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广东省惠州市2014---2015学年高二第一学期期末考试数学理试题

惠州市 2014-2015 学年第一学期期末考试 高二理科数学试题
说明: 1.全卷满分150分,时间120 分钟; 2.答卷前,考生务必将自己的姓名、县区、学校、班级、试室、座位号,填写在答题卷上; 3.考试结束后,考生将答题卷交回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.从集合 {1 , 2, 3, 4, 5} 中随机抽取一个数为 a ,则 a ? 3 的概率是( A. )

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5


2.已知命题 p:若 x ? y ,则 x ? A.若 x ?

y ,那么下列命题 p 的否命题是(
B.若 x ? y ,则 x ? D.若 x ?

y ,则 x ? y y

y

C.若 x ? y ,则 x ?

y ,则 x ? y


3.若 a ? ? 2 x,1, 3 ? , b ? ?1, 3, 9 ? ,如果 a 与 b 为共线向量,则( A. x ? 1 B. x ?

1 2

C. x ?

1 6

D. x ? ? )

1 6





4.在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是( A.84 B.85 C.86 ) D.87 5.若 p : ?x ? R,sin x ? 1, 则 ( A. ?p : ?x ? R,sin x ? 1 C. ?p : ?x ? R,sin x ? 1 6.十进制数 15 化为二进制数为( ) A. 1011 B.1001
(2)

0 7 9 5 4 5 5 1 8 4 4 6 4 7 m 9 3
(第 4 题图)

B. ?p : ?x ? R,sin x ? 1 D. ?p : ?x ? R,sin x ? 1

C.1111(2)

D.1111 ,则 OA ? BC 的值是( )

7.空间四边形 OABC 中, ?AOB=?AOC ?

?
2

A.

1 2

B.

2 2

C.-

1 2

D.0

高二理科数学试题答案

第 1 页 共 10 页

8. 以双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的顶点为焦点,长半轴长为 4 的椭圆方程为( 12 4
B.



A.

x2 y 2 ? ?1 64 52

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 C. ? ?1 16 12 16 4

D.

x2 y 2 ? ?1 4 16

9. 如图,在一个不规则多边形内随机撒入 200 粒芝麻(芝麻落到任何位置的 可能性相等) , 恰有 40 粒落入半径为 1 的圆内, 则该多边形的面积约为 ( A. 4? 10. 已知双曲线 B. 5? C. 6? D. 7? (第 9 题图) ) )

x2 y 2 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜 ? ?( 1 a ? 0,b ? 0) a 2 b2

角为 60°的直线与 双曲线的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A. (1,2) B. (1,2] C.[2,+∞) D. (2,+ ? ) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,请将答案填在答题卡相应位置.

11. 交警部门随机测量了高架桥南下口某一时间段经过的 2000 辆汽车的时速,时速的频率分布直方 图如下图所示,则时速超过 70 km/h 的汽车数量为 辆.

(第 11 题图) 12.若两个平面 ? , ? 的法向量分别是 u ? (1,0,1), v ? (?1,1,0) , 则这两个平面所成的锐二面角的度数是 。

开始 x=1,y=1,z=2 z=x+y y=z

13.执行如图所示的程序框图,输出的结果是_______. 14.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 P 满足 PF 则曲线 C 的离心率等于 1 : F 1F 2 : PF 2 =6:5:4, .


Z ? 10?

x=y

否 输出 z 结束
(第 13 题图)

高二理科数学试题答案

第 2 页 共 10 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的上一场进球与本场进球有无关系”的调查活动,在所 有参与调查的人中,持“有关系” “无关系” “不知道”态度的人数如表所示: 有关系 人数 500 无关系 600 不知道 900

(1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取样本,已知从持“有关系”态度的人中抽 取了 5 人,求总样本容量。 (2)持“有关系”态度的人中,40 岁以下和 40 岁以上(含 40 岁)的比例为 2:3,从抽取的 5 个样本中,再任选 2 人作访问,求至少 1 人在 40 岁以下的概率;

16.(本小题满分 12 分) 设直线 y ? 2 x ? 4 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点. (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程; (2)求 A, B 两点的坐标,并求出线段 AB 的长。

