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2020中考数学试题分类汇编 知识点12 一元二次方程

.
一元二次方程

一、选择题

1. (2018 四川泸州,9 题,3 分)已知关于 x 的一元一次方程 x2 ? 2x ? k ?1 ? 0 有两个不相等的实数根,则实 数 k 的取值范围是( )

A. k ? 2

B. k ? 0

C. k ? 2

【答案】C 【解析】由题可知,△>0,即 (-2)2-4(k-1)>0,解得 k<2

【知识点】一元二次方程跟的判别式,解不等式

D. k ? 0

2. (2018 安徽省,7,4 分)若关于 x 的一元二次方程 x(x+1)+ax=0 有两个相等的实数根,则实数 a 的值为( )

A. ?1

B.1

C. ?2或2

D. ?3或1

【答案】A

【解析】将原方程变形为一般式,根据根的判别式△=0 即可得出关于 a 的一元二次方程,解之即可得出结论.

解:原方程可变形为 x 2 +(a+1)x=0.

∵该方程有两个相等的实数根,

∴△=(a+1) 2 ﹣4×1×0=0,

解得:a=﹣1. 故选:A. 【知识点】利用根的判别式确定二次方程解的情况

.

3. (2018 甘肃白银,7,3) 关于 x 的一元二次方程 x2 ? 4x ? k ? 0 有两个实数根,则 k 的取值范围是( )

A. k ? ?4
【答案】C

B. k< ? 4

C. k ? 4

D. k<4

【解析】:∵方程有两个实数根,∴ ?=b2 ? 4ac ? 42 ? 4 ?1? k ? 0 ,解得: k ? 4 。
故选 C

【知识点】一元二次方程根的判别式。一元二次方程有两个不相等的实数根,则 b2 ? 4ac ? 0 ,一元二次方程有 两个相等的实数根,则 b2 ? 4ac=0 ,一元二次方程没实数根,则 b2 ? 4ac<0 。这里题干中说有两个实数根,则
根的判别式应是大于或等于 0.这是不少同学易错之处。

4. (2018 湖南岳阳,11,4 分)关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2x ? k ? 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范

围是



【答案】k<1.

【解析】解:∵一元二次方程 x2 ? 2x ? k ? 0 有两个不相等的实数根, ∴△=22-4k>0,解得 k<1. 故答案为 k<1..
【知识点】一元二次方程根的判别式的应用

5. (2018 山东潍坊,11,3 分)已知关于 x 的一元二次方程 mx2 ? (m ? 2)x ? m ? 0 有两个不相等的实数根 x1, 4
x2.若 1 ? 1 ? 4m, 则 m 的值是( ) x1 x2

A.2

B.-1

C.2 或-1

D.不存在

【答案】A

【思路分析】根据方程有两个不相等的实数根可知△>0,从而求出 m 的取值范围,结合一元二次方程根与系数

.

的关系代入 1 ? 1 ? 4m, 求出 m 的值,再根据取值范围进行取舍即可. x1 x2

【解题过程】解:由题意得: ? ? [?(m ? 2)]2 ? 4 ? m ? m ? 4m ? 4 ? 0 , 4
解得:m>-1.

m?2

1 ? 1 ? x1 ? x2 ? m ? 4m .

x1 x2 x1x2

1

4

解得:m1=2,m2=-1(舍去)

所以 m 的值为 2,故选择 A.

【知识点】一元二次方程根的判别式,根与系数的关系

6.(2018 江苏泰州,5,3 分)已知 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x2 ? ax ? 2 ? 0 的两根,下列结论一定正确的是( )

A. x1 ? x2

B. x1 ? x2 ? 0

C. x1 ? x2 ? 0

D. x1 ? 0 , x2 ? 0

【答案】A

【解析】∵△= a2 ?8 ? 0 ,∴无论 a 为何值,方程总有两个不相等的实数根,根据“根与系数的关系”得 x1 x2 ? ?2 ,∴ x1、x2 异号,故选 A.
【知识点】根的判别式,根与系数的关系

7. (2018 江苏省盐城市,8,3 分)已知一元二次方程 x2+kx-3=0 有一根为 1,则 k 的值为(

).

