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高一数学必修1函数试题及答案2


高一必修 1 函数测试
一、选择题: 1 、 设 全 集 U ? Z , 集 合 A ? ?? 1,1,2?, B ? ?? 1,0,1,2? 从 A 到 B 的 一 个 映 射 为 , f : x ? y ? f ( x) ?

x , 其中 x ? A, y ? B, P ? ?y | y ? f ( x)?, 则 B ? (CU P) ? _________________。 | x|
x

2、已知 x1 是方程 x ? lg x ? 3 的根, x2 是方程 x ? 10 ? 3 的根,则 x1 ? x2 值为______________。 3、已知函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ?1 对称,且当 x ? 0 时则当 x ? ?2 时 f (x) ? _______。 4、 函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像与 y 轴交于点 P(0, 2)(如图所示) 则方程 f ( x) ? 0 在 [1, 4] , 上的根是 x ? _______。

?2e x ?1 , x<2, ? 则f ( f (2))的值为 _______。 5、设 f ( x) ? ? 2 ?log 3 ( x ? 1),x ? 2. ?
3 4 7 4

(0,2)

[m 6、 从甲城市到乙城市 m 分钟的电话费由函数 f (m) ? 1.06 ? ( [m] ? )(元) 给出, 其中 m ? 0 , ]
表示不大于 m 的最大整数(如 [3] ? 3, [3.9] ? 3, [3,1] ? 3 ) ,则从甲城市到乙城市 5.8 分钟的电话费为 ______________。 7、函数 f ( x ) ?

ax ? 1 在区间 (?2,??) 上为增函数,则 a 的取值范围是______________。 x?2

?2 x ?1 ? 2, x ? (??,2] ? 8、函数 y ? ? 1? x 的值域为______________。 ?2 ? 2, x ? (2,??) ?
9、若 f (5
2 x ?1

) ? x ? 2 ,则 f (125) ? __________

2 10、已知映射 f : A ? B ,其中 A=B=R,对应法则为 f : x ? y ? x ? 2x ? 3

若对实数 k ? B ,在集合中 A 不存在原象,则 k 的取值范围是______________

( 0 上是减函数, f (-1) ? f (lg x) , 11、 偶函数 f (x) 在 - ?,) 若 则实数 x 的取值范围是______________.
12、 关于 x 的方程 | x ? 4 x ? 3 | ?a ? 0 有三个不相等的实数根, 则实数 a 的值是_________________。
2

13、关于 x 的方程 ( ) ?
x

1 2

1 有正根,则实数 a 的取值范围是______________ 1 ? lg a

14、已知函数 f(x)= (log1
4

x) 2 ? log1 x ? 5 , x ? ?2,?,则当 x = 4
4



f (x) 有最大值

;当 x =

时,f(x)有最小值

.

二、解答题:本大题共4小题,解答时应写出文字说明、演算步骤. 15、已知集合 A ? ? ,2,3, m?,集合 B ? 4,7, a 4 , a 2 ? 3a ,其中 1

?

?

m ? N * , a ? N * , x ? A, y ? B. f : x ? y ? 3x ? 1 是从集合 A 到集合 B 的函数,求 m, a, A, B

16、已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ,当 x ? [?2,2] 时, f ( x) ? a 恒成立,求 a 的最小值.

17、已知函数 f ( x) ? 2

x ?1

,将函数 y ? f

?1

( x) 的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,就

得到 y ? g (x) 的图象. (1)写出 y ? g (x) 的解析式; (2)求 F ( x) ? g ( x ) ? f
2 ?1

( x) 的最小值.

18、一片森林面积为 a ,计划每年砍伐一批木材,每年砍伐面积的百分比相等,则砍伐到面积的一半 时,所用时间是 T 年.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的

1 .已知到今年为止,森林剩 4

余面积为原来的

2 . 2

(1)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (2)今后最多还能砍伐多少年?