17. (本小题满分 14 分)

?ABC 中 , 如 图 , 直 棱 柱 ABC — A 1B 1C1 的 底 面
C A? C ? B1 , ?ACB ? 90? ,棱 AA1 ? 2 ,如图,以 C 为原点,
分别以 CA , CB , CC1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 (1)求平面 A 1B 1C 的法向量 (2)求直线 AC 与平面 A 1B 1C 夹角的正弦值 (第 17 题图)

高二理科数学试题答案

第 3 页 共 10 页

18.(本题满分 12 分) 已知 p | : x-| 4 ? 6 , q : x2-2 x+- 1 m2 ? 0(m>0) ,若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的 取值范围.

19.(本题满分 14 分) 如图, 正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1, 而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直。 点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM ? BN ? a (0 ? a ? 2). (1)当 a 为何值时,线段 MN 的长最小; (2)当线段 MN 的长最小时,求面 MNB 与面 BCE 所成的二面角 ? 的余弦值。

20. (本题满分 14 分) 如图,已知点 A ? ?2,0? ,点 P 是
2

(第 19 题图)

B : ? x ? 2 ? ? y 2 ? 36 上任意一点,线段 AP 的垂直平分线交

BP 于点 Q ,点 Q 的轨迹记为曲线 C .
(1)求曲线 C 的方程; (2)已知

O : x2 ? y2 ? r 2 ? r ? 0? 的切线 l 总与曲线 C 有两

个交点 M 、N ,当 ?MON ? 90 0 ,求 r 2 的取值范围。

(第 20 题图)

高二理科数学试题答案

第 4 页 共 10 页

惠州市 2014-2015 学年第一学期期末考试 高二理科数学试题答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1 C 2 B 3 C 4 A 5 A 6 C 7 D 8 D 9 B 10 A

1.【解析】 {1 , 2, 3, 4, 5} 中大于 3 的数有 4,5 两个,故 P ? 2.【解析】条件和结论同时否定,故选 B

2 ,故选 C 5

3.【解析】

2x 1 3 1 ? ? ,? x ? ,故选 C 1 3 9 6

4.【解析】共有 7 个数,从小到大排在第 4 的数是 84,故选 A 5.【解析】全称命题的否定是特称命题,故选 A 6.【解析】

15 ?7 2

7 3 1, ? 3 1, ? 1 1, ?15 ? 1111 (2),故选 C 2 2

7.【解析】 ?AOB=?AOC ?

?

2

, ? OA ? 面 OBC ,?OA ? BC, OA ? BC ? 0 ,故选 D

8.【解析】椭圆中 c ? 2 3 , a ? 4 ,b2 ? a 2 ? c2 ? 4, b ? 2 ,焦点在 y 轴上,故方程为 故选 D 9.【解析】

y 2 x2 ? ? 1, 16 4

40 ? ?12 ? ,? S ? 5? ,故选 B 200 S

10. 【解析】由题意可知,双曲线渐近线的倾斜角范围是 ? 0,

? ?

??

? ,渐近线斜率 k ? 0, 3 ,而 3?

?

?

k?

c2 ? a2 c2 b c2 ? a2 ? 3 ? e2 ? 4 ,所以 1 ? e ? 2 ,选 A ,由此得不等式 ,故 ? 2 2 a a a a
1 5 或 2 2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 200 12. 60
o

13.13

14.

11.【解析】200, 0.01?10 ? 2000 ? 200 12.【解析】 cos ? ? cos u, v ?

(1,0,1)(?1,1,0) 1 ? , ? ? 60o 2 2 2
第 5 页 共 10 页

13.【解析】x=1,y=1,z=2;x=2,y=3,z=5;x=3,y=5,z=8;x=5,y=8,z=13
高二理科数学试题答案

14.【解析】设 PF 1 ? 6k , PF 2 ? 4k , F 1F 2 ? 5k 若为椭圆 若为双曲线

PF1 ? PF2 ? 2a ? 10k ,?a ? 5k , F1 F2 ? 2c ? 5k ,? c ?

