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模块综合必修1


【题文】 已知

, x∈ (0, +∞), 是否存在实数 a, b, 使 f(x)同时满足下列条件:① 在(0,1)

上是减函数,在[1,+∞)上是增函数;② f(x)的最小值是1.若存在,求出 a,b 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】解:假设存在实数 a,b 使命题成立. ∵ f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数, ∴ x=1时,f(x)取得最小值1,

∴ ∴ a+b=2.



∵ f(x)在(0,1)上是减函数, 设0<x1<x2<1, ∴ f(x1)>f(x2)恒成立,



恒成立,

整理,得 ∵ 0<x1<x2<1, ∴ x1-x2<0,x1x2>0, ∴ x1x2-b<0恒成立, 即 x1x2<b 恒成立, 而 x1x2<1,∴ b≥1.

恒成立.

同理,f(x)在[1,+∞)上是增函数,可得 b≤1, ∴ b=1.又∵ a+b=2, ∴ a=1. 故存在 a=1,b=1同时满足题中条件. 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】为减少空气污染,某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤).采用分段计费的方法计算电费.每月用电不 超过100度时,按每度0.57元计算,每月用电量超过100度时,其中的100度仍按原标准收费,超过的部分每 度按0.5元计算. 小题:1; 设月用电 x 度时,应缴电费 y 元.写出 y 关于 x 的函数关系式. 小题:2; 小明家第一季度缴纳电费情况如下: 月份 一月 二月 三月 合计

缴费金额 问小明家第一季度共用电多少度?

76元

63元

45.6元

184.6元

【答案】(1) (2)330 度 【解析】解:(1)当0≤x≤100时,y=0.57x; 当 x>100时,y=0.5× (x-100)+0.57× 100=0.5x-50+57=0.5x+7. ∴ 所求函数关系式为

(2)据题意,一月份:0.5x+7=76, ∴ x=138(度), 二月份:0.5x+7=63,∴ x=112(度), 三月份:0.57x=45.6,∴ x=80(度). 所以第一季度共用电: 138+112+80=330(度). 答:小明家第一季度共用电330度. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】关于 x 的方程4 【答案】-3≤a<0. 【解析】解:由 令 t=2
2
-|x| -|x|

-2

-|x|+2

-a=0有实根,求 a 的取值范围.



(0<t≤1).

a=t -4t=(t-2)2-4, 作出函数 a=(t-2)2-4,t∈ (0,1]的图象如图所示,由图象易得,-3≤a<0.

【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知函数 在区间 上为增函数,求实数 a 的取值范围.

【答案】 【解析】解:函数 为增函数时,u=x2-ax-a 应为减函数,

解得 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】

.

【题文】设 y=x2+mx+n(m,n∈ R),当 y=0时,对应 x 值的集合为{-2,-1}. 小题:1; 求 m、n 的值; 小题:2; 当 x 为何值时,y 取最小值?并求此最小值. 【答案】(1)m,n 的值分别是 3,2

(2)最小值为 【解析】(1)依题意知:

得 所求 m,n 的值分别是3,2.

(2)由(1)知



所以当 【难度】中档

时,y 有最小值,且最小值为

.

【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知 A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1,或 x>5},若 ,求 a 的取值范围.

【答案】 【解析】解:若 ,则2a>a+3,

∴ a>3,此时符合题意;



,则



,此时亦符合题意.

a 的取值范围是 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】

.

【题文】已知 f(x)=loga(ax-1)(a>0且 a≠1). 小题:1; 求 f(x)的定义域; 小题:2; 讨论函数 f(x)的单调性. 【答案】(1)f(x)的定义域为(-∞,0) (2)f(x1)<f(x2),故当 a>1 时,f(x)在(0,+∞)上为增函数,类似地,当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,0)上为增函 数 【解析】解:(1)由 ax-1>0得 ax>1, 当 a>1时,x>0; 当0<a<1时,x<0. ∴ 当 a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞); 当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0). (2)当 a>1时,任取0<x1<x2, 则 故 ∴ , , ,

∴ f(x1)<f(x2),故当 a>1时,f(x)在(0,+∞)上为增函数,类似地,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】我市有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲家每张球台每小时 5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2 元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,但不超过40小时. 设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展活动 x 小时的收费 为 g(x)元(15≤x≤40).

