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2014年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学试题(文科)

试卷类型:A

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(文科)
2014.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

12 ? 22 ? 32 ?

? n2 ?

n ? n ? 1?? 2n ? 1? n ? N* ? . ? 6

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? 的定义域为 A. ? ??, ?1? B. ? ??,1?
2

C. ? ?1, ?? ?

D. ?1, ?? ?

2.已知 i 是虚数单位,若 ? m ? i ? ? 3 ? 4i ,则实数 m 的值为 A. ?2 B. ?2 C. ? 2 D. 2

3.在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 C ? 2 B ,则 A. 2 sin C
2 2

c 为 b
D. 2 cos C

B. 2 cos B

C. 2 sin B

4.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于直线 y ? x 对称的圆的方程为 A. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

D. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

5.已知 x ? ?1 ,则函数 y ? x ? A. ? 1 6.函数 f ? x ? ? y O
2

1 的最小值为 x ?1
C.1 D.2

B.0

x 的图象大致是 x ?1
x

y x

y O x

y O x

O

A D C B 7.已知非空集合 M 和 N ,规定 M ? N ? x x ? M 且x ? N ,那么 M ? ? M ? N ? 等于

?

?

A. M

N

B. M

N

C. M 第 1 页 共 4 页

D. N

数学(文科)试题 A

8.任取实数 a , b ? ??1,1? ,则 a , b 满足 a ? 2b ? 2 的概率为 A.

1 8

B.

1 4

C.

3 4

D.

7 8

9.设 a , b 是两个非零向量,则使 a b = a b 成立的一个必要非充分条件是 A. a ? b B. a

b

C. a ? b

D. a ? ? b

? ? ? 0?

10.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? sin A.1006 B.1007

? n ? 1? ? ,记
2

Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则 S2014 ?
D.1009

C.1008

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.执行如图 1 的程序框图,若输入 k =3 ,则输出 S 的值为 . 12.一个四棱锥的底面为菱形,其三视图如图 2 所示,则这个四棱锥的体积是 开始 输入 k .

5

n ? 0, S ? 0

y? x 2? nlog ?k


否 输出 S 结束

2

2

1

1

正(主)视图

侧(左)视图

n ? n ?1

S ? S ?2

n ?1

4

图2

图1

俯视图

13.由空间向量 a ? ?1, 2,3? , b ? ?1, ?1,1? 构成的向量集合 A ? x x ? a ? kb, k ? Z ,则向量 x 的模 x 的 最小值为 .

?

?

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线 ? ?sin ? ? cos? ? ? a 与曲线 ? ? 2cos ? ? 4sin ? 相交于 A , B 两点,若

AB ? 2 3 ,则实数 a 的值为

. D O A 图3

C P E B

15. (几何证明选讲选做题) 如图3, PC 是圆 O 的切线,切点为 C ,直线 PA 与圆 O 交于 数学(文科)试题 A 第 2 页 共 4 页

A , B 两点, ?APC 的平分线分别交弦 CA , CB 于 D , E
两点,已知 PC ? 3 , PB ? 2 ,则

PE 的值为 PD



三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知某种同型号的 6 瓶饮料中有 2 瓶已过保质期. (1)从 6 瓶饮料中任意抽取 1 瓶,求抽到没过保质期的饮料的概率; (2)从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,求抽到已过保质期的饮料的概率.

17. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? , 0? . (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ?x ? 的最小正周期与单调递增区间.

? π ? 3

? ?

18. (本小题满分14分) 如图 4,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E 是 棱 D1D 的中点,点 F 在棱 B1B 上,且满足 B1F ? 2FB . (1)求证: EF ? AC 1 1; (2)在棱 C1C 上确定一点 G ,使 A , E , G , F 四点共面, 并求此时 C1G 的长; (3)求几何体 ABFED 的体积.