A.-2 B.2 C.-4 D.4

【答案】B

【解析】把 x=1 代入一元二次方程,得 12+k-3=0,解得 k=2.故选 B.

【知识点】一元二次方程的根

8. (2018 山东临沂,4,3 分)一元二次方程 y2 ? y ? 3 ? 0 配方后可化为( ) 4

.

A.

? ??

y

?

1 2

2
? ??

?1

B.

? ??

y

?

1 2

2
? ??

?1

C.

? ??

y

?

1 2

2
? ??

?

3 4

D.

? ??

y

?

1 2

2
? ??

?

3 4

【答案】B

【解析】由 y2-y- 3 =0 得 y2-y= 3 ,配方得 y2-y+ 1 = 3 + 1 ,∴(y- 1 )2=1,故选 B.

4

4

44 4

2

【知识点】一元二次方程的解法 配方法

9.(2018 四川省宜宾市,4,3 分)一元二次方程 x2 –2x=0 的两根分别为 x1 和 x2 , 则为 x1 x2 为(



A.-2 B.1 C.2 D.0

【答案】D

【解析】根据根于系数的关系可知 x1+x2= c =0,故选择 D. a
【知识点】一元二次方程根于系数的关系

1. (2018 山东菏泽,5,3 分)关于 x 的一元二次方程 (k ?1)x2 ? 2x ?1 ? 0 有两个实数根,则 k 的取值范围是( )

A. k ? 0

B. k ? 0

C. k ? 0 且 k ? ?1 D. k ? 0 且 k ? ?1

【答案】D 【解析】△=b2-4ac=(-2)2-4(k+1)≥0,解得 k≤0,又∵k+1≠0,即 k≠-1,∴k≤0 且 k≠-1.故选 D.

【知识点】一元二次方程根的判别式

2. (2018 贵州遵义,9 题,3 分)已知 x1,x2 是关于 x 的方程 x2+bx-3=0 的两根,且满足 x1+x2-3x1x2=5,那么 b 的值为 A.4 B.-4 C.3 D.-3 【答案】A 【解析】由一元二次方程根与系数的关系可知,x1+x2=-b,x1x2=-3,又因为 x1+x2-3x1x2=5,代入可得-b-3×(-3)=5, 解得 b=4,故选 A 【知识点】一元二次方程根与系数的关系

.

3. (2018 江苏淮安,7,3) 若关于 x 的一元二次方程 x2-2x-k+1=0 有两个相等的实数根,则 k 的值是

A.-1

B.0

C.1

D.2

【答案】B

【解析】分析: 本题考查一元二次方程根的判别式,由一元二次方程有两个相等的实数根,可得判别式为零, 进而可得 k 的值.

解:由一元二次方程 x2-2x-k+1=0 有两个相等的实数根

所以根的判别式 ? ? 4 ? 4(?k ?1) ? 0 ,解得:k=0

故选:B. 【知识点】一元二次方程;一元二次方程根的判别式

( ) ( ) 4. (2018 福建 A 卷,10,4)已知关于 x 的一元二次方程 a +1 x2 +2bx + a +1 = 0 有两个相等的实数根,下

列判断正确的是 (

)

A.1 一定不是关于 x 的方程 x2 +bx +a = 0 的根

B.0 一定不是关于 x 的方程 x2 +bx +a = 0 的根

C.1 和-1 都是关于 x 的方程 x2 +bx +a = 0 的根

D. 1 和-1 不都是关于 x 的方程 x2 +bx +a = 0 的根
【答案】D 【解析】根据一元二次方程有两个相等的,方程根的判别式等于零,从而建立关于 a 、 b 的等式,再逐一判断
( ) ( ) x2 +bx +a = 0 根的情况即可. 解:由关于 x 的方程 a +1 x2 +2bx + a +1 = 0 有两个相等的实数根,所以△=0, ( ) 所以 4b2 - 4 a +1 2 = 0, (b +a +1) (b - a - 1) = 0 ,解得 a - b +1= 0 或 a +b +1= 0 ,∴1 是关于 x 的方程
x2 +bx + a =0 的根,或-1 是关于 x 的方程 x2 +bx +a = 0 的根;另一方面若 1 和-1 都是关于 x 的方程

