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辽宁省沈阳二中11-12学年高三上学期期中考试(数学理)


沈阳二中 2011——2012 学年度上学期期中考试 高三(12 届)数学(理科)试题
命题人: 许世洲 审校人: 程林
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 1 ? i ,则 z 的虚部等于 A.-1 2.已知 f ( x ) ? sin( x ? B.1
?
2 ), g ( x ) ? cos( x ?



) D. i )

C. ? i
?
2

) ,则下列结论中正确的是(

A.函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 的周期为 2; B.函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 的最大值为 1; C.将 f ( x ) 的图象向左平移
?
2

个单位后得到 g ( x ) 的图象; 个单位后得到 g ( x ) 的图象;

D.将 f ( x ) 的图象向右平移

?
2

3.已知函数 y ? 2 sin(? x ? ? ) 为偶函数 (0 ? ? ? ? ) ,其图像与直线 y ? 2 某两个交点的横坐 标分别为 x 1、 x 2 ,若 | x 2 ? x 1 | 的最小值为 ? ,则该函数在区间( A. ? ?
? ?

)上是增函数. D. ?
?? ? 4 , 3? ? ? 4 ?

?
2

, ?

? ? ? 4 ?

B. ? ?
?

?

?
4

,

? ? ? 4 ?

C. ? 0 ,
?

?

? ? ? 2 ?

4.函数 f ( x ) ? e ? x ? ax 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是( (A) ( ?? , 2 ] (B) ( ?? , 2 ) (C) ( 2 , ?? ) (D) [ 2 , ?? )



5. ? ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 2 , OA ? AB ? AC ? 0 且 | OA |? | AB | ,则向量 CA 在
??? ? C B 上 的射影的数量为 (

) (C) ?
3

(A) 3

(B) 3

(D) ? 3

6.已知 f ( x ) 是 R 上的偶函数,若将 f ( x ) 的图象向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的 图象,若 f (2) ? ? 1, 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2009) ? ( A. 0 B.1 C.-1 )

D. -1004.5

-1-

7.已知方程 f ( x ) ? x 2 ? a x ? 2 b 的两个根分别在(0,1)(1,2)内,则 a 2 ? ( b ? 4 ) 2 的取 , 值范围为( A. ( 1 7 , 2 0 ) 8.已知不等式 围是( A. (
7 12 , ?? )

) B.(
? 1 n?2

9 5 5

, 20 )
1 2n

C.( 1 7 , 2 0 )

D. (

81 5

, 20)

1 n ?1

? ...... ?

? a 对一切大于 1 的自然数 n 都成立,则 a 的取值范

) B. ( , ? ? )
3 1

C. [ , ? ? )
3

1

D. ? 0, ? ? ?

9.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? ? f ( x ? 4 ) ,当 x ? 2 时, f ( x ) 单调递增,如果
x1 ? x 2 ? 4 且 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? 0, 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 的值(

) D.可正可负
n1 2 3 ?

A.恒小于 0

B.恒大于 0

C.可能为 0
? ,1 ) a 2

10. 等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n , S 2 n ? 4 a ?3 a ...? 若 ( 1 (A) 27 (B) 81 (C) 243 11.设 a n ?
s in 1 2 ? s in 2 2
2

a a, a ? 6 2 7

则 a ?(



(D) 729 )
1 2
n

? ??? ?

s in n 2
n

, 则对任意正整数 m , n ( m ? n ) , 都成立的是(
m ?n 2

A. | a n ? a m |?

m ?n 2

B. | a n ? a m | ?

C. | a n ? a m |?

1 2
n

D. | a n ? a m | ?

12.对于函数 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? x ? 1 的极值情况,4 位同学有下列说法:甲:该函数必有 2 个 极值;乙:该函数的极大值必大于 1;丙:该函数的极小值必小于 1;丁:方程 f ( x ) ? 0 一 定有三个不等的实数根。 这四种说法中,正确的个数是( A.1 个 B.2 个 C.3 个 ) D.4 个

第Ⅱ卷 (90 分) 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知数列{an}的前 n 项和为 S n ,且 a 1 =1, S n ? n 2 a n ( n ? N ? ) ,试归纳猜想出 S n 的表达 式为______________________.
?x ? y ? 1 ? 14.若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ? 1, 目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a ?2x ? y ? 2 ?

的取值范围是 15. 函数 f ( x ) ? ?
? x ? 1, x ? 0 ? lo g 2 x , x ? 0

, 则函数 y ? f [ f ( x )] ? 1 的所有零点所构成的集合为_______.