小题:1; 求 f(x)和 g(x); 小题:2; 问:小张选择哪家比较合算?为什么? 【答案】(1)f(x)=5x(15≤x≤40);

(2)当15≤x<18时,选甲家; 当 x=18时,可以选甲家也可以选乙家; 当18<x≤40时,选乙家. 【解析】解:(1)f(x)=5x(15≤x≤40);

(2)由 f(x)=g(x),得

或 即 x=18或 x=10(舍). 当15≤x<18时, f(x)-g(x)=5x-90<0, ∴ f(x)<g(x),即选甲家, 当 x=18时,f(x)=g(x),即可以选甲家也可以选乙家. 当18<x≤30时, f(x)-g(x)=5x-90>0, ∴ f(x)>g(x),即选乙家. 当30<x≤40时, f(x)-g(x)=5x-(2x+30) =3x-30>0, ∴ f(x)>g(x),即选乙家. 综上所述:当15≤x<18时,选甲家; 当 x=18时,可以选甲家也可以选乙家; 当18<x≤40时,选乙家. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知 y=log4(2x+3-x2). 小题:1; 求定义域;

小题:2; 求 f(x)的单调区间; 小题:3; 求 y 的最大值,并求取最大值时 x 的值. 【答案】(1)f(x)的定义域为{x|-1<x<3} (2)该函数的单调递增区间为(-1,1],单调递减区间为[1,3) (3)当 x=1 时,u 取最大值 4 时,y 取最大值 1. 【解析】解:(1)由2x+3-x2>0,解得-1<x<3. ∴ f(x)的定义域为{x|-1<x<3}. (2)令 u=2x+3-x2,则 u>0,y=log4u. 由于 u=2x+3-x2=-(x-1)2+4. 再考虑定义域可知,其增区间是(-1,1],减区间是[1,3). 又 y=log4u 为(0,+∞)上的增函数, 故该函数的单调递增区间为(-1,1],单调递减区间为[1,3). (3)∵ u=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4, ∴ y=log4u≤log44=1. 故当 x=1时,u 取最大值4时,y 取最大值1. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知函数 ,x∈ [2,4],求 f(x)的最大值及最小值.

【答案】当

时,f(x)取最小值 ,∵ x∈ [2,4],

.当 t=-1时,f(x)取最大值为7. 在定义域内递减,则有 ,即

【解析】解:令

,∴

.

∴ 大值为7. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】



.∴ 当

时,f(x)取最小值

.当 t=-1时,f(x)取最

【题文】已知集合 数 a、b 的值.

,B={x|x2+ax+b≤0}满足

,A∪ B={x|-5<x≤2},求实

【答案】

,b=3

【解析】解:不等式

化简得,集合

,然后利用条件

,A∪ B={x|

-5<x≤2},用数形结合的方法求出集合 B.

,由

,A∪ B={x|-5<x≤2},知

,亦即 x2+ax+b≤0对

应的方程 x2+ax+b=0的两根为 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】

和2,由根与系数的关系解得

,b=3.

【题文】某种商品在30天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系用如图所示的两条线段表示,该商 品在30天内日销售量 Q(件)与时间 t(天)之间的函数关系是 Q=-t+40(0<t≤30,t∈ N*).

小题:1; 根据提供的图象,写出该商品每件的销售价格 P 与时间 t 的函数关系式; 小题:2; 求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?(日销售金额=每件的销 售价格× 日销售量) 【答案】解:(1)当0<t≤24,t∈ N*时,设 P=kt+b,



解得 k=1,b=20,即 P=t+20,

当25≤t≤30,t∈ N*时,设 P=k1t+b1,

则 即 P=-t+100.

解得 k1=-1,b1=100,

综上所得,P=

(2)设日销售额为 y 元,则 y=P· Q=

即有

① 若0<t≤24,则当 t=10时,ymax=900; ② 若25≤t≤30,则当 t=25时,ymax=1 125. 故第25天的日销售金额最大. 【解析】(1)P 关于 t 的函数是分段函数,在每段上均是一次函数,利用待定系数法可求得; (2)转化为求分段函数的最大值. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】研究人员发现某种特别物质的温度 y(单位:摄氏度)随时间 x(单位:分钟)的变化规律 是:y=m· 2x+21-x(x≥0,且 m>0). 小题:1; 如果 m=2,求经过多少时间,温度为5摄氏度; 小题:2; 若该物质的温度总不低于2摄氏度,求 m 的取值范围. 【答案】解:(1)当 m=2时,则2× 2x+21-x=5,设2x=t,由于 x≥0,则 t≥1,

所以2t+

=5,解得 t=2或

.所以 x=1或 x=-1.