.

x2

+bx

+a

=

0

的根,则必有

ì?í ??

a a

+b -b

= =

-

1
,解得
1

ì? í ??

a b

= =

-1
,此时有
0

a

+1

=

0

,这与已知 (

a

+1)

x2

+2bx

+(a

+1)

=

0

是关于 x 的一元二次方程相矛盾,所以 1 和-1 不都是关于 x 的方程 x2 +bx +a = 0 的根,故选 D.

【知识点】一元二次方程;根的判别式

( ) ( ) 5. (2018 福建 B 卷,10,4)已知关于 x 的一元二次方程 a +1 x2 +2bx + a +1 = 0 有两个相等的实数根,下

列判断正确的是 (

)

A.1 一定不是关于 x 的方程 x2 +bx +a = 0 的根

B.0 一定不是关于 x 的方程 x2 +bx +a = 0 的根

C.1 和-1 都是关于 x 的方程 x2 +bx +a = 0 的根

D. 1 和-1 不都是关于 x 的方程 x2 +bx +a = 0 的根

【答案】D

【解析】根据一元二次方程有两个相等的,方程根的判别式等于零,从而建立关于 a 、 b 的等式,再逐一判断
( ) ( ) x2 +bx +a = 0 根的情况即可. 解:由关于 x 的方程 a +1 x2 +2bx + a +1 = 0 有两个相等的实数根,所以△=0,

( ) 所以 4b2 - 4 a +1 2 = 0, (b +a +1) (b - a - 1) = 0 ,解得 a - b +1= 0 或 a +b +1= 0 ,∴1 是关于 x 的方程

x2 +bx + a =0 的根,或-1 是关于 x 的方程 x2 +bx +a = 0 的根;另一方面若 1 和-1 都是关于 x 的方程

x2

+

bx+

a

=0

的根,则必有

ì?í ??

a a

+b -b

= =

-

1
,解得
1

ì?í ??

a b

= =

-1
,此时有
0

a

+1

=

0

,这与已知 (

a

+1)

x2

+2bx

+(a

+1)

=

0

是关于 x 的一元二次方程相矛盾,所以 1 和-1 不都是关于 x 的方程 x2 +bx +a = 0 的根,故选 D.

【知识点】一元二次方程;根的判别式

6.(2018 河南,7,3 分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是

(A) x2 ? 6x ? 9 ? 0 (B) x2 ? x

(C) x2 ? 3 ? 2x (D) (x ?1)2 ?1 ? 0

.
【答案】B
【解析】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式 Δ =b2-4ac;当 Δ >0 时,方程有两个不相等的实数根. 选项 A:Δ =b2-4ac=62-4×1×9=0;选项 B:先将原方程转化为一般式:x2-x=0,则 Δ =b2-4ac=(-1) 2-4×1×0=1>0;选项 C:将原方程转化为一般式:x2-2x+3=0,则 Δ =b2-4ac=(-2)2-4×1×3= -8 < 0; 选项 D:将原方程转化为一般式:x2-2x+2=0,则 Δ =b2-4ac=(-2)2-4×1×2= -4 < 0.故选项 B 正确.
【知识点】一元二次方程根的判别式

7. (2018 四川凉山州,7,4 分)若 n(n ≠ 0)是关于 x 的方程 x2 ? mx ? 2n ? 0 的一个根,则 m+n 的值是(



A.1

B.2

【答案】D

C.-1

D.-2

【解析】∵n(n ≠ 0)是关于 x 的方程 x2 ? mx ? 2n ? 0 的一个根,∴ n2 ? mn ? 2n ? 0 ,∴ n(m ? n ? 2) ? 0 ,

∵n ≠ 0,∴ m ? n ? 2 ? 0 ,∴ m ? n ? ?2. 故选择 D. 【知识点】方程的根,因式分解.

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

.
19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 二、填空题

1.(2018

四川泸州,题,3

分)

已知

x1 , x2 是一元二次方程 x2

? 2x ?1?