-2-

16.下列命题:
2 ①命题 p : ? x 0 ? ? ? 1,1? , 满足 x 0 ? x 0 ? 1 ? a , 使命题 p 为真的实数 a 的取值范围是 a ? 3 ;

②代数式 s in x ? s in ( ? ? x ) ? s in ( ? ? x ) 的值与 x 无关;
3 3

2

4

③ ? ( tx ? 1) d t ?
2 0

1

1 3

t ?1

④已知数列 ? a n ? 满足:
a1 ? m , a 2 ? n , a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ( n ? N ) ,记 S n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ... ? a n 则 S 2011 ? m ;
?

其中正确的命题的序号是_____________________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
17.(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 3 sin x ? 2 cos x . (Ⅰ)若 x ? ? 0 , ? ? ,求 f ( x ) 的最大值和最小值;
2

2 cos

x 2

? s in x ? 1

(Ⅱ)若 f ( x ) ? 0 ,求

? ? ? 2 s in ? x ? ? 4 ? ?

的值.

18.(本题满分 12 分) 如图,公园有一块边长为 2 的等边△ ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成 面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD=x(x≥0) ,ED=y,求用 x 表示 y 的函数关系式; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位置应在哪里 x (3)如果 DE 是参观线路,则希望它最长,DE 的位置又应在哪里? D B 19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? log 4 (4 x ? 1) ? kx ( k ? R ) 是偶函数. (Ⅰ)求 k 的值;
lg (Ⅱ) g ( ) o ( 24a ? 设 x ? 4 x ?) a 3

A E y C

,若函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有且只有一个公共点,求实数

a 的取值范围.

-3-

20.(本题满分 12 分) 等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n , 已知对任意的 n ? N ? ,点 (n ,S n ) ,均在函数
y ? b ? r ( b ? 0 且 b ? 1, b , r 均为常数)的图像上.
x

(1)求 r 的值; (11) b=2 时, 当 记 不等式
b n ? 2 ( l o2 g n ? a n ? (N 1)
?

用数学归纳法证明: 对任意的 n ? N ? , )

b ?1 b1 ? 1 b 2 ? 1 · ··· n ··· ? b1 b2 bn

n ? 1 成立

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

21.(本题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? ? 4 ?
1 x
*
2

数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , Pn ( a n , ? 点

1 a n ?1

) 在曲线 y ? f ( x ) 上

( n ? N ) 且 a 1 ? 1, a n ? 0 .

(1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)数列 {b n } 的前 n 项和为 T n 且满足
T n ?1 an
2

?

Tn a n ?1
2

? 16 n

2

? 8 n ? 3 ,设定 b1 的值使得

数列 {b n } 是等差数列; (3)求证: S n ?
1 2 4 n ? 1 ? 1, n ? N .
*

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
ln x x ? x.

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)设 m ? 0 ,求 f ( x ) 在 [ m , 2 m ] 上的最大值; (3)试证明:对任意 n ? N ? ,不等式 ln
1? n n ? 1? n n
2

恒成立.

-4-

沈阳二中 2011——2012 学年度上学期期中考试 高三(12 届)数学(理科)试题答案
一、选择题:BDACA 二、填空题: 13. n+1 三、解答题:
17 解: (Ⅰ) f ( x ) ? 2 3 sin x ? 2 cos x
? 3 ? 1 ? 4? s in x ? c o s x ? ? 2 ? 2 ? ?
?? ? ? 4 s in ? x ? ? .??????????…………………………… 6 ? ?

ADAAC

CC 15.
1 1 ? ? ? 3, ? , , 2 4 ? ? 2? ?

2n

14.(-4,2)

16. ①④

2分

又∵ x ? ? 0, ? ? ,∴ -

π 6

≤ x?

π 6



5π 6

, ? ? 2 ≤ 4 s in ? x ?
?

?

π ? ?≤ 4 , 6 ?

∴ f ( x ) m ax ? 4, f ( x ) m in ? ? 2 .??????????…………………..5 分

(II)由于 f ( x ) ? 0 ,所以 2 3 sin x ? 2 cos x 解得 ta n x ?
1 3

??????????…………………………………. 7 分

2 cos

2

x 2

? s in x ? 1 ?

c o s x ? s in x ? 2 ? s in x · ? 2 2 ? cos x · 2 ? ? 2 ?

? ? ? 2 s in ? x ? ? 4 ? ?

