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高中数学必修2综合测试题


高中数学必修 2 综合测试题
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

卷I
(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 2 道小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为 ( )

?

?

图(1)

A


B


C

D

2、直线 l : 3 x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角 ? 为

A 、 30? ;

B 、 60? ;


C 、 120? ;

D 、 150? 。

3、边长为 a 正四面体的表面积是 (

A、

3 3 a ; 4

B、

3 3 a ; 12

C、

3 2 a ; 4
( )

D 、 3a 2 。

4、对于直线 l : 3 x ? y ? 6 ? 0 的截距,下列说法正确的是

A 、在 y 轴上的截距是 6;
C 、在 x 轴上的截距是 3;

B 、在 x 轴上的截距是 6; D 、在 y 轴上的截距是 ?3 。
( )

5、已知 a//? , b ? ? ,则直线 a 与直线 b 的位置关系是

A 、平行;

B 、相交或异面;

C 、异面;

D 、平行或异面。


6、 已知两条直线 l1 : x ? 2ay ? 1 ? 0, l2 : x ? 4 y ? 0 , 且 l1//l2 , 则满足条件 a 的值为 (

A、?

1 ; 2

1 B、 ; 2

C 、 ?2 ;

D、2。

E , F , G, H 分别是 AB, BC , CD, DA 的中点。 7、 在空间四边形 ABCD 中, 若 AC ? BD ? a ,
且 AC 与 BD 所成的角为 60 ,则四边形 EFGH 的面积为
?





第 1 页 共 10 页

A、

3 2 a ; 8
2 2

B、

3 2 a ; 4

C、

3 2 a ; 2
( )

D 、 3a 2 。

8、已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 6 y ? 0 ,则圆心 P 及半径 r 分别为

A 、圆心 P ?1,3? ,半径 r ? 10 ;
C 、圆心 P ?1, ?3? ,半径 r ? 10 ;
9、下列叙述中错误的是 ( )

B 、圆心 P ?1,3? ,半径 r ? 10 ; D 、圆心 P ?1, ?3? ,半径 r ? 10 。

A 、若 P ? ? ? ? 且 ? ? ? ? l ,则 P ? l ; B 、三点 A, B, C 确定一个平面;
C 、若直线 a ? b ? A ,则直线 a 与 b 能够确定一个平面;

D 、若 A ? l , B ? l 且 A ? ? , B ? ? ,则 l ? ? 。
10、两条不平行的直线,其平行投影不可能是 ( )

A 、两条平行直线;
C 、两条相交直线;

B 、一点和一条直线; D 、两个点。

11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3、4、5,且它的 8 个顶点都在同一个球面上, 则这个球的表面积是 ( )

A 、 25? ;

B 、 50? ;

C 、 125? ;

D 、都不对。

12、四面体 P ? ABC 中,若 PA ? PB ? PC ,则点 P 在平面 ABC 内的射影点 O 是 ? ABC 的 ( )

A 、外心;

B 、内心;

C 、垂心;

D 、重心。

高中数学必修 2 综合测试题
第 2 页 共 10 页

卷 II
(非选择题 共 90 分)

一、选择题(本大题共 2 道小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上)
13、圆柱的侧面展开图是边长分别为 2a, a 的矩形,则圆柱的体积为 ;

14、命题:一条直线与已知平面相交,则面内不过该交点的直线与已知直线为异面直线。 用符号表示为 15、点 M ?2,1? 直线 l : 3 x ? y ? 2 3 ? 0 的距离是 16、已知 a, b 为直线, ? , ? , ? 为平面,有下列三个命题: (1) a//? ? b//? ,则 a//b ; (2) a ? ? , b ? ? ,则 a//b ; (3) a//b, b ? ? ,则 a//? ; (4) a ? b, a ? ? ,则 b//? ; 其中正确命题是 。 ; ;

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、 (本小题满分 12 分)如下图(2),建造一个容积为 16m , 深 为 2m ,宽为 2m 的长方体无盖水 池,如果池底的造价为
3

2m

120元/m 2 ,池壁的造价为 80元/m 2 ,求水池的总造价。
2m
18、 (本小题满分 12 分)如下图(3),在四棱锥 P ? ABCD 中, 四边形 ABCD 是平行四边形, M , N 分别是 AB, PC 的中点,

图(2)