0 的两实数根,则

1? 2x1 ?1

1的 2x2 ?1

值是

.

.

【答案】6 【解析】由韦达定理可得 x1+x2=2,x1x2=-1,

原式 ? 2x1 ?1? 2x2 ?1 ? 2(x1 ? x2 ) ? 2 ?

2?2 ? 2

?6

(2x1 ?1)(2x2 ?1) 4x1x2 ? 2(x1 ? x2 ) ?1 4? (?1) ? 2? 2 ?1

【知识点】韦达定理,分式加减

2.(2018

山东滨州,17,5

分)若关于

x,y

的二元二次方程组

?3x ??2x

? ?

my ny

? ?

5 6

的解是

?x

? ?

y

? ?

1 2

,则关于

a,b

的二元

一次方程组

?3(a ??2(a

? ?

b) b)

? ?

m(a n(a

? b) ? b)

? ?

5, 6

的解是___________.

【答案】

???a ? ??? b

? ?

3 2
?

1 2

【解析】根据题意,对比两个方程组得出方程组

?a ??a

? ?

b b

? ?

1 2

,所以

???a ? ???b

? ?

3 2
?

1 2



【知识点】整体思想,二元一次方程组加减消元法

3. (2018 四川内江,15,5)关于 x 的一元二次方程 x2+4x-k=0 有实数根,则 k 的取值范围是



【答案】k≥-4

【解析】解:∵关于 x 的一元二次方程 x2+4x-k=0 有实数根,∴△=b2-4ac=42-4×1×(-k)≥0,解得 k ≥-4.

【知识点】一元二次方程根的判别式

4. (2018 四川内江,22,6)已知关于 x 的方程 ax2 +bx+1=0 的两根为 x1 =1, x2 =2,则方程 a ? x ? 1?2 +b(x

.

+1)+1=0 的两根之和为



【答案】1

【思路分析】将方程 a ? x ? 1?2 +b(x+1)+1=0 中的(x+1)换元成 y,原方程化为 ay2+by+1=0,再由方程
ax2 +bx+1=0 的两根为 x1 =1, x2 =2,可知 ay2+by+1=0 的两根也分别为 1 和 2,将 y 换回(x+1)就可以求 出原方程的两个根,从而得出两根之和. 【解题过程】解:令(x+1)=y,则原方程变形为 ay2+by+1=0,∵方程 ax2+bx+1=0 的两根为 x1 =1,x2 =
2,∴ y1 =1, y2 =2,即 x+1=1,x+1=2,∴ x1 =0, x2 =1,∴ x1 + x2 =1. 【知识点】一元二次方程根与系数关系

5. (2018 四川绵阳,17,3 分) 已知 a>b>0,且 2 ? 1 ? 3 ? 0 ,则 b =

a b b?a

a

【答案】 -1? 3 2
【解析】解:由题意得:2b(b-a)+a(b-a)+3ab=0, 整理得:2( b )2+ 2b -1=0,
aa

解答 b = -1? 3 , a2
∵a>b>0,

∴ b = -1? 3 a2

故答案为 -1? 3 2
【知识点】分式的加减法,解一元二次方程

.

6.(2018 山东聊城,13,3 分)已知关于 x 的方程 (k ?1)x2 ? 2kx ? k ? 3 ? 0 有两个相等的实根,则 k 的值



.

【答案】 3 4

【解析】∵关于 x 的方程 (k ?1)x2 ? 2kx ? k ? 3 ? 0 有两个相等的实根,



?(?2k ?

)2

?

4(k

?1)(k

?