?

c o s x ? s in x c o s x ? s in x

?

1 ? ta n x 1 ? ta n x

1? ? 1?

1 3 ? 2? 1 3 3 …………………………………10 分

18.解: (1)在△ ADE 中,y2=x2+AE2-2x· cos60°? y2=x2+AE2-x· AE· AE,① 又 S△ ADE=
1 2

S△ ABC=

3 2

a2=

1 2

x· sin60° x· AE· ? AE=2.②

2 ②代入①得 y2=x2+ ( ) -2(y>0), ∴y= x ?

2 x

2

4 x
2

? 2 (1≤x≤2)……4 分.

-5-

(2)如果 DE 是水管 y= x ?
2

4 x
2

?2≥

2?2?2 ?

2,

当且仅当 x2=

4 x
2

,即 x= 2 时“=”成立,故 DE∥BC,且 DE= 2 ……8 分
4 x
2

(3)如果 DE 是参观线路,记 f(x)=x2+

,可知

函数在[1, 2 ]上递减,在[ 2 ,2]上递增, 故 f(x)
max=f(1)=f(2)=5.

∴y max= 5 ? 2 ?

3.

即 DE 为 AB 中线或 AC 中线时,DE 最长……………………………………12 分

19.解: (Ⅰ)由函数
x

f ( x ) 是偶函数可知: f ( x ) ? f ( ? x )

? log 4 (4 ? 1) ? kx ? log 4 (4
4 ?1
x

?x

? 1) ? kx

------------------------------------------2 分
1 2

lo g 4

4

?x

?1

? ? 2 k x 即 x ? ? 2 kx 对一切 x ? R 恒成立 ? k ? ?

。。。。。。 分 。。。。。。6

(Ⅱ)函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有且只有一个公共点 即方程 lo g 4 ( 4 ? 1) ?
x

1 2

x ? lo g 4 ( a ? 2 ?
x x

4 3

a ) 有且只有一个实根

化简得:方程 2 ?
x

1 2
x

? a ?2 ?
2

4 3

a 有且只有一个实根
4 3 a t ? 1 ? 0 有且只有一个正根

令 t ? 2 x ? 0 ,则方程 ( a ? 1) t ? ①a ? 1 ? t ? ? ②? ? 0 ? a ? 若a ?
3 4 3 4 3 4 ? t ? ? 1 2 ?1 a ?1 4 3

--------------------8 分

,不合题意; 或 ?3 ,不合题意;若 a ? ? 3 ? t ?
? 0? a ?1 1 2

------------------------------9 分 ------------------------------10 分 ----------------------------11 分

③一个正根与一个负根,即
x

以上结果经过验证均满足 2 a ?

a ? 0 (此步没有可不扣分)

综上:实数 a 的取值范围是 { ? 3} ? (1, ?? )

---------------------------------12 分

20.解析:解:因为对任意的 n ? N ? ,点 ( n , S n ) ,均在函数 y ? b x ? r ( b ? 0 且 b ? 1, b , r 均为常 数的图像上.所以得 S n ? b n ? r ,当 n ? 1 时, a1 ? S 1 ? b ? r ,

-6-

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? b n ? r ? ( b n ?1 ? r ) ? b n ? b n ?1 ? ( b ? 1) b n ?1 , 又因为{ a n }为等比数列,所以 r ? ? 1 , 公比为 b , a n ? ( b ? 1) b n ?1 ……………………………….……………………………..……..5 分
b n ? 2(log 2 a n ? 1) ? 2(log 2 2
n ?1

(2)当 b=2 时, a n ? ( b ? 1) b n ?1 ? 2 n ?1 , 则
bn ? 1 bn ? 2n ? 1 2n

? 1) ? 2 n

,所以

b ?1 b1 ? 1 b 2 ? 1 3 5 7 2n ? 1 · ··· n ··· ? ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6 2n

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

下面用数学归纳法证不等式
3 2

b ?1 b1 ? 1 b 2 ? 1 3 5 7 2n ? 1 · ··· n ··· ? ? ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6 2n
3 2 ? 2 ,所以不等式成立……………

n ? 1 成立.....7 分

① 当 n ? 1 时,左边=

,右边= 2 ,因为

……….8 分
k ? 1 成立.则

② 假设当 n ? k 时不等式成立,即

b ?1 b1 ? 1 b 2 ? 1 3 5 7 2k ? 1 · ··· k ··· ? ? ? ? ? b1 b2 bk 2 4 6 2k

当 n ? k ? 1 时,左边=

b ? 1 bk ?1 ? 1 b1 ? 1 b 2 ? 1 3 5 7 2k ? 1 2k ? 3 · ··· k ··· ? ? ? ?? ? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6 2k 2k ? 2
2

?

k ?1?

