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福建省宁德一中、罗源一中、尚德中学2013届高三下学期第二次联考数学(文)试题 Word版含答案


2013 届高三下学期第二次联考数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题). 本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试 时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内 作答,超出答题区域书写的答案无效. 在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损. 考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:
样本数据 x1 , x2 , ? , xn 的标准差 锥体体积公式:

1? 2 2 2 x ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x ? ? ?? 1 ? n 其中 x 为样本平均数 s?
柱体体积公式

V ?

1 Sh 3

其中 S 为底面面积, h 为高

球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

4 S ? 4?R2 , V ? ?R3 3 其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷 (选择题
1.函数 y ? 2 ? x ? x 的定义域为 A. {x | x ? 2} B. {x | x ? 0}

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. C. {x | x ? 0或x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 2}

2.若复数 a ? bi ? i 5 (i ? 1) (其中 a, b ? R, i 是虚数单位),则 a ? b = A.-2 B.-1 C.0 D.2 3.某中学高三(1)班有学生 55 人,现按座位号的编号采用系统抽样的方法选取 5 名同学 参加一项活动,已知座位号为 5 号、16 号、27 号、49 号的同学均被选出,则被选出的 5 名同学中还有一名的座位号是 INPUT n A.36 B.37 C.38 D.39 S=0 10? 4.若角 的终边上有一点 P(a,-2),则实数 a 的值为 i=0 3 WHILE i<n 2 3 2 3 A. 2 3 B. ? 2 3 C. D. ? S=S+2^i+1 3 3 0 i=i+1 5.已知平面向量 a、b 均为单位向量,且 a 与 b 的夹角为 120 ,则 WEND |2a+b|= PRINT S A.3 B.7 C. 3 D. 7 END 6.某算法程序如图所示,执行该程序,若输入 4,则输出的 S 为 A.36 B.19 C.16 D.10 7.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与侧视图都是半径为 2 的圆,则这个几何体 的体积是 A. 8? B. 16? C.

8? 3

D.

16? 3

8.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 a,b,

c 成等比数列,A=600,则 A.

b sin B = c
C.

3 4

B.

3 2

2 2

D.

1 2

9.下列命题中,假命题的是 ... A. ?x0 ? R, sin x0 ? 3 cos x0 ? 2 C. ?x0 ? (0,??), lg x0 ? ?1 B. ?x ?[0,??), e x ? x ? 0 D. ?x ? (??,0), 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0

10.以双曲线 y 2 ? x 2 ? 2 的一个焦点为圆心,离心率为半径的圆的方程是 A. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 C. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 B. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 D. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4

11.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E、F 在 BC1 上,动点 P、Q 分别在 AD1、CD 上,若 EF ? A.与 x、y 都有关 C.与 x、y 都无关

1 , AP ? x, DQ ? y ,则四面体 P-EFQ 的体积 2
B.与 x 有关、与 y 无关 D.与 x 无关、与 y 有关
A1

D1 B1

C1

· E

12. 设函数 f (x) 的定义域为 D, 如果 ?x ? D, ?y ? D ,使

f ( x) ? f ( y ) ?C 2
A

·P

D

Q ·

·F C B

(C 为常数 )成立,则称函数 f (x) 在 D 上的均值为 C. 给出下列四个函

1 数:① y ? x 3 ;② y ? ( ) x ;③ y ? ln x ;④ y ? 2 sin x ? 1 ,则满足在其定义域上均值为 2
1 的函数的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 13. tan150 = .

14.记等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a5 ? 10, S 9 ? 54 ,则直线 a1 x ? a 4 y ? a 2 ? 0 的斜率为= .

15.如图,曲线AC的方程为

x2 y2 x2 y2 ? ?? 1(0 ? x ? 3, 0 ? y ? 2) ,为估计椭圆 ? ?? 1 的 9 4 9 4 面积,现采用随机模拟方式产生 x ? (0,3), y ? (0,2) 的200个点 ( x, y ) ,经统计,落在图中阴

影部分的点共157个,则可估计椭圆

x2 y2 ? ?? 1 的面积是 9 4

. (精确到0.01)

16.若 X 是一个集合,? 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足:①X 属于 ? ,? 属 于 ? ; ? 中任意多个元素的并集属于 ? ; ? 中任意多个元素的交集属于 ? . ② ③ 则称 ? 是 集合 X 上的一个拓扑.已知集合 X = {a , b , c} ,对于下面给出的四个集合 ? : ① ? ? {?,a},c},a,,}} ; { { { bc ② ? ? {?, },c}, ,},a,,}} ; {b { {b c { b c ③ ? ? {?,a},a,},a,}} ; { { b { c ④ ? ? {?,a,}, ,},c},a,,}} . { c {b c { { b c 其中是集合 X 上的拓扑的集合 ? 的序号是 17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; 已知 S n 为数列 ?an ?的前 n 项和,且 2S n ? 3a n ? 2(n ? N * ) . . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(Ⅱ)若 bn ? log 3 (S n ? 1) ,求数列 {b2n } 的前 n 项和 Tn .

