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2014届高三数学冲刺高考真题训练1(理)


2014 届 高 三 数 学 冲 刺 高 考 真 题 训 练 1( 理 )
一.填空题(本大题满分 44 分) lg( 4 ? x ) 1.函数 y ? 的定义域是 x?3 . . . . .

2 x ? my ? 1 ? 0 与直线 l2:y ? 3x ? 1 平行,则 m ? 2.若直线 l1: 

3.函数 f ( x ) ?

x 的反函数 f x ?1

?1

( x) ?

4.方程 9 x ? 6 ? 3x ? 7 ? 0 的解是 5.若 x,y ? R + ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值是 6.函数 y ? sin ? x ?

? ?

π? ? π? ? sin ? x ? ? 的最小正周期 T ? 3? ? 2?



2 3 4 5 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 7.在五个数字 1,,,,

(结果用数值表示) .
2 2 8.以双曲线 x ? y ? 1 的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是

4

5

9.对于非零实数 a,b ,以下四个命题都成立: ① a?

1 ? 0; a

② (a ? b) ? a ? 2ab ? b ;
2 2 2
2 ④ 若 a ? ab ,则 a ? b .

③ 若 | a | ? | b | ,则 a ? ?b ;

那么,对于非零复数 a,b ,仍然成立的命题的所有序号是



10.在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种. 已知 ?,? 是两个 相交平面,空间两条直线 l1,l2 在 ? 上的射影是直线 s1,s2 , l1,l2 在 ? 上的射影是 直线 t1,t2 .用 s1 与 s 2 , t1 与 t 2 的位置关系,写出一个总能确定 l1 与 l 2 是异 面直线的充分条件:
2 2 11. 已 知 P 为 圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上 任 意 一 点( 原

点 O除外) , 直 线 OP

的倾斜角为 ? 弧度,记

d) d ? | OP | . 在 右 侧 的 坐 标 系 中 , 画 出 以 (?,

为坐标的点的轨迹的大致图形为

1

二.选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A,B,C,D 的四 个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内, 选对得 4 分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内) ,一律得零 分. 12.已知 a,b ? R ,且 2 ? a i,

b ? i ( i 是虚数单位)是实系数一元二次方程


x 2 ? px ? q ? 0 的两个根,那么 p,q 的值分别是(
A. p ? ?4, q ? 5 C. p ? 4, q ? 5 B. p ? ?4, q ? 3 D. p ? 4, q ? 3

13.设 a,b 是非零实数,若 a ? b ,则下列不等式成立的是( A. a ? b
2 2

) D.

B. ab ? a b
2 2

C.

1 1 ? 2 2 ab a b

b a ? a b

14.直角坐标系 xOy 中, i ,j 分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量.在直角三角形

ABC 中,若 AB ? 2 i ? j ,
A.1 B.2

?

?

? ? AC ? 3 i ? k j ,则 k 的可能值个数是(
C.3 D.4



15.设 f ( x) 是定义在正整数集上的函数,且 f ( x) 满足: “当 f (k ) ≥ k 2 成立时,总可推 出 f (k ? 1) ≥ (k ? 1) 2 成立” .那么,下列命题总成立的是( A.若 f (3) ≥ 9 成立,则当 k ≥ 1 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立 B.若 f (5) ≥ 25 成立,则当 k ≤ 5 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立
2 C.若 f ( 7 ) ? 49 成立,则当 k ≥ 8 时,均有 f ( k ) ? k 成立



D.若 f ( 4 ) ? 25 成立,则当 k ≥ 4 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立

三.解答题(本大题满分 90 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 16. (本题满分 12 分) 如图,在体积为 1 的直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ACB ? 90 ,
?

AC ? BC ? 1 .求
B1

直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成角的大小(结果用反三角函数值表 C1 示) .

A1

C

B

2

A

17. (本题满分 14 分)
, c 分 别 是 三 个 内 角 A, B,C 的 对 边 . 若 a ? 2, 在 △ ABC 中 , a, b

C?

π , 4

cos

B 2 5 ,求 △ ABC 的面积 S . ? 2 5

18. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快.2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦,年生产量的增长率为 34%.以后四年中,年生产量的增长率逐年递增 2%(如,2003 年的年生产量的增长率为 36%) . (1)求 2006 年全球太阳电池的年生产量(结果精确到 0.1 兆瓦) ; (2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006 年的实际安 装量为 1420 兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%,到 2010 年,要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的 95%) ,这四年中太 阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到 0.1%)?

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知函数 f ( x ) ? x ?
2

a x

( x ? 0 ,常数 a ? R ) .