又 x≥0,所以 x=1,即经过1分钟,温度为5摄氏度. (2)令 m· 2x+21-x≥2对一切 x≥0恒成立,由于2x>0,

则 m≥

-

=2(

)x-2(

)2x.

设 t=(

)x,则0<t≤1,

则2(

)x-2(

)2x=2t-2t2.

设 f(t)=-2t2+2t=-2(t-

)2+

,

则当 t=

时,f(t)取得最大值为 f(

)=

,

即 m 的取值范围为[

,+∞).

【解析】(1)利用变化规律列出方程,利用换元法解一元二次方程即得; (2)利用变化规律转化为不等式恒成立,再利用换元法转化为求二次函数的最值. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知函数 f(x)是正比例函数,函数 g(x)是反比例函数,且 f(1)=1,g(1)=1. 小题:1; 求 f(x),g(x); 小题:2;

证明:函数 S(x)=xf(x)+g(

)在(0,+∞)上是增函数.

【答案】(1)解:设 f(x)=k1x(k1≠0),g(x)= ∵ f(1)=1,g(1)=1,∴ k1=1,k2=1.

(k2≠0),

∴ f(x)=x,g(x)=

.

(2)证明:由(1)得 S (x)=x2+2, 设 x1,x2∈ (0,+∞),且 x1<x2, 则 S (x1)-S(x2) =(x12+2)-(x22+2)=x12-x22 =(x1-x2)(x1+x2), ∵ x1,x2∈ (0,+∞),且 x1<x2, ∴ x1-x2<0,x1+x2>0. ∴ S (x1)- S (x2)<0. ∴ S (x1)< S (x2).

∴ 函数 S (x)=xf(x)+g(

)在(0,+∞)上是增函数.

【解析】(1)设出解析式,利用待定系数法求出 f(x)和 g(x); (2)利用定义法证明函数 S(x)在 R 上是增函数. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】用二分法求方程 f(x)=2x3+3x-3=0在(0,1)内的近似解(精确度为0.1). 【答案】0.75 【解析】解:f(0)=-3<0,f(1)=2>0.取(0,1)的中点0.5,经计算,f(0.5)<0.

又 f(1)>0,所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解,如此继续下去,得到方程的一个实数解所在的区间,如表所示: 左端点 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】化简: 小题:1; 0 0.5 0.5 0.625 0.687 5 右端点 1 1 0.75 0.75 0.75

由于|0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1,所以方程2x3+3x-3=0的近似解(精确度为0.1)可取0.75.

-(π-1)0-(3 小题:2;

) +(

)

;

lg2lg50+lg25-lg5lg20. 【答案】(1)16 (2)1

【解析】解:(1)原式=

-1-[(

)3] +(4-3)

=

-1-

+16=16.

(2)原式=lg2(1+lg5)+2lg5-lg5(1+lg2)=lg2+lg5=1. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知集合 A={x|1≤x<4},B={x|x-a<0}, 小题:1; 当 a=3时,求 A∪ B; 小题:2; 若A B,求实数 a 的取值范围. B 时,有 a≥4,即实数 a 的取值范围是[4,+∞). 【答案】解:(1)当 a=3时,B={x|x<3},则 A∪ B={x|x<4}. (2)B={x|x<a}.当 A 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知二次函数 y=f(x)的定义域为 R,f(1)=2,且在 x=t 处取得最值,若 y=g(x)为一次函数,且 f(x)+g(x)=x2+2x-3. 小题:1;

求 y=f(x)的解析式; 小题:2; 当 x∈ [-1,2]时,f(x)≥-1恒成立,试求 t 的取值范围. 【答案】解:(1)设 f(x)=a(x-t)2+B. 因为 f(1)=2,所以 a(1-t)2+b=2. 又 f(x)+g(x)=x2+2x-3,g(x)为一次函数,所以 a=1. 所以 b=2-(1-t)2.所以 f(x)=(x-t)2-t2+2t+1.