5k 1 ,? e ? 2 2 5 5k ,? e ? PF1 ? PF2 ? 2a ? 2k ,?a ? k , F1 F2 ? 2c ? 5k ,? c ? 2 2

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

5 n ? , ? n ? 20 …………………………4 分 500 500 ? 600 ? 900 2 m ? ,解得 m=2. (2)设所选取的人中,有 m 人在 40 岁以下,则 2?3 5 就是 40 岁以下抽取了 2 人,另一部分抽取了 3 人,分别记作 A1, A2 ; B1, B 2 , B 3 , ……6 分
15. 解: (1)由题意,得 则从中任取 2 人的所有基本事件为

( A1, B1), ( A1, B2), ( A1, B3), ( A2, B1), ( A2, B2), ( A2, B3), ( A1, A2), ( B1, B2), ( B1, B3), ( B2, B3)
共 10 个……………………………………………………………………………8 分 其中至少有 1 人在 40 岁以下的基本事件为

( A1, B1), ( A1, B2), ( A1, B3), ( A2, B1), ( A2, B2), ( A2, B3), ( A1, A2) 共 7 个
所以所求事件的概率 p ?

7 …………………………………………12 分 10

16. 解: (1)由题意可知抛物线的焦点在 x 轴上,开口向右

2p ? 4

?p ?2

…2 分

故焦点坐标为 (1, 0) ,准线为 x ? ?1 ………4 分 (2)由 ?

? y 2 ? 4x 消去 y 得 ? y ? 2x ? 4

x 2 ? 5x ? 4 ? 0

……6 分

解出 x1 ? 1 , x2 ? 4 ,……8 分 于是, y1 ? ?2 , y 2 ? 4 ……10 分 ……12 分 ……14 分

所以 A, B 两点的坐标分别为 A(4,4) , B(1,?2) 线段 AB 的长: | AB |?

(4 ? 1) 2 ? (4 ? 2) 2 ? 3 5

17.解: (1)由题意可知 C ? 0,0,0? , A 1 (1,0,2),B1 (0,1,2) (第 17 题图)
高二理科数学试题答案 第 6 页 共 10 页

故 CA 1 ? (1,0,2),CB1 ? (0,1,2) …………………………3 分 设 v ? ? x0 , y0 , z0 ? 为平面 A 1B 1C 的法向量,则

v ? CA1 ? ? x0 , y0 , z0 ? (1, 0, 2) ? x0 ? 2 z0 ? 0 ,…………………………5 分 v ? CB1 ? ? x0 , y0 , z0 ? (0,1, 2) ? y0 ? 2 z0 ? 0 …………………………7 分

? x0 ? ?2 z0 令 z0 ? 1 ,则 v ? ? ?2, ?2,1? …………………………9 分 ? ? y0 ? ?2 z0
(2)设直线 AC 与平面 A 1B 1C 夹角为 ? , CA ? (1,0,0) …………………………10 分

sin ? ?

CA ? v CA v

?

?1,0,0?? ?2, ?2,1?
1? 2 ? 2 ? 1
2 2 2

2 ? …………………………14 分 3

18. 解: p | : x-| 4 ?6① 不等式①的解集为 ??2,10? ……………………………2 分

q :[ x-(1 -m)][ x-(1+m)] ? 0,(m ? 0)
∴不等式②的解集为 ?1 -m,1 +m? ……………………………4 分 ∵p 是 q 的充分不必要条件 ∴ ? ?2,10? ? ?1 -m,1 +m? ……………………………6 分

?1 ? m ? ?2 ?m ? 3 解得 ? ?? , ……………………………8 分 ?1 ? m ? 10 ?m ? 9
当 1 ? m ? ?2 时, m ? 3 , ??2,10? ? ?1 -m,1 +m? ? ??2, 4? ? m ? 3 ; 当 1 ? m ? 10 时, m ? 9 , ??2,10? ? ?1 -m,1 +m? ? ??8,10? ? m ? 9 ;……………10 分 ∴ m ? 9, ∴实数 m 的取值范围是[9,+∞).……12 分 19.建立空间直角坐标系如图 B(0,0,0) 设 M ? x1, y1,z1 ? Z

A(1,0,0)

C(0,0,1)

F (1,1,0)

N ? x2 , y2 ,z2 ? ……1 分
y

高二理科数学试题答案

第 7 页 共 10 页

x

C , M , A 三点共线,且 CM ? a , CA ? 2

CM ?

a CA 2

即 ? x1 , y1 , z1 ? 1? ?

