 (0, 2) ,∴⊙N: ( x ? ) ? ( y ? )2 ? 1 .……5 分 2 2 2 (2)PQ=MN-3= 4 ? 3 ? 1 . ………………10 分 3 21.D.证明: (1) a ? b ? c ? 3 ? abc ,而 a ? b ? c ? 1 1 1 ? abc ? ,当且仅当 a ? b ? c ? 时取“=”. ………………5 分 27 3 1 1 1 2 2 2 2 3 (2)柯西不等式 a ? b ? c ? ( a ? b ? c ) ? ,由(1)知 abc ? 3 3 3 2 2 2 3 ………………10 分 ?a ? b ? c ? abc ,当且仅当 a ? b ? c 时取“=”. 2 ? y ? 2x ? 4 n2 m ? A(4, 4) , B(1, ?2) ,设 A1 ( , m) ,B1 ( , n) , 22.解: (1) ? 2 4 4 ? y ? 4x 4 m k AT ? k A1T ? ? 2 ? m 2 ? 4t ? 4m ? tm ? m(m ? 4) ? t (4 ? m) 4?t m ?t 4 3t 4 t2 ? ? kt ? 4定值. …5 分 ? m ? ?t ? A1 ( , ?t ) ,同理: B1 (t 2 , 2t ) ? k ? 2 t t 4 t2 ? 4 2 4 t 2 (2)A1B1: y ? 2t ? ( x ? t ), 令y ? 0得N ( , 0), 而M (2, 0) t 2

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t2 ? t t t2 TN ? y A1 S1 y 1 S t2 ? A ? 2 ? S 2 ? S1 , 4 ? ? 2 ? ? ? S 4 ? S1 S2 yB 2 S1 TM ? y A t?2 4 8 8

t (t ? 2) 2t t 2 S3 TN ? yB1 t2 ? ? 2 ? ? ? S3 ? S1 S1 TM ? y A t?2 4 4 4

S1 , S2 , S3 , S4 构成的等比数列,∴ t 2 ? 1而 t ? 0 ? t ? 1 .
? B(3,0,0),C(0,0,0), A(0,3,0),C1 (3,0,3)

………………10 分

23.解:如图以 CB、CA 分别为 x,y 轴,过 C 作直线 Cz//BC1,以 Cz 为 z 轴

CB1 ? CC1 ? CB ? (6,0,3) ? B1 (6,0,3) CA1 ? CC1 ? CA ? (3,3,3) ? A1 (3,3,3)
(1)T 是△ABC1 重心 ? T (2,1,1) ? TA 1 设面 ABC1 的法向量为 n1

B1 z A1 C1

? (1,2,2)

? ( x1, y1, z1 ), AB ? (3, ?3,0)
x T B

?3x1 ? 3 y1 ? 0 ? z1 ? 0 ?? ?? ? 取法向量 n1 ? (1,1,0) ?3x1 ? 3 y1 ? 3z1 ? 0 ? x1 ? y1
2 ? y A ?? TA1 , n1 ?? 2 4 3? 2 ? ? ? ? TA1 , n1 ?? . 设 TA1 与面 ABC1 所成角为 ? ? ? ? ………………5 分 2 4 (2)T 在面 ABC1 内, CT ? CB ? BT ? CB ? mBC1 ? nBA ? ? 3 ? 3n,3n,3m ? , ? cos ? TA1 , n1 ?? 3 ?
即 T (3 ? 3n,3n,3m) .由 TB1

C

? TC 得

(3 ? 3n)2 ? (3n)2 ? (3m)2 ? (3n ? 3)2 ? (3n)2 ? (3m ? 3)2 ? ?2m ? 4n ? ?1 ①
设面 CAA1C1 法向量为 n2

? ( x2 , y2 , z2 ), CA ? (0,3,0), CC1 ? (3,0,3)

?3 y2 ? 0 ?? ? 取 n2 ? (1,0,?1) ?3 x2 ? 3 z2 ? 0
设面 TA1C1 法向量为 n3

? ( x3 , y3 , z3 ), C1 A1 ? (0,3,0), C1T ? (?3n,3n,3m ? 3)
,由平面

? y3 ? 0 ?? ? 取 n3 ? (m ? 1,0, n) ??3nx3 ? (3m ? 3) z3 ? 0 m ?1 ? n cos ? n2 , n3 ?? ? 0 ? m ? n ? 1② 2 ? (m ? 1) 2 ? n 2
由①②解得 n

TAC 1 1 ?

平面

ACC1 A1



?

1 3 3 11 ?3 3 9? , m ? ,? 存在点 T ? , , ? ,TC= . 2 2 2 ?2 2 2?

………10 分

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