(2)① 若 t<-1,要使 f(x)≥-1恒成立,只需 f(-1)≥-1,即 t≥ 这与 t<-1矛盾. ② 若-1≤t≤2,要使 f(x)≥-1恒成立,只需 f(t)≥-1, 即-t2+2t+1≥-1. 所以 所以 ≤t≤ ≤t≤2. .

.

③ 若 t>2,要使 f(x)≥-1恒成立,只需 f (2)≥-1,即 t≤3. 所以2<t≤3. 综上所述,t 的取值范围是[ ,3].

【解析】因为 f(x)的对称轴即直线 x=t(t 为参变量)是不定的,所以要求 f(x)在[-1,2]上的最小值,必须分 三种情况加以讨论,注意分类讨论思想的应用. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】经过市场调查发现,某种产品投放市场的100天中,前40天其价格直线上升,而后60天其价格则 呈直线下降趋势,现抽取其中4天的价格如下表所示: 时间(天) 价格(千元) 小题:1; 写出投放市场的第 x 天的价格 f(x)关于时间 x 的函数表达式; 小题:2; 第8天 24 第32天 30 第70天 17 第90天 7

若销售量 g(x)与时间 x(天)的函数关系是 日销售额最大,最大值为多少?

(1≤x≤100, x∈ N*), 问该产品投放市场第几天时,

【答案】解:(1)设

由已知得

解之,得

∴ (2)设第 x 天的日销售额为 y 千元,则 y=f(x)· g(x)

当1≤x≤40时, ∴ 当 x=10或11时,y 有最大值808.5千元.

.

当40<x≤100时, ∴ 当 x=41(天)时,y 有最大值714千元.

在(40,100]内为减函数.

综上,当 x=10或11时,y 最大,最大值为808.5千元. 【解析】先据线性关系求出价格 f(x)关于时间 x 的一次分段函数,再利用二次函数配方法及单调性求出日 销售额的最大值. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】设 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当0≤x≤2时,y=x;当 x>2时,y=f(x)的图象是顶点为 P(3,4)且过 点 A(2,2)的抛物线的一部分.

(第20题图) 小题:1;

求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; 小题:2; 在右图的直角坐标系中直接画出函数 f(x)的图象; 小题:3; 写出函数 f(x)的值域. 【答案】解:(1)当 x∈ (2,+∞)时,设 f(x)=a(x-3)2+4, ∵ f(x)图象过 A(2,2),∴ 2=a(2-3)2+4,解得 a=-2. ∴ f(x)=-2(x-3)2+4(x>2). 当 x∈ (-∞,-2)时,-x∈ (2,+∞), ∴ f(-x)=-2(-x-3)2+4 =-2(x+3)2+4. ∵ f(x)为偶函数,∴ f(-x)=f(x). ∴ f(x)=-2(x+3)2+4. (2)图象如图.

(第20题图) (3)由(2)知值域为{y|y≤4}. 【解析】据图象求函数的值域简单明了,注意问题各个问号之间的相互联系,并能灵活运用. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】A、B 两城相距100 km,在两地之间距 A 城 x km 处的 D 地建一核电站给 A、B 两城供电.为保证城 市安全,核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系 数 λ=0.25.若 A 城供电量为20亿度/月,B 城为10亿度/月. 小题:1; 求 x 的范围; 小题:2; 把月供电总费用 y 表示成 x 的函数; 小题:3; 核电站建在距 A 城多远,才能使供电费用最小? 【答案】解:(1)x 的取值范围为10≤x≤90;

(2)y=0.25× 20x2+0.25× 10(100-x)2=5x2+

(100-x)2(10≤x≤90);

(3)由

.

则当

时,y 最小.

答:故当核电站建在距 A 城

时,才能使供电费用最小.

【解析】第(2)问的解析式中一定要注明自变量 x 的范围. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】

【题文】已知函数 小题:1; 求 f(x)的定义域; 小题:2; 讨论 f(x)的奇偶性; 小题:3; 证明 f(x)>0.

.

【答案】解:(1)要使函数有意义,需2x-1≠0,即 x≠0,∴ 定义域为(-∞,0)∪ (0,+∞).

