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高考数学 2.13定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用配套课件 理 新人教A版


第十三节 定积分的概念与微积分 基本定理、定积分的简单应用 三年8考 高考指数:★★★ 1.了解定积分的实际背景、基本思想,了解定积分的概念; 2.了解微积分基本定理的含义. 1.定积分的计算与利用定积分求平面图形的面积是高考的重点; 2.多以选择题、填空题的形式考查. 1.定积分的定义及具体意义 (1)定义:①分割:设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间, 每个小区间的长度为Δ x. ②近似代替:用区间[xi-1,xi]内任一点ξ i处的函数值f(ξ i) 代替f(x). n ③求和:Sn=? i ?1 n f ( ? i )? x f (? ) ? ? ___________. n i i ?1 b a n b?a ④取极限得定积分: ? f( x ) d x ? lim n? ? ? i ?1 b?a n f ( ? i ). (2)具体意义: 曲边图形面积:S=_______. ? f ( x )d x a b ? v ( t)d t ; 变速运动路程S=_______ t1 t2 变力做功W= ? b a F (r )d r. 【即时应用】 (1)思考:积分 ? b a f ( x )d x与 ? b a f ( t ) d t 是否相等? 提示:相等.定积分的大小仅与被积函数及积分区间有关,而与 积分变量无关. (2)设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上的平均值为 _______. 【解析】由定积分的含义可知f(x)在[a,b]上的平均值为 1 b?a ? b f ( x )dx . a 答案: 1 b ?a ? b f ( x )d x a (3)设连续函数f(x)>0,则当a<b时,定积分 ? _______(填“正”或“负”). 【解析】由定积分的几何意义可知 ? 答案:正 b b f ( x )d x a 的符号为 f ( x )d x a 的符号为正. 2.定积分的几何意义 f(x) f(x)≥0 b a ? 的几何意义 f (x ) dx 表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积 f(x)<0 f(x)在[a, b]上有正 有负 表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y= f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减 去位于x 轴下方的曲边梯形的面积 【即时应用】 (1)设f(x)是连续函数,且为奇函数,在对称区间[-a,a]上 的定积分 ? a ?a f ( x )d x =_______. (2)若y=f(x)与y=g(x)是[a,b]上的两条光滑曲线的方程,则 由这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面区域的面积为_____. 【解析】(1)由定积分的几何意义和奇函数的性质知 ? a ?a f ( x )d x ? 0; (2)利用定积分的几何意义可得,平面区域的面积应表示为 ? b a | f (x ) ? g(x ) | dx. 答案:(1)0 (2) ? b a | f (x ) ? g(x ) | dx 3.定积分的性质 性质1 性质2 ? ? a b a 1dx ? ____ b-a k ? f ( x )d x _________( 其中k为常数) a b

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