2 a(1, 0, ?1) 2

x1 ?

2 2 2 2 a, y1 ? 0, z1 ? 1 ? a, M( a, 0,1 ? a) ……4 分 2 2 2 2

B, N , F 三点共线,且 BN ? a , BF ? 2

BN ?

a BF 2

即 ? x2 , y 2 , z 2 ? ?

2 a(1,1, 0) , 2

x2 ?

2 2 2 2 a, y2 ? a, z2 ? 0 , N( a, a, 0) ……7 分 2 2 2 2

2 2 2 2 MN ? 0 ? ( a) ? (1 ? a) = a 2 ? 2a ? 1 ? 2 2

? 2? 1 a ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2

2

当a ?

2 2 , MN min ? ……9 分 2 2

(2)当 MN 最小时, M , N 为 AC, BF 的中点, M ?

?1 1? ?1 1 ? , 0, ? , N ? , , 0 ? ?2 2? ?2 2 ?

x 轴 ? 面 BCE ,取 u ? ?1, 0, 0 ? 为面 BCE 的法向量。……10 分
设 v ? ? x0 , y 0 , z 0 ? 为面 BMN 的法向量

高二理科数学试题答案

第 8 页 共 10 页

y ?1 1? x z ?1 1 ? x v ? BM ? ? x0 , y0 , z0 ? ? ,0, ? ? 0 ? 0 ? 0 , v ? BN ? ? x0 , y0 , z0 ? ? , ,0 ? ? 0 ? 0 ? 0 ?2 2? 2 2 ?2 2 ? 2 2
? x0 ? ? z0 ,令 z0 ? 1 , v ? ? ?1,1,1? ,……12 分 ? ? y0 ? z 0

? cos ? ? cos v, u ?

v ?u u v

?

1 1? 3

?

3 3 ,由图可知 ? 为锐角,故 cos ? ? ……14 分 3 3

20.(1)由题意, | QA | ? | QB |?| QP | ? | QB |? 6 ? AB ? 4 , 根据椭圆的定义,Q 点轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆,且 a ? 3, c ? 2 ,………………2 分

b2 ? a 2 ? c 2 ? 9 ? 4 ? 5
∴曲线 C 的轨迹方程是

x2 y2 ? ? 1 .………………4 分 9 5

(2)先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线 l : y ? kx ? m ,则 由 l 与⊙O 相切得

|m| 1? k
2

? r 即 m 2 ? r 2 (1 ? k 2 )

①……………6 分

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 ,消去 y 得, (5 ? 9k ) x ? 18kmx? 9(m ? 5) ? 0 , ?1 ? ? 5 ?9
设 M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则由韦达定理得

x1 ? x2 ? ?

9(m2 ? 5) 18km x x ? , ……………8 分 1 2 5 ? 9k 2 5 ? 9k 2

OM ? ON ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m)

? (1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2
第 20 题 高二理科数学试题答案 第 9 页 共 10 页

?

9(1 ? k 2 )(m2 ? 5) 18k 2 m2 ? ? m2 2 2 5 ? 9k 5 ? 9k

?

14m 2 ? 45(1 ? k 2 ) ②……………………10 分 5 ? 9k 2
0

14m2 ? 45(1 ? k 2 ) ?0 由于满足 ?MON ? 90 ,对此 OM ? ON ? 5 ? 9k 2
2 结合①式 m ? r (1 ? k ) 可得 r ?
2 2 2

45 …………………………………………12 分 14

最后考虑特殊情况:
0 当满足 ?MON ? 90 的那条切线斜率不存在时,切线方程为

x ? ? r . 代入椭圆方程可得交点的纵坐标 y ? ? 5 ?
2 得到 r ?

5r 2 5r 2 0 ,因 ?MON ? 90 ,故 r ? 5 ? , 9 9

45 …………………………………………14 分 14

高二理科数学试题答案

第 10 页 共 10 页


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