(2)



∴ ∴ f(-x)=f(x).∴ f(x)是偶函数. (3)x>0时,2x>1,∴ 2x-1>0. 又∵ x3>0,∴ f(x)>0.x<0时,2x<1,∴ 2x-1<0. 又∵ x3<0,∴ f(x)>0.∴ 当 x∈ (-∞,0)∪ (0,+∞)时,f(x)>0. 【解析】讨论函数的性质时要记住定义域优先原则. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】

.

【题文】已知集合 A={(x,y)|y=-x2+mx-1}与 B={{x,y}|x+y-3=0,0≤x≤3},若 A∩B 为单元素集合,求实数 m 的取值范围. 【答案】解:A∩B 为单元素集合,等价于方程组

有唯一一组解, 消去 y,得 x2-(m+1)x+4=0,此方程在[0,3]上有一实根或两相等实根,设 f(x)=x2-(m+1)x+4,且 f(x)的图 象与 x 轴相切于区间[0,3]上或与 x 轴相交,且只能有一个交点落在区间[0,3]上,于是有

即 或 f(0)· f (3)<0,即4· [9-3(m+1)+4]<0,

解得 m=3.

解得 m>

.

综上所述,实数 m 的取值范围是 m=3或

.

【解析】数学问题中,已知条件是结论成立的保证,但有的问题已知条件和结论之间距离比较大,难于解 出,因此,如何将已知条件经过转化,逐步向所求结论靠拢,这就是解题过程中经常要做的工作.变更条件 就是利用与原条件等价的条件去代替,使得原条件中的隐含因素显露出来,使各种关系明朗化,从而缩短 已知条件和结论之间的距离,找出它们之间的内在联系,以便应用数学规律、方法将问题予以解决. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】设函数 f(x)=loga(x-3a)(a>0,且 a≠1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时,点 Q(x-2a,-y) 是函数 y=g(x)的图象上的点. 小题:1; 求出函数 y=g(x)的解析式; 小题:2; 若当 x∈ [a+2,a+3]时,求 v(x)=f(x)-g(x)的最值. 【答案】 (1)设点 Q 的坐标为(x′,y′), 则 x′=x-2a,y′=-y, 即 x=x′+2a,y=-y′. ∵ 点 P(x,y)在函数 y=f(x)的图象上, ∴ -y′=loga(x′+2a-3a),得

y′=

,

即函数 y=g(x)的解析式为

g(x)=

.

(2)f(x)=loga(x-3a),

g(x)=

,

两函数在[a+2,a+3]上有意义,则

故0<a<1. v(x)=f(x)-g(x)=loga(x-3a)+loga(x-a)=loga(x2-4ax+3a2), 设 u(x)=x2-4ax+3a2, ∵ 0<a<1,∴ 2a<a+2, ∴ u(x)在区间[a+2,a+3]上为增函数, ∴ v(x)=loga(x2-4ax+3a2)在区间[a+2,a+3]上为减函数, ∴ v(x)的最大值为 v(a+2)=loga(4-4a),最小值为 v(a+3)=loga(9-6a). 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】WAP 手机上网每月使用量在60分钟以上500分钟以下(包括500分钟)按30元计费;500分钟以上 超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费.假如上网时间过短,在1分钟以下不计费,1分钟以上(包括1分钟) 60分钟以下(包括60分钟)按0.5元/分钟计费.WAP 手机上网不收通话费和漫游费.问: 小题:1; 小周12月份用 WAP 手机上网20小时,要付多少上网费? 小题:2; 小周10月份付了90元的上网费,那么他这个月用手机上网多少小时? 小题:3; 若直接用电脑上网每月60元,你会选择用 WAP 手机上网吗? 【答案】 (1)当 x=20× 60=1 200(分钟)时,y=30+0.15(1 200-500)=135,小周要付135元上网费; (2)90元已经超过30元,所以上网时间超过500分钟,由解析式可得 x=900,小周这个月用手机上网900分钟; (3)直接用电脑上网每月60元,画出函数图象(如下图)可以看出:上网时间较短时,用手机上网较合算; 上网时间较长时,用电脑上网更合算.

