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2014-2014学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习:2.3《数学归纳法》(新人教A版选修2-2)


10/21/2014

选修 2-2
一、选择题

2. 3 数学归纳法

1 1 1 * 1 .用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n∈N , n>1) 时,第一步应验证不等式 2 3 2 -1 ( ) 1 A.1+ <2 2 1 1 B.1+ + <2 2 3 1 1 C.1+ + <3 2 3 1 1 1 D.1+ + + <3 2 3 4 [答案] B [解析] ∵n∈N ,n>1,∴n 取第一个自然数为 2,左端分母最大的项为 选 B. 2.用数学归纳法证明 1+a+a +?+a 边所得的项为( A.1 B.1+a+a C.1+a D.1+a+a +a [答案] B [解析] 因为当 n=1 时,a 3.设 f(n)= A. C.
n+1
2 3 2 2 *

1 1 = ,故 2 2 -1 3

n+1

1-a * = (n∈N ,a≠1),在验证 n=1 时,左 1-a

n+2

)

=a ,所以此时式子左边=1+a+a .故应选 B. )

2

2

1 1 1 * + +?+ (n∈N ),那么 f(n+1)-f(n)等于( n+1 n+2 2n

1 1 B. 2n+1 2n+2 1 1 1 1 + D. - 2n+1 2n+2 2n+1 2n+2

[答案] D [解析] f(n+1)-f(n) =? 1 1 1 1 1 ? ? + +?+ + + ( n + 1) + 1 ( n + 1) + 2 2 n 2 n + 1 2( n +1)? ? ?

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-? =

? 1 + 1 +?+ 1 ?= 1 + 1 - 1 2n? ?n+1 n+2 ? 2n+1 2(n+1) n+1
1 1 - . 2n+1 2n+2
*

4.某个命题与自然数 n 有关,若 n=k(k∈N )时,该命题成立,那么可推得 n=k+1 时该命题也成立.现在已知当 n=5 时,该命题不成立,那么可推得( A.当 n=6 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 C.当 n=4 时该命题不成立 D.当 n=4 时该命题成立 [答案] C [解析] 原命题正确,则逆否命题正确.故应选 C. 5.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”,在第二步的证 明时,正确的证法是(
*

)

n

n

)

A.假设 n=k(k∈N ),证明 n=k+1 时命题也成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 时命题也成立 C.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 时命题也成立 D.假设 n=2k+1(k∈N),证明 n=k+1 时命题也成立 [答案] C [解析] ∵n 为正奇数,当 n=k 时,k 下面第一个正奇数应为 k+2,而非 k+1.故应选 C. 6.凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形对角线的条数 f(n+1)为( A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 [答案] C [解析] 增加一个顶点,就增加 n+1-3 条对角线,另外原来的一边也变成了对角线, 故 f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故应选 C. 7.用数学归纳法证明“对一切 n∈N ,都有 2 >n -2”这一命题,证明过程中应验证 ( ) A.n=1 时命题成立 B.n=1,n=2 时命题成立 C.n=3 时命题成立 D.n=1,n=2,n=3 时命题成立
*

)

n

2

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[答案] D [解析] 假设 n=k 时不等式成立,即 2 >k -2, 当 n=k+1 时 2
2

k

2

k+1

=2·2 >2(k -2)
2 2

k

2

由 2(k -2)≥(k-1) -4?k -2k-3≥0 ?(k+1)(k-3)≥0? k≥3,因此需要验证 n=1,2,3 时命题成立.故应选 D. 8. 已知 f(n)=(2n+7)·3 +9, 存在自然数 m, 使得对任意 n∈N , 都能使 m 整除 f(n), 则最大的 m 的值为( A.30 B.26 C.36 D.6 [答案] C [解析] 因为 f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,所以 f(1),f(2), )
n
*

f(3)能被 36 整除,推测最大的 m 值为 36.
9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n an(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2、a3、a4,猜想 an =( A. B. C. D. ) 2 2 (n+1) 2
2

n(n+1)
2 2 -1
n

2 2n-1

[答案] B [解析] 由 Sn=n an 知 Sn+1=(n+1) an+1 ∴Sn+1-Sn=(n+1) an+1-n an ∴an+1=(n+1) an+1-n an ∴an+1=
2 2 2 2 2 2

an (n≥2). n+2

n

a1 1 当 n=2 时,S2=4a2,又 S2=a1+a2,∴a2= = 3 3 a3= a2= ,a4= a3= .
1 1 1 由 a1=1,a2= ,a3= ,a4= 3 6 10 2 4 1 6 3 5 1 10

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猜想 an=

2 ,故选 B. n(n+1)
2

10.对于不等式 n +n≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 1 +1≤1+1,不等式成立. (2)假设 n=k(k∈N+)时, 不等式成立, 即 k +k<k+1, 则 n=k+1 时, (k+1) +(k+1) = k +3k+2< (k +3k+2)+(k+2)= (k+2) =(k+1)+1, ∴当 n=k+1 时,不等式成立,上述证法( A.过程全都正确 B.n=1 验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 [答案] D [解析] n=1 的验证及归纳假设都正确,但从 n=k 到 n=k+1 的推理中没有使用归纳 假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故应选 D. 二、填空题 11.用数学归纳法证明“2
n+1
2 2 2 2 2 2

)

≥n +n+2(n∈N )”时,第一步的验证为________.