(1)讨论函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由;
? ? ) 上为增函数,求 a 的取值范围. (2)若函数 f ( x) 在 x ? [ 2,

3

20. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分.
a2, a3, , an( n 为正整数) 如果有穷数列 a1, 满足条件 a1 ? a n ,a2 ? an?1 , ?,a n ? a1 ,

2 , n) 即 ai ? an?i ?1 ( i ? 1,, ,我们称其为“对称数列” .例如,由组合数组成的数列
0 1 m 就是“对称数列” . Cm , Cm ,, Cm

b2, b3, b4 是等差数列,且 b1 ? 2 , (1)设 ?bn ?是项数为 7 的“对称数列” ,其中 b1,

b4 ? 11.依次写出 ?bn ?的每一项;
ck?1, , c2 k? 1是首项 (2)设 ? cn ?是项数为 2k ? 1 (正整数 k ? 1 )的“对称数列” ,其 中 ck,

为 50 ,公差为 ? 4 的等差数列.记 ? cn ?各项的和为 S 2 k ?1 .当 k 为何值时, S 2 k ?1 取得最大 值?并求出 S 2 k ?1 的最大值; ( 3 )对于确定的正整数 m ? 1 ,写出所有项数不超过 2 m 的“对称数列” ,使得 当 m ? 1500时, 求其中一个 “对称数列” 前 2008 1,, 2 22, , 2m?1 依次是该数列中连续的项; 项的和 S 2008 .

21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 我们把由半椭圆

x2 y2 y2 x2 ( x ≥ 0 ) ? ? 1 ? ? 1 ( x ≤ 0 ) 合成的曲线称 与半椭圆 a2 b2 b2 c2

2 2 2 作“果圆” ,其中 a ? b ? c , a ? 0 , b ? c ? 0 .

如图,点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦点, A1 , A2 和 B1 , B2 分别是“果圆”与 x , y y 轴的交点. B2 (1)若 △F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形,求 “果圆”的方程;

.F .

2

b (2)当 A1 A2 ? B1 B2 时,求 的取值范围; a
(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆” 的弦.试研究:是否存在实数 k ,使斜率为 k 的“果圆”

A1

O

F0

.

A2

x

F1 B1

平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的 k 值;若不存在,说明理 由.

4

2007 年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)
数学试卷(理工农医类)答案要点
一、填空题(第 1 题至第 11 题) 1. 5.

?x x ? 4 且 x ? 3 ?

2. ?

2 3

3.

x ( x ? 1) x ?1

4. log3 7 9.②④

1 6. π 7. 0.3 8. y 2 ? 12( x ? 3) 16 10. s1 // s 2 ,并且 t1 与 t 2 相交( t1 // t 2 ,并且 s1 与 s2 相交)

11.

二、选择题(第 12 题至第 15 题) 题 答 号 案 12 A 13 C 14 B 15 D

三、解答题(第 16 题至第 21 题) 16.解法一: 由题意,可得体积

C1

B1

V ? CC1 S△ ABC

1 1 ? CC1 AC BC ? CC1 ? 1, 2 2

A1

? AA1 ? CC1 ? 2 .
连接 BC1 .
A1C1 ? B1C1,A1C1 ? CC1 ,

C

B

? A1C1 ? 平面 BB1C1C , ? ?A1 BC1 是直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成的角.
BC1 ? CC1 ? BC 2 ? 5 ,
2

A

? t an ?A1 BC1 ?

A1C1 1 5 ,则 ?A1 BC1 = arctan . ? 5 BC1 5

5

即直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成角的大小为 arctan 解法二: 由题意,可得 体积 V ? CC1 S?ABC

5 . 5
z
C1 B1

1 1 ? CC1 AC BC ? CC1 ? 1, 2 2

? CC1 ? 2 ,
1, 0) , 如图,建立空间直角坐标系. 得点 B( 0, C1 ( 0,, 0 2) , A1 (1,, 0 2 ) . 则 A1B ? ( ? 1 , 1, ? 2) ,

A1

C

B

y

平面 BB1C1C 的法向量为 n ? (1,, 0 0) .

x

A

?, 设直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成的角为 ? , A 1B 与 n 的夹角为
则 cos ? ?

A1 B n A1 B n

??

6 6 6 , ? sin ? ?| cos? |? , , ? ? arcsin 6 6 6 6 . 6

即直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成角的大小为 arcsin

4 3 17.解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , 5 5

? 3π ? 7 2 , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ?B?? ? 4 ? 10
由正弦定理得 c ?

10 1 1 10 4 8 , ? S ? ac sin B ? ? 2 ? ? ? . 2 2 7 5 7 7

18.解: (1)由已知得 2003,2004,2005,2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为

36% , 38% , 40% , 42% .
则 2006 年全球太阳电池的年生产量为

670 ? 1.36 ? 1.38 ? 1.40 ? 1.42 ? 2499.8 (兆瓦).
(2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x ,则 解得 x ≥ 0.615 . 因此,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 61.5% .
2 19.解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ,

1420(1 ? x) 4 ≥ 95% . 2499.8(1 ? 42%) 4

0) 对任意 x ? ( ? ?,

(0, ? ? ) , f (? x) ? (? x) ? x ? f ( x) , ?
2 2

f ( x) 为偶函数.

6

当 a ? 0 时, f ( x) ? x2 ?

a ( a ? 0, x ? 0) , x

取 x ? ?1 ,得 f (?1) ? f (1) ? 2 ? 0, f (?1) ? f (1) ? ?2a ? 0 ,
? f ( ?1 ) ? ? f (, 1) f ? ( 1? )f , ( 1 )

? 函数 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)解法一:设 2 ≤ x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ?

a a ( x1 ? x2 ) 2 ? x2 ? ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? a ? , ? x1 x2 x1 x2

? ? ) 上为增函数,必须 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立. 要使函数 f ( x) 在 x ? [ 2, x1 ? x 2 ? 0, x x 1 ? 2 4 ,即 a ? x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) 恒成立.

