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湖南省长沙市雅礼中学2012届高三数学第二次月考试题 理


湖南省雅礼中 2012 届高三年级第二次月考数学试题(理科)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三总部分,时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 S ? { y | y ? 2x }, T ? {x | y ? lg( x ? 1)}, 则S ? T = ( ) B. [0, ??) C. (1, ??) D. [1, ??)

A. (0, ??)

2.在正项等比数列 {an } , 若a2 ? a3 ? 2, a4 ? a5 ? 8, 则a5 ? a4 = 中 ( ) A.16 B.32 C.36 D.64

?y ? x ? 3.设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 2, 则z ? x ? 3 y 的最小值 ? x ? ?1 ?
( ) A.—2 4.给出下列命题: ① ?x ? R, x3 ? x ②若“ p ? q ”是真命题,则“ p ? q ”也是真命题; ③命题“ ?x ? R, x ? 2x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 ”
3 2 3 2

B.—4

C.—6

D.—8

④命题“若 am ? bm , 则a ? b ”的逆命题是真命题。
2 2

其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ( ) A. ? a
2

B. ? a

7 3

2

C.

11 2 ?a 3

D. 5? a

2

6 . 设 直 线

y?

k x ?k ) ( 0 与函数
2

? y| s i 象 恰 | 有 三 个 公 共 点 n 图 x

A( 1 x , 1 y ) , B 2 ( x
A. sin x3 ? 1 C. sin x3 ? x3 tan x3

, y ,其中 x( ? x2 ? x3),则有 ) 3 , 31 y, C
) B. sin x3 ? x3 cos x3 D. sin x3 ? k cos x3
用心 爱心 专心 -1-



7.3 名男生和 2 名女生站成一排照相,男生甲不站在两端,且女生不相邻的站法共有 ( ) A.60 B.48 C.30 D.24 8.已知过点 A(?1,0)的动直线l与圆C : x2 ? ( y ? 3)2 ? 4 相交于 P,Q 两点,M 是 PQ 的中点,

l 与直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 相交于点 N,则下面运算结果为定值的有
( )

??? ???? ? ① AP ? AQ
③ AC ? AN

???? ??? ? ? ② AM ? AC
④ AM ? AN

???? ????

???? ???? ?

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上。 9.若函数 f ( x) ? 为 。 的图象的相邻两条对称轴的距离是 ? , 则? 的值 2 sin( x ? ? )( ? 0) ? ?

10.过点 (2,

?
3

) 且平行于极轴的直线的极坐标方程为



11.如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC,已知 AD ? 2 3 , AC=6,圆 O 的半径为 3,则圆心 O 到 AC 的距离为 。 。

12.设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 4 |, 则函数f ( x) 的最小值为
2

13.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A,与抛物线 的准线的交点为 B,点 A 在抛物线的准线上的射影为 C,若 AF ? FB, BA ? BC ? 48 ,则 抛物线的方程为 。

??? ?

??? ??? ??? ? ? ?

14.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)a+b= ;

b ? 2t 是奇函数 2 x ?1 ? a

(2)若函数 g ( x) ? f ( 2x ? 1) ? f (k ? x) 有两个零点,则 k 的取值范围是

.

15. 定义函数 f ( x) ? [ x[ x]], 其中[x]表示不超过 x 的最大整数, 如: [1,5]=1。[—1,3]=—2,
* 当 x ? [0, n](n ? N ) 时,设函数 f ( x ) 的值域为 A,记集合 A 中的元素个数为 a,则:

(1)a3= (2)式子

;

an ? 90 的最小值为 n
用心 爱心


专心

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin x ? 3), b ? (cos x ? sin x ? ) ,函数 f ( x) ? a ? b .
2

1 2

(1)求 f ( x ) 单调递增区间; (2)将函数 f ( x ) 图象按向量 c=(m,0) ,得到函数 y ? g ( x) 的图象,且 g ( x) 为偶函数, 求正实数 m 的最小值.

17. (本小题满分 12 分) 一个多面体的直观图及三视图分别如图 1 和图 2 所示(其中正视图和侧视图均为矩 形,俯视图是直三角形) ,M、N 分别是 AE1,A1C1 的中点,MN⊥AB1。 (1)求实数 a 的值,并证明 MN//平面 BCC1B1; (2)求平面 AB1C1 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值。

18. (本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 抽对边的长分别为 a,b,c,且 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C. (1)求角 A 的大小; (2)若角 B ?

?
5

,BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求△ABC 的面积。

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-3-

19. (本小题满分 13 分) 某化工厂打算投入一条新的生产线生产某种化工产品,但需要经过环保部门审批同 意后方可投入生产,已知该生产线连续生产 n 个月的累积产量为

f ( n) ?

1 n(n ? 1)(2n ? 1) 吨,但如果月产量超过 96 吨,就会给周边环境造成污染,环 2

保部门将责令停产一段时间,再进入下一个生产周期。 (1)请你代表环保部门给该生产线拟定一个最长的生产周期 (2)按环保管理条例,该生产线每月需要缴纳 a 万元的环保费,已知这种化工产品每吨 的售价为 0.6 万元,第 n 个月的生产成本为 g(n)= n ?
2

8 5

2 n ? 1 万元,当环保费用 a 在 5

什么范围内时,该生产线在最长的生产周期内每月都有盈利?

20. (本小题满分 13 分) 如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与一等轴双曲线相交,M 是其中一个交点,并且 a 2 b?2

双曲线在左、右顶点分别是该椭圆的左、右焦点 F1、F2,双曲线的左、右焦点分别是椭圆 左、右顶点,△MF1F2 的周长为(4 2 ? 1 ) ,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A,B 和 C,D。 (1)求椭圆和双曲线的标准方程; (2)设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2,求证:k1·k2=1; (3)是否存在常数 ? ,使得|AB|+|CD|= ? |AB|·|CD|恒成立?若存在,求 ? 的值;若不 存在,请说明理由。

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x.

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-4-

(1)当 x>4 时,求证: f ( x ) ?

x

1 1 f (1 ? ) x

;

(2)若不等式

f ( x) 1 ? f (1 ? ) ? a对x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 1? x x

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-5-

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-6-

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