3)=0



?k ?1 ? 0

解得 k ? 3 . 4
【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程根与系数的关系、一元一次方程的解法

7. (2018 四川省南充市,第 14 题,3 分)若 2n(n ? 0) 是关于 x 的方程 x2 ? 2mx ? 2n ? 0 的根,则 m ? n 的值





【答案】 1 2

【解析】解:∵若 2n?n ? 0?是关于 x 的方程 x2 ? 2mx ? 2n ? 0 的根,∴ ?2n?2 ? 2m ? 2n ? 2n ? 0 ,原方程整 理得:4n2 ? 4mn ? 2n ? 0 ,∴ 2n?2n ? 2m ?1? ? 0 ,∵n ? 0,∴ 2n ? 2m ?1 ? 0即 2n ? 2m ? ?1,∴ m ? n ? 1 .
2 故答案为: 1 .
2
【知识点】一元二次方程的概念;因式分解

8. (2018 湖南长沙,17 题,3 分)已知关于 x 的方程 x2-3x+a=0 有一个根为 1,则方程的另一个根为______。 【答案】2
【解析】该方程中,a=1,b=-3,设两根为 x1,x2,其中 x1=1,由一元二次方程根与系数的关系可知,x1+x2= ? b =3,x1=1, a
所以 x2=2 【知识点】一元二次方程根与系数的关系

.
9.(2018 山东威海,14,3 分)关于 x 的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0 有实根,则 m 的最大整数解是______. 【答案】m=4 【解析】因为关于 x 的二元一次方程有实数根,所以△=22-4(m-5)·2=4-8(m-5)≥0,且 m-5≠0,解得 m ≤5.5 且 m≠5,这样的最大整数解为 4. 【知识点】一元二次方程根的判别式、一元一次不等式的特殊解

10. (2018 山东烟台,17,3 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2-4x+m-1=0 的实数根 x1,x2 ,满足

3x1x2 ? x1 ? x2 ? 2 ,则 m 的取值范围是

.

【答案】3<m≤5

【解析】∵ x1,x2 是 x2-4x+m-1=0 的两根,∴ x1+x2 ? 4, x1 ? x2 ? m ?1 ,又∵ 3x1x2 ? x1 ? x2 ? 2 ,∴ 3(m ?1) ? 4 ? 2 ,∴ m ?1 ? 2, ∴ m ? 3 .又∵△=b2-4ac=(-4)2-4(m-1)≥0,∴m≤5,∴3<m≤5.

【知识点】一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理);一元二次方程根的判别式.1. (2018 湖南郴州,13,

3)已知关于 x 的一元二次方程 x2 ? kx ? 6 ? 0 有一个根为-3,则方程的另一个根为

.

【答案】2
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系可知两根之积为-6,根据一个根是-3,即可求出方程的另一根.设 方程的另一根为 x2,则-3x2=-6,解得:x2=2.
【知识点】一元二次方程根与系数的关系

2. (2018 湖南益阳,17,4 分)规定 a ?b ? (a ? b)b ,如:2 ? 3 ? (2 ? 3)?3 ? 15 ,若 2 ? x ? 3 ,则 x=



【答案】-3 或 1
【思路分析】根据规定的运算顺序,把 2 ? x ? 3 化为熟悉的一元二次方程,然后再解方程即可.

【解析】解:∵ 2 ? x ? 3,∴ (2 ? x)x ? 3 , x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,解得:x1=-3,x2=1.

.
【知识点】新定义型,一元二次方程

3. (2018 甘肃天水,T15,F4)关于 x 的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0 的一个根为 0,则 k 的值是____. 【答案】0. 【解析】∵关于 x 的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0 的一个根为 0, ∴k2-k=0,且 k-1≠0, 解得 k=1 或 k=0,且 k≠1, 则 k=0. 【知识点】一元二次方程的根及定义

4. (2018 江苏淮安,10,3)—元二次方程 x2-x=0 的根是

.

【答案】x1=0,x2=1

【解析】分析:本题考查解一元二次方程,根据本题的特点,运用因式分解法较为简洁.

解:x2-x=0

x(x-1)=0.

∴x=0 或 x=1

故答案为 x1=0,x2=1

【知识点】解一元二次方程---因式分解法

5. (2018 江西,11,3 分)一元二次方程 x2-4x+2=0 的两根为 x1,x2 则 x21-4x1+2x1x2 的值为________. 【答案】2
【解析】∵x2-4x+2=0 的两根为 x1,x2,∴x21-4x1+2=0,即 x21-4x1=-2,x1x2=2, ∴x21-4x1+2x1x2=-2+2×2=2 【知识点】一元二次方程的根,一元二次方程根与系数的关系

.