参考答案
1、1、解:由 f : x ? y ? f ( x) ?

x ,知 x=-1,1,2 y=-1,1,1 P={-1,1} CU P ? {{x| x≠-1 且 x≠1,x | x|

∈Z},

B ? (CU P) ? {0,2}

2、1解:方程方程 x+lgx=3 和方程 x+10x=3 的可化为方程 lgx=3-x 和方程 10x=3-x 的,令 f(x)=lgx,g(x)=10x,y=3-x,
画图:

显然 x1 是函数 f(x)=lgx 与 y=3-x 图象的交点 的横坐标,x2 是函数 g(x)=10x 与 y=3-x 的图象的交点的横坐标,由于 函数 f(x)=lgx,与 g(x)=10x 的图象关于 y=x 对称,直线 y=3-x 也关于 y=x 对称,且直线 y=3-x 与它们都只有一个交 点,故这两个交点关于 y=x 对称.又因为 两个交点的中点是 故填 3. 3、解:∵数 y=f(x)的图象关于直线 x=-1 对称 ∴f(x)=f(-2-x) ∴f(-2-x)= ∵x<-2 ∴-2-x>0 y=3-x 与 y=x 的交点,即(

3 3 , ),所以 x1+x2=3. 2 2

4、解:由反函数定义知,函数 y ? f ( x) 与 x 轴交点为(2,0)故方程 f ( x) ? 0 在 [1, 4] 上的根是 x ? 2 5、解:由题知 f(2)=iog3(22-1)= iog33=1, f(1)=2e1-1=2e0=2 6、解:[5.8]=5,f(5.8)=1.06 ? (

?1 , x?2

∴f(x)=

?1 , x?2

3 7 [5.8]+ )=5.83(元) 4 4


7、解:法一:在区间(-2,+∞)上任取 x1,x2 且则 x1<x2 则 f(x1) -f(x2)=

ax1 ? 1 ax2 ? 1 (2a ? 1)(x1 ? x2 ) = , x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

由 x1>-2,x2>-2 知 x1+2>0,x2+2>0 ,又 x1<x2 故 x1-x2<0

ax ? 1 1 ,在 x∈(-2,+∞)上为增函数,则须满足 f(x1) -f(x2) <0,得 (2a-1) >0,得 a> x?2 2 ax ? 1 (ax ? 2) ? 2a ? 1 1 ? 2a 法二: f ( x) ? = =a+ x?2 x?2 x?2 1 令 y= ,而此函数,在 x∈(-2,+∞)上为减函数, x?2 1 ? 2a 1 现要使 f(x)= a+ ,在 x∈(-2,+∞)上为增函数,则须满足(1-2a)<0,得 a> x?2 2 ax ? 1 1 即,函数 f ( x ) ? 在区间(-2,+∞)上为增函数,则 a 的取值范围是: a> x?2 2
现要使 f ( x) ?

8、解:因 2x-1-2=2x ?
x

1 1 1 是增函数,当 x≤2 时 0<2x≤4,0<2x ? ≤2 -2<2x-1-2≤0,而 21-x-2=2· ( ) 2 2 2

-2

1 x 1 1 1 1 3 ) < ,0<2· ( )x< ,-2<( )x-2<- 故原函数值域为{x|-2< 2 4 2 2 2 2 1 3 2x-1-2≤0}∪{x|-2<( )x-2<- }=(-2,0] 2 2
是减函数,当 x>2 时 0<( 9、解:125=53=52
·2-1

f (125) ? f(52·2-1)=2-2=0

10、解:由题意知,方程 k=x2+2x+3 无实数解,即方程 x2+2x+3-k=0 无实数解,△<0,得 k<2

( 0 11、解:由偶函数 f (x) 在 - ?,)上是减函数,知 f (x) 在(0,+ ? )上是增函数, (1)当 lgx<0
即 0<x<1 时,若 f (-1) ? f (lg x) ,则-1>lgx 解得 x<

1 1 ,故 0<x< ; (2)当 lgx>0 即 x>1 10 10

时,若若 f (-1) ? f (lg x) 由 f (x) 是偶函数 f(-1)=f(1),则 f(-1)=f(1) <f(lgx)即 1<lgx 解得 x>10,综 上所述故实数 x 的取值范围是{x|0<x<
2