又? x1 ? x2 ? 4 ,? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? 16 .

? a 的取值范围是 ( ? ?, 16] .
? ? ) 为增函数. 解法二:当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ,显然在 [ 2,

当 a ? 0 时,反比例函数

a ? ? ) 为增函数, 在 [ 2, x

? f ( x) ? x 2 ?

a ? ? ) 为增函数. 在 [ 2, x

当 a ? 0 时,同解法一. 20.解: (1)设 ?bn ?的公差为 d ,则 b4 ? b1 ? 3d ? 2 ? 3d ? 11,解得 d ? 3 ,

?

5 8 11,,, 8 5 2. 数列 ?bn ?为 2,,,

(2) S 2k ?1 ? c1 ? c2 ? ? ? ck ?1 ? ck ? ck ?1 ? ? ? c2k ?1

? 2( ck ? ck ?1 ? ? ? c2k ?1 ) ? ck ,

S 2k ?1 ? ?4( k ? 13) 2 ? 4 ?132 ? 50,
?
当 k ? 13 时, S 2 k ?1 取得最大值.

S 2 k ?1 的最大值为 626.
(3)所有可能的“对称数列”是:
2 22, , 2m?2, 2m?1, 2m?2, , 22,, 2 1; ① 1,,
7

② 1 ,, 2 22, , 2m?2, 2m?1, 2m?1, 2m?2, , 22,, 2 1; ③ 2m?1, 2m?2, , 22,, 2 1,, 2 22, , 2m?2, 2m?1 ; ④ 2m?1, 2m?2, , 22,, 2 1, 1,, 2 22, , 2m?2, 2m?1 . 对于①,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 2007 ? 2 2008 ? 1. 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 m?2 ? 2 m?1 ? 2 m?2 ? ? ? 2 2m?2009
9 ? 2 m ? 1 ? 2 m?1 ? 2 2 m?2 0 0 ? 2 m ? 2 m?1 ? 2 2 m?2 0 0 9 ? 1.

对于②,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 2008 ? 1 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2
m ?1

? 2 2 m?2008 ? 1 .

对于③,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 m ? 2 m?2008 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2 ? 2
m 2009 ? m

? 3.

对于④,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 m ? 2 m?2008 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2 ? 2
m 2008 ? m

? 2.

0), F1 0, ? b2 ? c2 , F2 0,b2 ? c2 , 21. 解: (1)? F0 ( c,
? F0 F2 ?

?

?

?

?

?b

2

? c 2 ? ? c 2 ? b ? 1, F1 F2 ? 2 b 2 ? c 2 ? 1 ,

3 7 于是 c2 ? , a2 ? b2 ? c2 ? ,所求“果圆”方程为 4 4 4 2 4 x ? y 2 ? 1 ( x ≥ 0) , y 2 ? x2 ? 1 ( x ≤ 0) . 7 3
(2)由题意,得

a ? c ? 2b ,即 a 2 ? b 2 ? 2b ? a .

? ( 2b)2 ? b2 ? c2 ? a2 ,? a 2 ? b 2 ? (2b ? a) 2 ,得
2 2 2 2 又b ? c ? a ? b , ?

b 4 ? . a 5

b2 1 b ? 2 4? ? . ? ?? , ? 2 ?. a ? 2 a ? 2 5?
x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1 ( x ≥ 0) , 2 ? 2 ? 1 ( x ≤ 0) . 2 a b b c x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) 的交点是 a 2 b2
8

(3)设“果圆” C 的方程为 记平行弦的斜率为 k .

当 k ? 0 时,直线 y ? t ( ? b ≤ t ≤ b ) 与半椭圆

P ? a 1?
? ?

?

t2 ? y 2 x2 ,与半椭圆 , t ? ? ? 1 ( x ≤ 0) 的交点是 Q b2 ? b2 c 2 ?
1? t2 , b2

? t2 ? t ?. ? ? c 1? 2 , ? ? b ? ?

? a?c ?x ? y ) 满足 ? ? P,Q 的中点 M ( x, 2 ? y ? t, ?



x2 ? a?c ? ? ? ? 2 ?
2

?

y2 ? 1. b2

a?c ? a ? c ? 2b a ? c ? 2b 2 ?0. ? a ? 2b ,? ? ? ? ?b ? ? 2 ? 2 2

2

综上所述,当 k ? 0 时, “果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上. 当 k ? 0 时 , 以 k 为 斜 率 过 B1 的 直 线 l 与 半 椭 圆
? 2ka 2b k 2 a 2b ? b3 ? ,2 2 . ? 2 2 2 2 ? ?k a ?b k a ?b ?

x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) 的 交 点 是 a 2 b2

由此,在直线 l 右侧,以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 y ? ? 某一椭圆上. 当 k ? 0 时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.

b2 x 上,即不在 ka 2

9


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