6. ( 2018 山 东 德 州 , 14 , 4 分 ) 若 x1、x2 是 一 元 二 次 方 程 x2 ? x ? 2 ? 0 的 两 个 实 数 根 , 则

x1 ? x2 ? x1x2 =



【答案】-3

【解析】因为 x1 ? x2 ? ?1 , x1x2 ? ?2 ,所以 x1 ? x2 ? x1x2 =-3.
【知识点】一元二次方程根与系数的关系

7. (2018 湖北荆州,T16,F3)关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2kx+k 2 -k=0 的两个实数根分别是 x1 、 x2 ,且

x12 +x22=4 ,则 x12 ? x1x2 ? x22 的值是



【答案】 6 ? 2k 2
【思路分析】①利用根与系数的关系,表示出两根之和,两根之积.②利用完全平方公式求出两根之积.③代入到 要求的式子中.
【解析】由根与系数的关系可知:x1+x2=2k, x1x2=k2-k, ∴ (x1 ? x2 )2 ? (2k)2 ,



x

2 1

?

x22

? 2x1 x2

?

4k 2 ,把 x12 +x22=4 代入得,x1x2= 2k 2

? 2 ,∴ x12

? x1x2

? x22 = 6 ? 2k 2 .

【知识点】根与系数的关系、完全平方公式、

8. (2018 湖南张家界,13,3 分)关于 x 的一元二次方程 x2 ? kx?1 ? 0 有两个相等的实数根,则 k ?

.

【答案】 ? 2

【解析】解:∵关于 x 的一元二次方程 x2 ? kx?1 ? 0 有两个相等的实数根,

∴△=b2 ? 4ac ? (?k)2 ? 4 ? 0 . 解得 k= ? 2 .
【知识点】根的判别式

.

? ? 9.(2018 湖北荆门,14,3 分)已知 x ? 2 是关于 x 的一元二次方程 kx2 ? k2 ? 2 x ? 2k ? 4 ? 0 的一个根,则 k

的值为



【答案】-3.

? ? 【解析】解:∵ x ? 2 是关于 x 的一元二次方程 kx2 ? k2 ? 2 x ? 2k ? 4 ? 0 的一个根,

∴4k+2(k2-2)+2k+4=0, ∴2k2+6k=0, ∴k=-3. 故答案为-3. 【知识点】一元二次方程的解,解一元二次方程

10. (2018 浙江省台州市,12,5 分)

已知关于 x 的一元二次方程 x2 ? 3x ? m ? 0 有两个相等的实数根,则 m ?



【答案】 9 4

【解析】因为关于 x 的一元二次方程 x2 ? 3x ? m ? 0 有两个相等的实数根,所以

? ? b2 ? 4ac ? 32 ? 4?1? m ? 9 ? 4m ? 0 ,解得 m ? 9 4
【知识点】一元二次方程根的判别式

三、解答题
1. (2018 四川省成都市,16,6)若关于 x 的一元二次方程: x2 -(2a+1)x+ a2 =0 有两个不相等的实数根, 求 a 的取值范围. 【思路分析】利用根的判别式△= b2 ? 4ac ,当△>0 时方程有两个不相等的实数根,代入得到关于 a 的不等式, 解这个不等式便可求出 a 的取值范围.

.
【解题过程】解:由题意可知,△= ????2a ?1???2 -4×1× a2 = ?2a ? 1?2 -4 a2 =4a+1.
∵方程有两个不相等的实数根,∴△>0,即 4a+1>0,解得 a>- 1 . 4
【知识点】一元二次方程;根的判别式;

2. (2018 浙江绍兴,17②,4 分)(2)解方程: x2 ? 2x ?1 ? 0 . 【思路分析】直接利用一元二次方程的求根公式 x ? ? b ? b2 ? 4ac ,把 a 、 b 、 c 的值代入即可
2a 【解题过程】 x2 ? 2x ?1 ? 0 a ?1, b ? ?2 , c ? ?1 b2 ? 4ac ? 4 ? 4 ? 8 >0
? b ? b2 ? 4ac x?
2a ∴x? 2?2 2 ,
2 ∴ x1 ?1? 2 , x2 ?1? 2 .