D1 A1
E

C1 B1
C

D
F
A
图4

B

19. (本小题满分14分) 已知等差数列 ?an ? 的首项为 10,公差为 2,数列 ?bn ? 满足 bn ? (1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn ? max ?an , bn ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . (注: max ?a, b? 表示 a 与 b 的最大值. ) 数学(文科)试题 A 第 3 页 共 4 页

n an ? 6n , n ? N* . 2

20. (本小题满分14分) 已知函数 f ? x ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ? 3 . (1)求函数 f ? x ? 的极值; (2)定义:若函数 h ? x ? 在区间 ? s, t ? ? s ? t ? 上的取值范围为 ? s, t ? ,则称区间 ? s, t ? 为函数 h ? x ? 的“域 同区间” .试问函数 f ? x ? 在 ?3, ??? 上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域 同区间” ;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分14分) 已知双曲线 E :

x2 y 2 3 5 ? ? 1? a ? 0 ? 的中心为原点 O ,左,右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 ,点 2 a 4 5

P 是直线 x ?

a2 上任意一点,点 Q 在双曲线 E 上,且满足 PF2 QF2 ? 0 . 3

(1)求实数 a 的值; ( 2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)若点 P 的纵坐标为 1 ,过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同两点 M , N ,在线段 MN 上取异 于点 M , N 的点 H ,满足

PM MH ,证明点 H 恒在一条定直线上. ? PN HN

数学(文科)试题 A

第 4 页 共 4 页

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(文科)试题参考答案及评分标准

题号 答案

1 C

2 A

3 B

4 A

5

6

7 B

8 D

9 B

10 C

C A

题号 答案

11 7

12 4

13

14

15

13

?1 或 ?5

2 3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分) 则 P ? A? ?

18 3 4 2 ? . ? .共 18 种基本事件.则 P( B) ? 30 5 6 3

17. (本小题满分) 解得 a ? 3 . (2)由(1)得,

?1 ? 3 ? ?? π? ? ? sin x ? cos x ? 2 ? sin x cos ? cos x sin ? ? 2sin ? x ? ? . f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? ? ?2 ? 2 3? 3 3? ? ? ? ?
因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k ? ? 所以当 2kπ ?

? ?

? ?? , 2 k ? ? ? ? k ? Z? , 2 2?

π π π ? x ? ? 2kπ ? ? k ? Z? 时,函数 f ?x ? 单调递增, 2 3 2 5π π ? x ? 2kπ ? ? k ? Z? 时,函数 f ?x ? 单调递增. 即 2kπ ? 6 6
所以函数 f ?x ? 的单调递增区间为 ? 2kπ ?

? ?

5π π? , 2kπ ? ? ? k ? Z? . 6 6?

18. (本小题满分) (2)解:取 C1C 的中点 H ,连结 BH ,则 BH 在平面 BB1C1C 中,过点 F 作 FG

AE . AE .

D1 A1
E

BH ,则 FG

连结 EG ,则 A , E , G , F 四点共面.

B1
F
B

C1 G H
C

D
数学(文科)试题 A 第 1 页 共 9 页

A

1 1 1 1 C1C ? a , HG ? BF ? C1C ? a , 2 2 3 3 1 1 所以 C1G ? C1C ? CH ? HG ? a .故当 C1G ? a 时, A , E , G , F 四点共面. 6 6
因为 CH ? (3)解:因为四边形 EFBD 是直角梯形,所以几何体 ABFED 为四棱锥 A ? EFBD .

因为 S EFBD

1 ? ?1 a ? a ? ? 2a ? ? BF ? DE ? BD ? ? 3 2 ? 5 2 2 ? ? a , 2 2 12

点 A 到平面 EFBD 的距离为 h ?

1 2 AC ? a, 2 2

所以 VA? EFBD ?

1 1 5 2 2 2 5 SEFBD h ? ? a ? a ? a3 . 3 3 12 2 36
n an ? 6n ? n2 ? 2n . 2

19. (本小题满分) 即 an ? 2n ? 8 .所以 bn ?

2 2 (2)由(1)知 bn ? an ? n ? 2n ? ? 2n ? 8 ? ? n ? 4n ? 8 ? ? n ? 2 3 ? 2 ? ? n ? 2 ? 2 3 ? ,

?