2k ? 3 2k ? 2

?

( 2 k ? 3)

4 ( k ? 1)

?

4 ( k ? 1) ? 4 ( k ? 1) ? 1
2

4 ( k ? 1)
w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

?

( k ? 1) ? 1 ?

1 4 ( k ? 1)

?

( k ? 1) ? 1

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立…………………….12 分

21. 解:(1) ?

1 a n ?1

? f (a n ) ? ?

4?

1 an
2

且 an ? 0



1 a n ?1

?

4?

1 an
2



1 a n ?1
2

?

1 an
2

? 4 ( n ? N *)

∴数列 {

1 an
2

} 是等差数列,首项

1 an
2

? 1 公差 d=4



1 an
2

? 1 ? 4 ( n ? 1)

∴an ?

2

1 4n ? 3

∵an ? 0

∴ an ?

1 4an ? 3
1

( n ? N * ) ????……………………………………….(4 分)

(2)由 a n ?

4n ? 3

,

T n ?1 an
2

?

Tn a n ?1
2

? 16n ? 8n ? 3
2

-7-

得 ( 4 n ? 3 )T n ? 1 ? ( 4 n ? 1)T n ? ( 4 n ? 3 )( 4 n ? 1) ∴
T n ?1 4n ? 1 ? Tn 4n ? 3 ?1



Tn 4n ? 3

? T 1 ? n ? 1 ∴ T n ? ( 4 n ? 3 )( T1 ? n ? 1)

若 {b n } 为等差数列,则 T1 ? 1 ? 0 , T1 ? 1即 b1 ? 1 ∴ bn ? 8n ? 7 (3) a n ?
1 4n ? 3

n? N *
2 2

………………………………………………….8 分
2 4n ? 3 ? 4n ? 1

∴an ?

4n ? 3

?

?

4n ? 1 ? 2
5)

4n ? 3

S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ?? ? ( 4n ? 1 ? 4n ? 3) ? 1 2 4n ? 1 ? 1 ? 1 2

1 2

( 5 ? 1) ? ( 9 ?

4n ? 1 ? 1
2

n ? N * ???12 分

22.解:(1)∵ f '( x ) ?

1 ? ln x x
2

? 1 ,令 f '( x ) ? 0 得 x ? 1 ? ln x ,显然 x ? 1 是方程的解 1 x

令 g ( x ) ? x 2 ? ln x ? 1 , x ? (0, ?? ) ,则 g '( x ) ? 2 x ?

?0

∴函数 g ( x ) 在 (0, ? ? ) 上单调递增,∴ x ? 1 是方程 f '( x ) ? 0 的唯一解 ∵当 0 ? x ? 1 时 f '( x ) ?
1 ? ln x x
2

? 1 ? 0 ,当 x ? 1 时 f '( x ) ? 0

∴函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ? ? ) 上单调递减????????4 分 (2)由(1)知函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ? ? ) 上单调递减 故①当 0 ? 2 m ? 1 即 0 ? m ? ∴ f ( x ) m ax ? f (2 m ) =
ln 2 m 2m 1 2 ? 2m

时 f ( x ) 在 [ m , 2 m ] 上单调递增

②当 m ? 1 时 f ( x ) 在 [ m , 2 m ] 上单调递减 ∴ f ( x ) m ax ? f ( m ) = ③当 m ? 1 ? 2 m ,即
ln m m 1 2 ? m ?1时 ?m

f ( x ) m ax ? f (1) ? ? 1 ????????????????????8 分

(3)由(1)知当 x ? (0, ?? ) 时, f ( x ) m ax ? f (1) ? ? 1 ∴在 (0, ? ? ) 上恒有 f ( x ) ?
ln x x ? x ? ? 1 ,当且仅当 x ? 1 时“=”成立

∴对任意的 x ? (0, ?? ) 恒有 ln x ? x ( x ? 1) ∵
1? n n ?1

∴ ln

1? n n

?

1? n 1? n 1? n ( ? 1) ? 2 n n n ? 1? n n
2

即对 ? n ? N ? ,不等式 ln

1? n n

恒成立.???????.?12 分

-8-

-9-


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