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最新衡水中学校内自用精品高三数学一轮复习: 第10章 第7节 离散型随机变量及其分布列

第七节 [考纲传真] 离散型随机变量及其分布列 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念, 了解 分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程, 并能进行简 单的应用. 1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量, 所有取值可以一一列出的随 机变量,称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,?,xi,?,xn, X 取每一个值 xi(i=1,2,?,n)的概率 P(X=xi)=pi,则下表称为离散型随机变量 X 的概率分布列. X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn (2)离散型随机变量的分布列的性质: ①pi≥0(i=1,2,?,n);②p1+p2+p3+?+pn=1. 3.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布:若随机变量 X 服从两点分布,其分布列为 X P 0 1-p 1 p ,其中 p=P(X=1)称为成功概率. (2)超几何分布:在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件 次品,则 P(X=k)= n-k Ck MCN-M ,k=0,1,2,?,m,其中 m=min{M,n},且 n≤N, Cn N M≤N,n,M,N∈N*,称随机变量 X 服从超几何分布. X 0 1 ? m 1 P n-0 C0 MCN-M Cn N n-1 C1 MCN-M Cn N ? n-m Cm MCN-M Cn N 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)离散型随机变量的分布列中,各个概率之和可以小于 1.( (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( (3)如果随机变量 X 的分布列由下表给出,则它服从两点分布.( X P 2 0.3 5 0.7 ) ) ) (4)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人,其中女演员的人数 X 服从超几 何分布.( [答案] ) (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子,所得点数之和为 X,那么 X=4 表示的 基本事件是( ) A.一颗是 3 点,一颗是 1 点 B.两颗都是 2 点 C.一颗是 3 点,一颗是 1 点或两颗都是 2 点 D.甲是 3 点,乙是 1 点或甲是 1 点,乙是 3 点或两颗都是 2 点 D [甲是 3 点,乙是 1 点与甲是 1 点,乙是 3 点是试验的两个不同结果,故 应选 D.] 3.设随机变量 X 的分布列如下: X P 则 p 等于( 1 A.6 1 C.4 ) 1 B.3 1 D.12 1 1 12 2 1 6 3 1 3 4 1 6 5 p 1 1 1 1 C [由分布列的性质,12+6+3+6+p=1. 2 3 1 ∴p=1-4=4.] 4.设随机变量 X 等可能取值 1,2,3,?,n,如果 P(X<4)=0.3,那么 n= ________. 10 1 [由于随机变量 X 等可能取 1,2,3,?,n,∴取到每个数的概率均为n, 3 ∴P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=n=0.3,∴n=10.] 5.从装有 3 个红球,2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 X 个红球, 则随机变量 X 的概率分布列为________. X P 0 0.1 1 0.6 2 0.3 [依题意,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2. 2 1 1 C2 C3 C2 则 P(X=0)=C2=0.1,P(X=1)= C2 =0.6, 5 5 2 C3 P(X=2)=C2=0.3. 5 故 X 的分布列为 X P 0 0.1 ] 1 0.6 2 0.3 离散型随机变量分布列的性质 设离散型随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m 求随机变量 η=|X-1|的分布列. 【导学号:01772411】 [解] 由分布列的性质,知 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3.4 分 列表 3 X |X-1| 0 1 1 0 2 1 3 2 4 3 ∴P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3, P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=2)=0.3,P(η=3)=0.3.10 分 因此 η=|X-1|的分布列为 η P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 12 分 [规律方法] 1.利用分布列中各概率之和为“1”可求参数的值,此时要注意检 验,以保证两个概率值均为非负数. 2.若 X 是随机变量,则 η=|X 一 1|仍然是随机变量,求它的分布列可先求 出相应随机变量的值, 再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率,进而写出分 布列. [变式训练 1] 随机变量 X 的分布列如下: X P -1 a 0 b 1 c 其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)=________. 2 3 ?2b=a+c, [由题意知? ?a+b+c=1, 1 2 所以 2b+b=1,则 b=3,因此 a+c=3. 2 所以 P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=3.] 离散型随机变量的分布列 (2015· 安徽高考)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过 检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或 者检测出 3 件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或 者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位:元),求 X 的分布列和均值(数学 期望). 4 [解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件

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