1 或 x>10} 10
2

12、解:由 | x ? 4 x ? 3 | ?a ? 0 得|x2-4x+3|=a,关于 x 的方程 | x ? 4 x ? 3 | ?a ? 0 有三个不相等的 实数根,即函数 y= |x2-4x+3|与 y= a 的图像有三个不同交点,由图知 a =1

13、解:∵x>0 ∴ 0<(

1 x ) <1 2

∴0<

1 1 ? lg a

<1 ∴ 1 ? lg a

?1

∴ lga<0∴ 0<a<1

14:令 t= log 1
4
2

4 x ,则 f(x)=t2-t+5∵ x ? ?2,? ,
1 2 19 )+ 2 4
当 t≤

∴-1≤ log 1
4

x ≤-

1 1 即-1≤t≤- , 2 2

∴f(x)=t -t+5=( t-

1 1 2 19 时,y=( t- ) + 是减函数,∴当 t=-1 时即 x=4 时, f (x) 有最大值 2,当 2 2 4

t=-

23 1 时, f (x ) 有最小值 2 4

15、由对应法则,1 对应 4,2 对应 7,3 对应 10, m 对应 3m ? 1 .

? m ? N * , a ? N * ,? a 4 ? 10, a 2 ? 3a ? 10, a ? 2 ( a ? ?5 舍去)
又 3m ? 1 ? 2 4 , ? m ? 5, 故 A ? ? ,2,3,5?, B ? ?4,7,10,16? 1 . 16、设 f (x) 在 [?2,2] 上的最小值为 g (a ) ,则满足 g (a) ? a 的 a 的最小值即为所求. 配方得 f ( x) ? ( x ?

a 2 a2 ) ?3? (| x |? 2) 2 4

a a2 a2 ? a 解得 ? 6 ? a ? 2, ? ?4 ? a ? 2 ; (1)当 ? 2 ? ? ? 2 时, g ( a ) ? 3 ? ,由 3 ? 2 4 4
(2)当 ?

a ? 2 时 g (a) ? f (2) ? 7 ? 2a, 由 7 ? 2a ? a 得 a ? ?7 ? ?7 ? a ? ?4 2 a 7 (3) 当 ? ? ?2 时, g (a) ? f (?2) ? 7 ? 2a, 由 7 ? 2a ? a 得 a ? ,这与 a ? 4 矛盾,此种情形不 2 3
综上讨论,得 ? 7 ? a ? 2
?1

存在. 17、 (1) f

?amin ? ?7

( x) ? log2 x ? 1 ,向左平移2个单位,向上平移1个单位,得到 y ? 1 ? log2 ( x ? 2) ? 1 ,

? y ? log2 ( x ? 2) ,即 g ( x) ? log2 ( x ? 2)(x ? ?2) .
(2) F ( x) ? log2 ( x ? 2) ? (log2 x ? 1) ? log2
2

x2 ? 2 2 5 ? 1 ? log2 2 x ? ? 1 ? x x 2

当且仅当 x ?

2 5 即 x ? 2 ( x ? 0) 时, F ( x ) min ? x 2

18、设每年降低的百分比为 x ( 0 ? x ? 1 ) (1)设经过 M 年剩余面积为原来的

1 1 2 T .则 a (1 ? x) ? a ? T lg(1 ? x) ? lg . 2 2 2

又 a(1 ? x)

M

?

2 2 T 1 T a ? M lg(1 ? x) ? lg .? ? log 2 ? 2 ? M ? 2 2 M 2 2 2
T 年. 2

? 到今年为止,已砍伐了

(2)设从今年开始,以后砍了 N 年,则再砍伐 N 年后剩余面积为

2 a(1 ? x) N . 2

由题意,有

2 1 2 1 a(1 ? x) N ? a, 即 (1 ? x) N ? 2 4 2 4
T

由(1)知 (1 ? x) ?
N

1 1 2 1 T 1 ? 1 ? x ? ( ) T .? ?( ) ? . 2 2 2 2 4
3

1

N

N 3 3 1 1 1 化为 ( ) T ? ? ( )2 ? ? ? N ? T T 2 2 2 2 2 2

故今后最多还能砍伐

3 T 年. 2


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