第 3 页 共 10 页

求证: MN//?平面PAD 。 P N D

C

A

M

B

图(3)
19、 (本小题满分 12 分)如下图(4) ,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, (1)画出二面角 A ? B1C ? C1 的平面角; (2)求证:面 BB1 DD1 ? 面 AB1C

D

C

A

B

D1

C1

A1
图(4)

B1

20、 (本小题满分 12 分)光线自点 M ?2,3? 射到点 N ?1, 0 ? 后被 x 轴反射,求该光线及反射 光线所在的直线方程。 (请用直线的一般方程表示解题结果) 21、 (本小题满分 12 分)已知三角形 ? ABC 的三个顶点是 A ?4, 0 ?, B ?6, 7 ?, C ?0,8 ? (1) 求 BC 边上的高所在直线的方程; (2) 求 BC 边上的中线所在直线的方程。

22、 (本小题满分 14 分)如下图(5) ,在三棱锥 A ? BCD 中,O, E 分别是 BD, BC 的中点,

第 4 页 共 10 页

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2 。
(1) 求证: AO ? 平面 BCD ; (2) 求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3) 求点 E 到平面 ACD 的距离。 A

D
O
B

E
图(5)

C

第 5 页 共 10 页

高中数学必修 2 综合测试题 (答案卷)
一、选择题(本大题共 2 道小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)

题号 答案

1 B

2 C

3 D

4 A

5 D

6 C

7 A

8 D

9 B

10 D

11 B

12 A

二、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上) 13、 15、

a3

?



a3 ; 2?

14、 a ? ? ? P, ?b ? ? ,且 P ? b ,则 a 与 b 互为异面直线; 16、 (2) 。

1 ; 2

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、 (本小题满分 12 分)如下图(2),建造一个容积为 16m ,深为 2m ,宽为 2m 的长方体无 盖水池,如果池底的造价为 120元/m ,池壁的造价为 80元/m ,求水池的总造价。 解:分别设长、宽、高为 am, bm, hm ;水池 的总造价为 y 元
2 2 3

2m

?V ? abh ? 16, h ? 2, b ? 2 ,
? a ? 4m —————————————3 分

2m

则有 S底 ? 4 ? 2 ? 8m ————————6 分
2

图(2)

S壁 ? 2 ? ?2 ? 4 ?? 2 ? 24m 2 —————9 分

y ? S底 ? 120 ? S壁 ? 80 ? 120 ? 8 ? 80 ? 24 ? 2880 (元)————————————12 分
18、 (本小题满分 12 分)如下图(3),在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是平行四边形,

M , N 分别是 AB, PC 的中点,求证: MN//?平面PAD 。
P 证明:如图,取 PD 中点为 E ,连接 AE , EN ———1 分 N C
第 6 页 共 10 页

E
D

? E , N 分别是 PD, PC 的中点

A

M

B

图(3)

? EN //

1 DC 2

———————————————4 分

? M 是 AB 的中点 ? AM // ? EN // AM
? AE//MN

1 DC 2

——————7 分 —9 分

? 四边形 AMNE 为平行四边形

———————————————11 分

又? AE ? 面APD

? MN ? 面APD

? MN//?平面PAD 。 ————————12 分

19、 (本小题满分 12 分)如下图(4) ,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

D

C

( 1 ) 画 出 二 面 角 A ? B1C ? C1 的 平 面 角 ; (2)求证:面 BB1 DD1 ? 面 AB1C

A

B E D1 C1

解: (1)如图,取 B1C 的中点 E ,连接 AE , EC1 。

? AC , AB1 , B1C 分别为正方形的对角线 ? AC ? AB1 ? B1C ? E 是 B1C 的中点

A1
图(4)


B1

? AE ? B1C

——————————————2

又? 在正方形 BB1C1C 中

? EC1 ? B1C ——————————————3 分 ? ?AEC1 为二面角 A ? B1C ? C1 的平面角。 —————————————————4 分
(2) 证明: ? D1 D ? 面ABCD , AC ? 面ABCD 又? 在正方形 ABCD 中

? D1 D ? AC

—————6 分

? AC ? BD

—————————————————8 分 ———————————————10 分 ——————————————12 分

? D1 D ? BD ? D
又? AC ? 面AB1C

? AC ? 面DD1 B1 B ? 面 BB1 DD1 ? 面 AB1C

20、 (本小题满分 12 分)光线自点 M ?2,3? 射到点 N ?1, 0 ? 后被 x 轴反射,求该光线及反射 光线所在的直线方程。 (请用直线的一般方程表示解题结果)

第 7 页 共 10 页

y

解: 如图, 设入射光线与反射光线分别为 l1 与 l2 ,

l2

l1 M ?2,3?

