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2017学年高中数学人教A版选修2-3课前导引:2.4正态分布 Word版含解析


2.4 正态分布 课前导引 问题导入 正态分布在实际生产、生活中有着广泛的应用,很多变量,如测量的误差、产品的尺过 等服从或近似服从正态分布,利用正态分布的有关性质可以对产品进行假设检验. 知识预览 1.正态分布密度曲线与正态分布 我们称 φu,δ(∞)= 1 2? ? ?e ? ( x ?v ) 2 2? 2 [x∈(-∞,+∞),其实实数μ 和δ (δ >0)为参数]的图象(如图) 为正态分布密度曲线,简称正态曲线. 一般地,如果对于任何实数 a<b,随机变量 X 满足 P(a<X≤b)= ?? a b u ,s (x)dx,则称 X 的分布 为正态分布.正态分布完全由参数 μ 和 δ 确定,因此正态分布常记作 N(u,δ2). 如果随机变量 X 服从正态分布, 则记为 X—N(μ,δ2) , 2 若 X—N(μ,δ ) ,则 X 的均值与方差分别为 EX=μ,DX=δ2 2.正态曲线的性质 (1)曲线在 x 轴上方,与 x 轴不相交. (2)曲线关于直线 x=μ 对称. (3)当 x=μ 时曲线处于最高点,当 x 向左、向右无限延伸时,曲线不断地降低,呈现出“中 间高、两边低”的钟形曲线. (4)当 x<μ 时,曲线上升;当 x>μ 时,曲线下降,并且当曲线向左、右两边无限延伸时, 以 x 轴为渐近线,向 x 轴无限靠近. (5)当 μ 一定时,曲线的形状由 δ 确定,δ 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散; δ 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. (6)当 δ 相同时,正态分布曲线的位置由均值 μ 所决定.设 x 是一个服从正态分布的随机变 量,则对任意的数 a>0 及 b,ax+b 仍旧是一个服从正态分布的随机变量. 3.正态分布与标准正态分布 (1)正态分布与标准正态分布 ①如果随机变量 X 的概率函数为 φ(x)= 1 2? e ? x2 2 (-∞<x<+∞),则称 X 服从标准正态分布, 即 X—N(0>1). ②正态分布的密度函数 若 X—N(0,1),则 X 的分布函数,通常用 φ(x)表示,且有 φ(x)=P(X≤∞). 对于一切 x≥0,φ(x)的值可在标准正态分布表中查到;对于 x<0 的 φ(x)值,可用 φ(x)=1-φ (-x)求出. 若 X—N(μ,δ2)则 X 的分布函数通常用 F(x)表示,且有 P(X≤∞)=F(x)=φ( x?? ? ) ③P(a<x≤b)的计算 若 X—N(0,1) ,则 P(a<X≤b)=φ(b)-φ(a),即通过查标准正态分布表中 x=a,x=b 时的 φ(x) 值,可计算概率 P(a<X≤b). (2)标准正态分布与一般正态分布的关系 ①若 X—N(μ,σ2),则 Y= X ?? ? —N(0,1). ②若 X—N(μ,σ2),则 P(a<X≤b)=F(b)-F(a)=Φ( 即通过查标准正态分布表中 x= b?? a?? ? ,x= b?? ? )-Φ( a?? ? ), ? 的 φ(x)值,可计算服从 N(μ,σ2)的随机 变量 X 取值在 a 与 b 之间的概率. 4.假设检验的基本思想与生产过程中质量控制图 (1)假设检验 假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步: ①提出统计假设,统计假设里的变量服从正态分成 N(μ,σ2). ②确定一次试验中的取值 a 是否落入范围(μ-3σ,μ+3σ). ③作出推断: 如果 a∈(μ-3σ,μ+3σ),接受统计假设. 如

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