?

?

?

?? ? ?

??

因为 5 ? 2 ? 2 3 ? 6 ,所以当 n ? 5 时, an ? bn ,当 n ? 5 时, bn ? an . 所以 cn ? max ?an , bn ? ? ? 当 n ? 5 时,

? 2n ? 8,
2

n ? 5,

? n ? 2n, n ? 5.

Sn ? c1 ? c2 ? c3 ?

? cn ? a1 ? a2 ? a3 ?

? an

? 10 ?12 ?14 ?
?

? ? 2n ? 8?

1 0? ? 2 n? ? 8 ? n ? n2 ? 9n . 2

当 n ? 5 时, Sn ? c1 ? c2 ? c3 ?

? cn

? ? a1 ? a2 ?

? a5 ? ? ?b6 ? b7 ?
2

? bn ?
2 ? 7 ?2 8? ??7 ? ?

2 ? ? 52 ? 9? 5 2 ?? 6? ?? ? ?? 6? ? 2 2 ? 7 0? ? ?? 6 ? 7? 2 8 ?

? ?2

2 8? ? n ? ? n ?? ?2

? n ?2?

? 2 ? 6 ? 7?

8 ? n ?? ?

数学(文科)试题 A

第 2 页 共 9 页

? ? 70 ? ??12 ? 2 2 ? 3 2? ?

2 2 2 2 ? n ?2? ?1 ? 2 ?23 ? 4 ?5 ??2

? 6 ? n ?? n ? 5? ?
2 ? ?

? 1 ? n ? n? 1?? 2 n ?? 5? ? 7 0? ? 5? ? 6n ?? n ? 6 ?

??5
?
n ? 5, n ? 5.

?

?n 2 ? 9n, 1 1 5 ? ? n3 ? n 2 ? n ? 45 .综上可知, Sn ? ? 1 3 1 2 5 3 2 6 ? n ? n ? n ? 45, 2 6 ?3
20.解: (1)因为 f ? x ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ? 3 ,
2 所以 f ? ? x ? ? 3x ?12x ? 9 ? 3? x ?1?? x ? 3? . 令 f (' )x 0?

, 可得 x ? 1 或 x ? 3 . 苏元高考吧: www.g)

则 f '( x), f ( x) 在 R 上的变化情况为:

x
f ? ? x?
f ? x?

? ??,1?
+ 增函数

1 0 1

?1,3?
- 减函数

3 0

? 3, ?? ?
+

?3

增函数

所以当 x ? 1 时,函数 f ? x ? 有极大值为 1,当 x ? 3 时,函数 f ? x ? 有极小值为 ?3 . (2)假设函数 f ? x ? 在 ?3, ??? 上存在“域同区间” ? s, t ? ? 3 ? s ? t ? , 由(1)知函数 f ? x ? 在 ?3, ??? 上单调递增.所以 ?
3 2

? ? s 3 ? 6 s 2 ? 9 s ? 3 ? s, ? f ? s ? ? s, ? 即? 3 2 ? ?t ? 6t ? 9t ? 3 ? t. ? f ? t ? ? t. ?

也就是方程 x ? 6 x ? 9 x ? 3 ? x 有两个大于 3 的相异实根. 设 g ( x) ? x ? 6 x ? 8x ? 3
3 2

? x ? 3? ,则 g?( x) ? 3x2 ?12x ? 8 .
2 2 3 ? 3 , x2 ? 2 ? 3 ? 3. 3 3

令 g? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? 2 ?

当 3 ? x ? x2 时, g? ? x ? ? 0 ,当 x ? x2 时, g? ? x ? ? 0 , 所以函数 g ? x ? 在区间 ? 3, x2 ? 上单调递减,在区间 ? x2 , ??? 上单调递增. 因为 g ?3? ? ? 6 ? 0 , g ? x2 ? ? g ? 3? ? 0 , g ? 5? ? 12 ? 0 , 所以函数 g ( x) 在区间 ?3, ??? 上只有一个零点. 数学(文科)试题 A 第 3 页 共 9 页

?c 3 5 , ? ? 21. (1)解:设双曲线 E 的半焦距为 c ,由题意可得 ? a 解得 a ? 5 . 5 2 2 ?c ? a ? 4. ?
(2)证明:由(1)可知,直线 x ?

a2 5 ?5 ? ? ,点 F2 ?3,0? .设点 P ? , t ? , Q ? x0 , y0 ? , 3 3 ?3 ?

