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武汉艺术生文化课华英艺考高三数学百日提百分:专题训练十一 三角变换与解三角形、平面向量


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高考专题训练十一
班级_______ 姓名_______ 时间:45 分钟

三角变换与解三角形、平面向量 分值:75 分 总得分________

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上. → → 1.a,b 是不共线的向量,若AB=λ1a+b,AC=a+λ2b(λ1,λ2∈R),则 A,B,C 三点共线的充要条件为( A.λ1=λ2=-1 C.λ1λ2+1=0 ) B.λ1=λ2=1 D.λ1λ2-1=0

→ → → → 解析:只要AC,AB共线即可,根据向量共线的条件即存在实数 λ 使得AC=λAB, 即 a+λ2b=λ(λ1a+b),由于 a,b 不共线,根据平面向量基本定理得 1=λλ1 且 λ2 =λ,消掉 λ 得 λ1λ2=1. 答案:D 2.(2011· 辽宁)若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a-c)· (b-c)≤0,则|a+b- c|的最大值为( A. 2-1 C. 2 ) B.1 D.2

解析:a· b=0,(a-c)· (b-c)≤0, 即 a· b-(a· c+b· c)+c2≤0 ∴a· c+b· c≥1. 又|a+b-c|= ?a+b-c?2

= a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c = 3-2?a· c+b· c?≤1. 答案:B 3.(2011· 全国)设向量 a,b,c 满足|a|=|b|=1,a· b=

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1 - , 〈a-c,b-c〉=60° ,则|c|的最大值等于( 2 A.2 C. 2 B. 3 D.1

)

→ → → 解析:设OA=a,OB=b,OC=c (ⅰ)若 OC 在∠AOB 内,如图

1 因为 a· b=- ,所以∠AOB=120° , 2 又〈a-c,b-c〉=60° ,则 O,A,C,B 四点共圆. |AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|· |OB|· cos120° =3,∴|AB|= 3. 2R= |AB| 3 = =2,∴|OC|≤2,即|c|≤2. sin120° 3 2

(ⅱ)若 OC 在∠AOB 外,如图

由(ⅰ)知∠AOB=120° ,又∠ACB=60° , → |OA|=|OB|=1,知点 C 在以 O 为圆心的圆上,知|c|=|OC|=1. 综合(ⅰ),(ⅱ)|c|最大值为 2. 答案:A

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→ → 4.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设向量OA=a,OB=b,其中 a=(3,1), → b=(1,3).若OC=λa+μb,且 0≤λ≤μ≤1,C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确 的是( )

→ 解析:由题意知OC=(3λ+μ,λ+3μ),取特殊值,λ=0,μ=0,知所求区域包含 原点,取 λ=0,μ=1,知所求区域包含(1,3),从而选 A. 答案:A 5.(2011· 天津)如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD, BC=2BD,则 sinC 的值为( )

A. C.

3 3 6 3

B. D.

3 6 6 6

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解析:如题图所示

在△BCD 中,∵BC=2BD, ∴ sinC 1 = . sin∠BDC 2

在△ABD 中,∵AB=AD,2AB= 3BD, AD2+BD2-AB2 3 ∴cos∠ADB= = , 2AD· BD 3 ∴sin∠ADB= 6 ,∵∠ADB=π-∠BDC, 3

∴sin∠ADB=sin∠BDC, 1 6 6 ∴sinC= × = . 2 3 6 答案:D 6.(2011· 河南省重点中学第二次联考)在△ABC 中,sin2A+cos2B=1,则 cosA+ cosB+cosC 的最大值为( 5 A. 4 C.1 ) B. 2 3 D. 2

解析:由 sin2A+cos2B=1,得 cos2B=cos2A.又 A、B 为△ABC 的内角,所以 A= B, C=π-2A.cosA+cosB+cosC=2cosA+cos(π-2A)=2cosA-cos2A=-2cos2A+ 则
? 1? 3 1 3 2cosA+1=-2?cosA-2?2+ ,可知当 cosA= 时,cosA+cosB+cosC 取得最大值 . 2 2 2 ? ?