? M ? l1 , N ? l1
由 直 线 的 两 点 式 方 程 可 知 :

l1 : ?2
0

?1 N ?1, 0 ?
x

y ?0 3?0 ——3 分 ? x ?1 2 ?1
——————4 分

化简得:l1 : 3 x ? y ? 3 ? 0

其中 k1 ? 3 , 由光的反射原理可知: ?1 ? ?2

? k2 ? ? k1 ? ?3 ,又? N ? l2 —————8 分
由直线的点斜式方程可知:

l2 : y ? 0 ? ?3 ?x ? 1? —————————————————————————10 分
化简得: l2 : 3 x ? y ? 3 ? 0 ——————————————————————12 分

21、 (本小题满分 12 分)已知三角形 ? ABC 的三个顶点是 A ?4, 0 ?, B ?6, 7 ?, C ?0,8 ? (1) 求 BC 边上的高所在直线的方程; y (2) 求 BC 边上的中线所在直线的方程。 解: ( 1 )如图,作直线 AD ? BC ,垂足 为点 D 。

?0,8?C

E ?x0 , y0 ?D B ?6, 7 ?

k BC ?

7 ?8 1 ?? 6?0 6

—————2 分

? BC ? AD

? k AD ? ?

1 ?6 4分 k BC

由直线的点斜式方程可知直线 AD 的方程

0

A ?4, 0 ?

为: x

y ? 0 ? 6 ?x ? 4 ?
化简得:

y ? 6 x ? 24 ——6 分

(2)如图,取 BC 的中点 E ?x0 , y0 ? ,连接 AE 。

0?6 ? x0 ? ?3 ? ? ? 15 ? 2 由中点坐标公式得 ? ,即点 E ? 3, ? ? 2? ? y ? 8 ? 7 ? 15 0 ? ? 2 2
第 8 页 共 10 页

———————————9 分

15 ?0 y?0 2 由直线的两点式方程可知直线 AE 的方程为: ——————————11 分 ? x ? 4 3?0 5 化简得: y ? x ? 10 ——————————————————————————12 分 2
22、 (本小题满分 14 分)如下图(5) ,在三棱锥 A ? BCD 中,O, E 分别是 BD, BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2 。
(1) 求证: AO ? 平面 BCD ; (3) 求点 E 到平面 ACD 的距离。 A (1) 证明: 连接 OC (2) 求异面直线 AB 与 BC 所成角的余弦值;

? BO ? DO, AB ? AD

? AO ? BD

———————————1 分

D
O
B

? BO ? DO, BC ? CD
? CO ? BD
—————————————2

E
图(5)

C

分 在 ? AOC 中,由已知可得: AO ? 1, CO ? 而 AC ? 2,? AO ? CO ? AC
2 2 2

3,

??AOC ? 90? ,即 AO ? OC

———————4 分 ——————————————————5 分 ( 2 ) 解 : 取 AC 的 中 点 M , 连 接

? BD ? OC ? O ? AO ? 平面BCD

A

OM , ME , OE M D
O
由 E 为 BC 的中点知

ME//AB, OE//DC ? 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角。 ——————6 分
C 在 ?OME 中, EM ?

B

E
图(5)

1 2 , AB ? 2 2

OE ?

1 DC ? 1 2

? OM 是 Rt ? AOC 斜边 AC 上的中线 1 ? OM ? AC ? 1 ——————————————————————————8 分 2
第 9 页 共 10 页

? cos ?OEM ?

2 4

———————————————————————————10 分

(3)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h 。

?VE ? ACD ? VA?CDE

———————————————————————— ———12 分

1 1 ? h ? S? ACD ? ? AO ? S?CDE 3 3
在 ? ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ?

2

? S? ACD

? 2? 1 7 ? ? 2 ? 22 ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ?

2

而 AO ? 1, S?CDE ?

1 3 2 3 ? ?2 ? 2 4 2

?h ?

AO ? S?CDE 21 ? S? ACD 7 21 ————————————————————————14 分 7

? 点 E 到平面的距离为

第 10 页 共 10 页


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