【知识点】一元二次方程的解法-公式法。

1. (2018 内蒙古呼和浩特,23,10 分)已知关于 x 的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )有两个实数根 x1 、

x2 ,请你用配方法探索有实数根的条件,并推到求根公式,证明 x1 ? x2 ?

c。 a

【思路分析】解一元二次方程通常有四种方法,即直接开平方法,配方法,求根公式法和因式分解法,只要方程 有实数根,配方法和求根公式法都是万能的,但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦, 直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程,解起来简捷轻松. 证明方程一定有两个不相等的实数根等方程

.
根的情况。解决这三类问题,有一个通法,就是先算出判别式,然后根据题中的条件分别得出结论或者变形推理

【解析】解:∵ a ? 0 ,把方程两边同时除以 a,

得: x2 ? b x ? ? c , aa

配方,得: (x ?

b )2 2a

?

b2 ? 4ac 4a2



∵ a ? 0 ,∴ 4a2 ? 0 ,

当 b2 ? 4ac ? 0 时,方程有两个实数根, x1 ? ?b ?

b2 2a

? 4ac



x2

?

?b ?

b2 ? 4ac . 2a

∴ x1 ? x2 ? ?b ?

b2 ? 4ac ? ?b ? 2a

b2 ? 4ac 2a

= (?b)2

? ( b2 4a2

? 4ac )2

?

b2

? b2 ? 4ac 4a2

?

c a

.

【知识点】配方法解一元二次方程

2.(2018 四川遂宁,19,8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2-2x+a=0 的两个实数根 x1 ,x2 满足 x1x2 ? x1 ? x2>0 ,
求 a 的取值范围. 【思路分析】首先根据一元二次方程有两个实数根,可得出△=b2-4ac≥0,进而得出 a 的范围,然后根据根与系
数的关系以及 x1x2 ? x1 ? x2>0 可得出 a 的范围,进而得出答案.
【解析】 解:∵该一元二次方程有两个实数根, ∴△=b2-4ac≥0, ∴(-2)2-4×1×a≥0, ∴4-4a≥0, ∴a≤1.
又由根与系数的关系可得: x1x2 =a, x1 ? x2 =2,
且 x1x2 ? x1 ? x2>0 ,

.
∴a+2>0, ∴a>-2, ∴-2<a≤1. 【知识点】一元二次方程根的判别式,一元二次方程跟与系数的关系,解一元一次不等式
3. (2018·北京,20,5)关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0. (1)当 b=a+2 时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的 a,b 的值,并求此时方程的根.
【思路分析】(1)先算出该方程的根的判别式△的值,再将 b=a+2 代入并判断判别式的符号,最后根据一元二 次方程的根的判别式定理,就能判断该方程的根的情况了;(2)本题答案不唯一,只要取一组 a,b 的值,使方 程的根的判别式的值为 0 即可,然后再解此方程即可. 【解题过程】解:(1)∵b=a+2,
∴△=b2-4×a×1=(a+2)2-4a=a2+4>0. ∴原方程有两个不相等的实数根. (2)答案不唯一,如当 a=1,b=2 时,原方程为 x2+2x+1=0,解得 x1=x2=-1. 【知识点】一元二次方程的解法;一元二次方程根的判别式
4. (2018 广西玉林,21 题,6 分)已知关于 x 的一元二次方程:x2-2x-k-2=0 有两个不相等的实数根 (1)求 k 的取值范围; (2)给 k 取一个负整数值,解这个方程。 【思路分析】(1)因为原方程有两个不相等的实数根,所以△>0,解得 k>-3;(2)取 k=-2,得到一元二次方程, 解方程即可。 【解题过程】(1)因为原方程有两个不相等的实数根,所以△>0,即 4+4(k+2)>0,得 k>-3;(2)取 k=-2,原方 程化为 x2-2x=0,x(x-2)=0,所以 x1=0,x2=2 【知识点】根的判别式,一元二次方程


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