18. (本小题满分 12 分) 某电视台 2012 年举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动,过程分为初赛、复赛和决赛, 经初赛进入复赛的 40 名选手被平均分成甲、乙两个班。下面是根据这 40 名选手参加复 赛时获得的 100 名大众评审的支持票数制成的茎叶 赛制规定:参加复赛的 40 名 选手中,获得的支持票数排在 前 5 名的选手可进入决赛,若 第 5 名出现并列,则一起进入决赛; 另外,票数不低于 95 票的选手在决赛时拥有“优先挑战权” 。 (Ⅰ)分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差; (Ⅱ)从进入决赛的选手中随机抽出 3 名,求其中恰有 1 名拥有“优先挑战权”的概率. 甲班 0 8 6 5 5 2 1 1 8 7 6 2 2 2 9 8 7 7 6 2 9 8 7 6 乙班 图:

0 1 5 5 8 1 2 4 6 7 8 9 3 4 6 8 5 7 8 9

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4 3 sin x cos x ? 4 cos 2 x ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 [0,

?
2

] 上的值域;

(Ⅱ)若对于任意的 x ? R ,不等式 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立,求 sin(2 x0 ? 20. (本小题满分 12 分)

?
3

).

如图,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=3,点 E、F 分别在 BC、AD 上,EF∥AB.现将四边形 ABEF 沿 EF 折起,使平面 ABEF ? 平面 EFDC,设 AD 中点为 P. (Ⅰ)当 E 为 BC 中点时,求证:CP∥平面 ABEF; (Ⅱ)设 BE=x,当 x 为何值时,三棱锥 A-CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,上顶点为 A,△ AF1F2 a2 b2

为正三角形,且以线段 F1F2 为直径的圆与直线 y ? 3 x ? 4 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和离心率 e; (Ⅱ)若点 P 为焦点 F1 关于直线 x ? ?

| MF1 | 5 的对称点,动点 M 满足 ? e . 问是否存在 | MP | 2

一个定点 T, 使得动点 M 到定点 T 的距离为定值?若存在, 求出定点 T 的坐标及此定值; 若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) 的导函数是 f ?( x) ? 3x 2 ? 2mx ? 9 , f (x) 在 x ? 3 处取得极值,且 f (0) ? 0 . (Ⅰ)求 f (x) 的极大值和极小值; (Ⅱ)记 f ( x) 在闭区间 [0, t ] 上的最大值为 F (t ) ,若对任意的 t (0 ? t ? 4) 总有 F (t ) ? ?t 成 立,求 ? 的取值范围; (Ⅲ)设 M ( x, y ) 是曲线 y ? f ( x) 上的任意一点.当 x ? (0,1] 时,求直线 OM 斜率的最小值, 据此判断 f ( x) 与 4sin x 的大小关系,并说明理由.

宁德一中、罗一中、尚德中学 2013 届高三第二次联考

文科数学
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________学号:___________

答题卡
03 06 09 12 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]




02 05 08 11

客 观 题
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]

01 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 04 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 07 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]

第 II 卷 非选择题(用黑色签字笔书写) 二 填空题(用黑色签字笔书写)

13. 15.

14. 16.

三 解答题(用黑色签字笔书写) 17.(本题满分 12 分)

18.(本题满分 12 分)

19.(本题满分 12 分)

20.(本题满分 12 分)

21.(本题满分 12 分)



22.(本题满分 14 分)

22.(本题满分 14 分)

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________学号:___________

三、解答题:

∴所求概率为 P ? 分 19.解:(Ⅰ)

9 . 20

???????????????12

f ( x) ? 4 3 sin x cos x ? 4 cos 2 x ? 1 ? 2 3 sin 2 x ? 2(1 ? cos 2 x) ? 1

? 4 sin(2 x ?

?
6

) ? 1,

………………………??3 分

∵0? x ?

?
2

,∴ ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 1 ? ,∴ ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 6 2 6

∴ ? 3 ? f ( x) ? 3 ,即函数 f (x) 在 [0,

?
2

] 上的值域是[-3,3] .