答案:D

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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.
? π? tanx 7.(2011· 江苏)已知 tan?x+4?=2,则 的值为________. tan2x ? ? ? π? 1+tanx 1 解析:tan?x+4?= =2,∴tanx= , 3 ? ? 1-tanx

2tanx 3 tan2x= 2 = , 1-tan x 4 1 tanx 3 4 则 = = . tan2x 3 9 4

4 答案: 9
?π ? ?π ? 8.(2011· 上海)函数 y=sin?2+x?cos?6-x?的最大值为________. ? ? ? ? ? 3 ? 3 1 3 cos2x+1 1 1 ? 解析:y=cosx· cosx+ sinx?= cos2x+ sinx· cosx= · + sin2x 2 2 2 2 4 2 ?2 ?



π? 3 1 3 1 ? 3 cos2x+ sin2x+ = sin?2x+3?+ . 4 4 4 2 ? 4 ?

1 3 故 ymax= + . 2 4 1 3 答案: + 2 4 9.(2011· 江西)已知|a|=|b|=2,(a+2b)· (a-b)=-2,则 a 与 b 的夹角为________. 解析:(a+2b)· (a-b)=-2 ∴a2+a· b-2b2=-2 ∵|a|=2,|b|=2, ∴4+a· b-8=-2,∴a· b=2 ∴cosθ= π 答案: 3 a· 2 1 b π = = ,0≤θ≤π,∴θ= . |a||b| 4 2 3

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→ 10.(2011· 湖南)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设BC= → → → → → 2BD,CA=3CE,则AD· =________. BE → → 解析:∵BC=2BD,∴D 为 BC 中点. → → ∵CA=3CE,∴E 为 AC 边上距 C 近的一个三等分点. → 1 → → → → → 2→ → ∴AD= (AB+AC),BE=AE-AB= AC-AB. 2 3 → → → → 又|AB|=|AC|=1,AB与AC夹角为 60° , → → 1 → → ? → →? ?2 ∴AD· = (AB+AC)· AC-AB? BE ?3 ? 2 ? ? 1?2 → 2 → 2 1 → → ? = ? AC -AB - AB· ? AC? 2?3 3 ? ? 1 ? 1?2 ? = ?3-1-3×1×1×cos60° 2? ? 1? 1?2 1 = ?3-1-6?=- . 2? 4 ? 答案:- 1 4

三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
?1 π? 11.(12 分)(2011· 广东)已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? ?5π? (1)求 f? 4 ?的值; ? ? ? π? ? π? 10 6 (2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. 5 ? ? ? ? 13 ?5π? ?1 5π π? ?5π π? π 解:(1)f? 4 ?=2sin?3× 4 -6?=2sin?12-6?=2sin = 2. 4 ? ? ? ? ? ? ?1? π? π? ? π? (2)∵f?3α+2?=2sin?3?3α+2 ?-6? ? ? ? ? ? ?

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=2sinα= ∴sinα=

10 , 13

? π? 5 12 ,又 α∈?0,2?,∴cosα= , 13 13 ? ?

?3β+2π π? ? π? ∵f(3β+2π)=2sin? - ?=2sin?β+ 2? ? ? 6? ? 3

6 =2cosβ= , 5
? π? 3 4 ∴cosβ= ,又 β∈?0,2?,∴sinβ= . 5 5 ? ?

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=

12 3 5 4 16 × - × = . 13 5 13 5 65

12.(13 分)(2011· 湖北)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.已知 a 1 =1,b=2,cosC= . 4 (1)求△ABC 的周长; (2)求 cos(A-C)的值. 1 解:(1)∵c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4× =4. 4 ∴c=2 ∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5. 1 (2)∵cosC= ,∴sinC= 1-cos2C= 4 15 4 asinC 15 ∴sinA= c = = . 2 8 ∵a<c.∴A<C,故 A 为锐角. ∴cosA= 1-sin2A= 1-?
? 15?2 7 ?= . 8 ? 8 ? ?1? 15 1-?4?2= . 4 ? ?

7 1 15 15 11 ∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC= × + × = . 8 4 8 4 16

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