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3.1导数的概念及运算

§ 3.1 最新考纲 1.了解导数概念的实际背景. 导数的概念及运算 考情考向分析 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义求函数 y=c(c 为常数), y= 1 x,y=x2,y=x3,y= ,y= x的导数. x 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数,(理)能求简 单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函 数)的导数. 导数的概念和运算是高考的必考 内容,一般渗透在导数的应用中 考查;导数的几何意义常与解析 几何中的直线交汇考查;题型为 选择题或解答题的第(1)问,低档 难度. 1.导数与导函数的概念 (1) 一般地,函数 y = f ( x ) 在 x = x 0 处的瞬时变化率是 lim → Δx 0 f?x0+ Δx?- f?x 0? Δy = lim , Δx Δx→ 0 Δx Δx 0 ? x?x0 ,即 f ′ ( x 0 ) = lim 我们称它为函数 y = f ( x ) 在 x = x 0 处的导数,记作 f ′ ( x 0 ) 或 y | → = lim → Δx 0 Δy Δx f?x0+ Δx?- f?x 0? . Δx (2)如果函数 y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新 函数,这个函数称为函数 y=f(x)在开区(a,b)间内的导函数.记作 f′(x)或 y′. 2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义, 就是曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜率 k, 即 k=f′(x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ex f(x)=ax(a>0,a≠1) f(x)=ln x f(x)=logax(a>0,a≠1) 导函数 f′(x)=0 f′(x)=αxα -1 f′(x)=cos x f′(x)=-sin x f′(x)=ex f′(x)=axln a 1 f′(x)= x 1 f′(x)= xln a 4.导数的运算法则 若 f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (g(x)≠0). ?g?x??′= [g?x?]2 5.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′· ux′,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 知识拓展 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 2.[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x). 3.函数 y=f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向, 其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数 y=f(x)在 x=x0 附近的平均变化率.( × (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( × ) ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (4)函数 f(x)=sin(-x)的导数是 f′(x)=cos x.( × ) 题组二 教材改编 2.[P85A 组 T5]若 f(x)=x· ex,则 f′(1)= 答案 2e 解析 ∵f′(x)=ex+xex,∴f′(1)=2e. 3.[P18A 组 T6]曲线 y=1- 答案 2x-y+1=0 2 解析 ∵y′= ,∴y′|x=-1=2. ?x+2?2 故所求切线方程为 2x-y+1=0. 2 在点(-1,-1)处的切线方程为 x+2 . . 题组三 易错自纠 4. 如图所示为函数 y=f(x), y=g(x)的导函数的图象, 那么 y=f(x), y=g(x)的图象可能是( ) 答案 D 解析 由 y=f′(x)的图象知,y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,说明函数 y=f(x)的切线的斜 率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除 A,C. 又由图象知 y=f′(x)与 y=g′(x)的图象在 x=x0 处相交,说明 y=f(x)与 y=g(x)的图象在 x= x0 处的切线的斜率相同,故可排除 B.故选 D. 3 5.有一机器人的运动方程为 s=t2+ (t 是时间,s 是位移),则该机器人在时刻 t=2 时的瞬时 t 速度为( ) 19 17 A. B. 4 4 答案 D 15 13 C. D. 4 4 π? ?π? 6.设函数 f(x)的导数为 f′(x),且 f(x)=f′? ?2?sin x+cos x,则 f′?4?= 答案 - 2 π? 解析 因为 f(x)=f′? ?2?sin x+cos x, π? 所以 f′(x)=f′? ?2?cos x-sin x, π? π π ?π? 所以 f′? ?2?=f′?2?cos 2-sin 2, π? 即 f′? ?2?=-1,所以 f(x)=-sin x+cos x, f′(x)=-cos x-sin x. π? π π 故 f′? =- cos - sin =- 2. ?4? 4 4 7.已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则 a= 答案 1 解析 ∵f′(x)=3ax2+1,∴f′(1)=3a+1, 又 f(1)=a+2, ∴切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1), 又点(2,7)在切线

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