2

*

[答案] 当 n=1 时,左边=4,右边=4,左≥右,不等式成立 [解析] 当 n=1 时,左≥右,不等式成立, ∵n∈N ,∴第一步的验证为 n=1 的情形. 1 1 1 1 1 2 3 12.已知数列 , , ,?, ,通过计算得 S1= ,S2= ,S3= ,由 1×2 2×3 3×4 n(n+1) 2 3 4 此可猜测 Sn=________. [答案]
*

n n+1

[解析] 解法 1:通过计算易得答案. 1 1 1 1 解法 2:Sn= + + +?+ 1×2 2×3 3×4 n(n+1) 1 ? ? 1? ?1 1? ?1 1? ?1 =?1- ?+? - ?+? - ?+?+? - ? ? 2? ?2 3? ?3 4? ?n n+1? =1- 1 n = . n+1 n+1
*, 4n+2

13.对任意 n∈N 3 [答案] 5

+a

2n+1

都能被 14 整除,则最小的自然数 a=________.

[解析] 当 n=1 时,3 +a 能被 14 整除的数为 a=3 或 5,当 a=3 时且 n=3 时,3 +3 不能被 14 整除,故 a=5.
5

6

3

10

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14.用数学归纳法证明命题:1×4+2×7+3×10+?+n(3n+1)=n(n+1) . (1)当 n0=________时,左边=____________,右边=______________________;当 n =k 时,等式左边共有________________项,第(k-1)项是__________________. (2)假设 n=k 时命题成立,即_____________________________________成立. (3)当 n=k+1 时,命题的形式是______________________________________;此时, 左边增加的项为______________________. [答案] (1)1;1×(3×1+1);1×(1+1) ;k; (k-1)[3(k-1)+1] (2)1×4+2×7+3×10+?+k(3k+1)=k(k+1) (3)1×4+2×7+?+(k+1)[3(k+1)+1] =(k+1)[(k+1)+1] ;(k+1)[3(k+1)+1] [解析] 由数学归纳法的法则易知. 三、解答题 15.求证:1 -2 +3 -4 +?+(2n-1) -(2n) =-n(2n+1)(n∈N ). [证明] ①n=1 时,左边=1 -2 =-3,右边=-3,等式成立. ②假设 n=k 时,等式成立,即 1 -2 +3 -4 +?+(2k-1) -(2k) =-k(2k+1) . 当 n=k+1 时,1 -2 +3 -4 +?+(2k-1) -(2k) +(2k+1) -(2k+2) =-k(2k+ 1)+(2k+1) -(2k+2) =-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k +5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+ 1],所以 n=k+1 时,等式也成立. 由①②得,等式对任何 n∈N 都成立. 1 1 1 1 n- 2 16.求证: + + +?+ n-1> (n≥2). 2 3 4 2 2 1 [证明] ①当 n=2 时,左= >0=右, 2 ∴不等式成立. ②假设当 n=k(k≥2,k∈N )时,不等式成立. 1 1 1 k-2 即 + +?+ k-1> 成立. 2 3 2 2 1 1 1 那么 n=k+1 时, + +?+ k-1 2 3 2 + > 2
k-1
* * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * 2 2 2

2

1 1 +?+ k-1 k-1 +1 2 +2

k-2

1 1 k-2 1 1 1 + k-1 +?+ k> + k+ k+?+ k 2 2 +1 2 2 2 2 2 2 + 2
k



k-2 2k-1 (k+1)-2
= 2



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∴当 n=k+1 时,不等式成立. 据①②可知,不等式对一切 n∈N 且 n≥2 时成立. 17.在平面内有 n 条直线,其中每两条直线相交于一点,并且每三条直线都不相交于同 一点. 求证:这 n 条直线将它们所在的平面分成
*

n2+n+2
2

个区域.

[证明] (1)n=2 时,两条直线相交把平面分成 4 个区域,命题成立. (2)假设当 n=k(k≥2)时,k 条直线将平面分成

k2+k+2
2

块不同的区域,命题成立.

当 n=k+1 时,设其中的一条直线为 l,其余 k 条直线将平面分成

k2+k+2
2

块区域,直

线 l 与其余 k 条直线相交,得到 k 个不同的交点,这 k 个点将 l 分成 k+1 段,每段都将它 所在的区域分成两部分,故新增区域 k+1 块. 从而 k+1 条直线将平面分成

k2+k+2
2

(k+1) +(k+1)+2 +k+1= 块区域. 2

2

所以 n=k+1 时命题也成立. 由(1)(2)可知,原命题成立. 18.(2010·衡水高二检测)试比较 2 +2 与 n 的大小(n∈N ),并用数学归纳法证明你 的结论. [分析] 由题目可获取以下主要信息: ①此题选用特殊值来找到 2 +2 与 n 的大小关系; ②利用数学归纳法证明猜想的结论. 解答本题的关键是先利用特殊值猜想. [解析] 当 n=1 时,2 +2=4>n =1, 当 n=2 时,2 +2=6>n =4, 当 n=3 时,2 +2=10>n =9, 当 n=4 时,2 +2=18>n =16, 由此可以猜想, 2 +2>n (n∈N )成立 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时, 左边=2 +2=4,右边=1, 所以左边>右边, 所以原不等式成立. 当 n=2 时,左边=2 +2=6,
2 1 4 2 3 2 2 2 1 2

n

2

*

n

2

n

2

*

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右边=2 =4,所以左边>右边; 当 n=3 时,左边=2 +2=10,右边=3 =9, 所以左边>右边. (2)假设 n=k 时(k≥3 且 k∈N )时,不等式成立, 即 2 +2>k .那么 n=k+1 时, 2
k+1 k
2 * 3 2

2

+2=2·2 +2=2(2 +2)-2>2·k -2.
2 2 2

k

k

2

又因:2k -2-(k+1) =k -2k-3 =(k-3)(k+1)≥0, 即 2k -2≥(k+1) ,故 2
2 2

k+1

+2>(k+1) 成立.
*

2

根据(1)和(2),原不等式对于任何 n∈N 都成立.


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