…………??6 分

(Ⅱ)∵对于任意的 x ? R ,不等式 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立, ∴ f ( x0 ) 是 f (x) 的最大值,∴由 2 x0 ? 解得 2 x0 ? 2k? ? ∴ sin(2 x0 ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ?Z ,
??????????10 分

2? , k ?Z , 3
2? ? ? 3 . ? ) ? sin ? 3 3 3 2

?
3

) ? sin(2k? ?

??????????12 分

20.解: (Ⅰ)取 AF 的中点 Q ,连 QE 、 QP , 则 QP

1 DF , 2

A

F

D

A P

又 DF = 4, EC = 2, 且DF ∥ EC , ∴ QP

?
B E C

B F E C D

EC ,即四边形 PQEC 为

平行四边形, ???????3 分 ∴ CP ∥ EQ ,又 EQ ? 平面 ABEF , CP ? 平面 ABEF, 故 CP ∥平面 ABEF . ???????????6 分

(Ⅱ)因为平面 ABEF ? 平面 EFDC ,平面 ABEF ? 平面 EFDC ? EF , 又 AF ? EF , ∴ AF ? 平面 EFDC. ???????????8 分

由已知 BE ? x ,所以 AF ? x(0 ? x ? 4), FD ? 6 ? x. 故 V A?CDF ?

1 1 1 1 9 ? ? 3 ? (6 ? x) ? x ? (? x 2 ? 6 x) ? ? ( x ? 3) 2 ? , ???????11 分 3 2 2 2 2 9 . 2
???????????12 分

∴当 x = 3 时,VA- CDF 有最大值,最大值为

22.解: I)依题意, f ?(3) ? 0 ,解得 m ? ?6 , (

????????1 分

由已知可设 f ( x) ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x ? p ,因为 f (0) ? 0 ,所以 p ? 0 , 则 f ( x) ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x ,导函数 f ?( x) ? 3x2 ? 12 x ? 9 . 列表:
x
f ?( x) (??,1)
1 (1,3) 3 (3,+∞)

??????????3 分

+ ↗

0 极大值 4



0 极小值 0

+ ↗

f ( x)

由上表可知 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值为 f (1) ? 4 ,

f ( x) 在 x ? 3 处取得极小值为 f (3) ? 0 .

?????????????5 分

(Ⅱ)①当 0 ? t ? 1 时,由(I)知 f ( x) 在 [0, t ] 上递增, 所以 f ( x) 的最大值 F (t ) ? f (t ) ? t 3 ? 6t 2 ? 9t ,
3 2

????????6 分
2 2

由 F (t ) ? ?t 对任意的 t 恒成立,得 t ? 6t ? 9t ? ?t ,则 ? ? t ? 6t ? 9 ? (t ? 3) , ∵ 0 ? t ? 1 ,∴ ?3 ? t ? 3 ? ?2 ,则 4 ? (t ? 3) ? 9 ,∴ ? 的取值范围是 ? ? 4 .??8 分
2

②当 1 ? t ? 4 时,因为 f (1) ? f (4) ? 4 ,所以 f ( x) 的最大值 F (t ) ? f (1) ? 4 , 由 F (t ) ? ?t 对任意的 t 恒成立,得 4 ? ?t , ∴ ? ?

4 , t

因为 1 ? t ? 4 ,所以 1 ?

4 ? 4 ,因此 ? 的取值范围是 ? ? 1 , t
????????10 分

综上①②可知, ? 的取值范围是 ? ? 1 . (Ⅲ)当 x ? (0,1] 时,直线 OM 斜率 k ?

f ( x) x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? ? ( x ? 3)2 , x x
2

因为 0 ? x ? 1 ,所以 ?3 ? x ? 3 ? ?2 ,则 4 ? ( x ? 3) ? 9 , 即直线 OM 斜率的最小值为 4. 首先,由 ?????????????11 分

f ( x) ? 4 ,得 f ( x) ? 4 x . x
??????13 分

其次,当 x ? (0,1] 时,有 4 x ? 4sin x ,所以 f ( x) ? 4sin x , 证明如下:记 g ( x) ? 4 x ? 4sin x ,则 g ?( x) ? 4 ? 4cos x ? 0 , 所以 g ( x) 在 (0,1) 递增,又 g (0) ? 0 ,

则 g ( x) ? 0 在 (0,1) 恒成立,即 4 x ? 4sin x ,所以 f ( x) ? 4sin x .?????14 分


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