因为 PF2 QF2 ? 0 ,所以 ? 3 ? , ?t ? ? 3 ? x0 , ? y0 ? ? 0 .所以 ty0 ?

? ?

5 3

? ?

4 ? x0 ? 3? . 3

x0 2 y0 2 4 2 ? 5? . ? ? 1,即 y0 2 ? ? x0 因为点 Q ? x0 , y0 ? 在双曲线 E 上,所以 5 5 4
所以 k PQ ? kOQ

4 2 4 x0 ? 5 ? ? ? x0 ? 3? 2 ? y0 ? t y0 y0 ? ty0 4 3 ? ? ? ?5 ? . 5 x0 5 5 2 5 x0 ? x0 ? x0 x0 2 ? x0 3 3 3
? ? 5? 3?
? ? 5? ? 2 2 ? x ? y ? 1. ? 4 ? 5

y ?1 ? k ? x ? ? , 证法 2:依题意,直线 l 的斜率 k 设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ? x ? ? ,由 ? 3? ? ?

2 2 2 2 消去 y 得 9 4 ? 5k x ? 30 5k ? 3k x ? 25 5k ? 6k ? 9 ? 0 .

?

?

?

?

?

?

因为直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,
? ? 2 2 2 2 ? ? ? 900 ? 5k ? 3k ? ? 900 ? 4 ? 5k ?? 5k ? 6k ? 9 ? ? 0, ? 则有 30 ? 5k 2 ? 3k ? ? x ? x ? , ? 1 2 9 ? 5k 2 ? 4 ? ? ? 25 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? ? . ? x1 x2 ? 9 ? 5k 2 ? 4 ? ?

① ②

设点 H ? x, y ? ,由

PM PN

?

MH HN

③ ,得
5 x1 ? 3 ? x ? x1 5 x2 ? x1 x2 ? 3



整理得 6x1x2 ? ?3x ? 5?? x1 ? x2 ? ? 10x ? 0 . 将②③代入上式得

150 ? 5k 2 ? 6k ? 9? 30 ? 3x ? 5? ?5k 2 ? 3k ? ? ? 10 x ? 0 .整理得 ?3x ? 5? k ? 4x ?15 ? 0 . 9 ? 5k 2 ? 4? 9 ?5k 2 ? 4 ?



因为点 H 在直线 l 上,所以 y ? 1 ? k ? x ? ? . 数学(文科)试题 A

? ?

5? 3?

⑤联立④⑤消去 k 得 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 . 第 4 页 共 9 页

1

3 2 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的图象如图所示.

(I)求 c , d 的值; (II)若函数 f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f ( x) 的解析式;

1 y ? f ?( x) ? 5x ? m y ? f ( x ) 3 (III)在(II)的条件下,函数 与 的图象有三个不同的交点,
求 m 的取值范围.

2.已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (I)求函数 f ( x) 的单调区间;

3 1 m , g ( x) ? x 3 ? x 2 [ f ' ( x) ? ] f ( x ) x ? 4 2 3 2 在区间 (II)函数 的图象的在 处切线的斜率为 若函数
(1,3)上不是单调函数,求 m 的取值范围.

4. (本小题满分 12 分)
x 2 已知常数 a ? 0 , e 为自然对数的底数,函数 f ( x) ? e ? x , g ( x) ? x ? a ln x .
a (I)写出 f ( x) 的单调递增区间,并证明 e ? a ;

a (II)讨论函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e ) 上零点的个数.

5.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 . (I)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值; (II)若函数 f ( x) 没有零点,求实数 k 的取值范围; 数学(文科)试题 A 第 5 页 共 9 页


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