当 x=700时,y=60,故上网时间在700分钟以内,用手机上网合算;上网时间超过700分钟,直接用电脑上 网合算. 【解析】设使用 WAP 手机上网的时间为 x 分钟,由已知条件可知, 当上网时间不超过60分钟时,以每分钟0.5元计费;

当上网时间超过60分钟但不超过500分钟时,一律按30元收费; 超过500分钟时,在30元基础上,再增加0.15元/分钟.故所付上网费

y= 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】我国是水资源比较贫乏的国家之一.北京市就节水问题,召开了市民听证会,并对“梯级水价”进行 激烈的讨论,一时成为市民的热点话题.“梯级水价”拟定:每户按四人定量,每人每月3吨,每吨3.7元,12 吨内不涨价.第一级为每月用水量在12吨内,第二级为12至16吨,第三级为16吨以上,水价级差拟按1:3:5 进行收费.(此项讨论至今未有结果) 小题:1; 请写出水费 y 与用水量 x 之间的函数关系式. 小题:2; 若某居民家当月水费为77.7元,则当月用水量为多少吨? 【答案】解:(1)该函数为分段函数,第一、二、三级水价分别为3.7元/吨、11.1元/吨、18.5元/吨.

y=

∴ y= (2)∵ 3.7× 12=44.4<77.7,∴ 11.1x-88.8=77.7.∴ x=15吨. 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>b>c)图象上两点 A(m1,f(m1) ) 、B(m2,f(m2) ) ,且 f(x) 满足 f(1)=0,a2+[f(m1)+f(m2) ]· a+f(m1)· f(m2)=0, 小题:1; 求证:b≥0; 小题:2; 求证:f(x)的图象被 x 轴所截得的线段长的取值范围是[2,3). 小题:3; 能否得出 f(m1+3) 、f(m2+3)中至少有一个为正数?请证明你的结论. 【答案】 (1)证明:∵ f(m1) 、f(m2)满足 a2+[f(m1)+f(m2) ]a+f(m1)f(m2)=0,即[a+f(m1) ] [a+f (m2) ]=0,∴ f(m1)=-a 或 f(m2)=-A. 又∵ m1或 m2是 f(x)=-a 的一个实根,

∴ Δ≥0,即 b2+4ab≥0,b(b+4a)≥0. 又∵ a>b>c, ∴ a>0,c<0. ∴ 3a-c>0. ∴ b+4a=3a-c>0. ∴ b≥0.

(2)证明:设 ax2+bx+c=0的两根为 x1、x2,则一个根为1,另一个根为 ∵ a>0,c<0,

.

∴ <0. ∵ a>b>c 且 b=-a-c≥0, ∴ a>-a-c>C.

∴ -2<

≤-1,2≤|x1-x2|<3.

(3)解:设 f(x)=a(x-x1) (x-x2)=a(x-1) (x-

).

由已知 f(m1)=-a 或 f(m2)=-a,不妨设 f(m1)=-a,则(m1-1) (m1-

)=-a<0.

∴ <m1<1.

∴ m1+3>

+3>1.

∴ f(m1+3)>f(1)=0. ∴ f(m1+3)>0. 同理,当 f(m2)=-a 时,有 f(m2+3)>0,因此 f(m2+3)或 f(m1+3)中至少有一个为正数. 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含 药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足右图所示的曲线(OA 为线段,AB 为某二次函数图象的一部 分,O 为原点). 小题:1; 写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t) ; 小题:2;

据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于

微克时,对治疗有效,求服药一次治疗疾病有效的时间.

【答案】 (1)y=

(2)为

小时

【解析】解:(1)由已知得 y=

(2)当0≤t≤1时,4t≥

,得

≤t≤1;

当1<t≤5时,

(t-5)2≥

,得 t≥

或 t≤

.∴ 有1<t≤

.

∴ ≤t≤

.∴

-

=

.

因此,服药一次治疗疾病的有效时间为

小时.

【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知汽车从刹车到停车所滑行的距离 s(m)与速度 v(m/s)的平方及汽车的总重量 t(t)的乘积 成正比.设某辆卡车不装货物以50 m/s 行驶时,从刹车到停车滑行了20 m.如果这辆车装载着与车身相等重 量的货物行驶,并与前面的车辆距离为15 m(假设卡车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁1 s) , 为了保证前面车辆紧急停车时不与前面车辆撞车,最大限制速度是多少? 【答案】解:由题意知 s=kv2t,当 v=50时,s=20,

∴ kt=

.

设不撞车时的速度为 v,则 v 应满足 kv2· 2t<15-v· 1,即

v2+v-15<0,得-75<v<

.

又 v>0,∴ 0<v<

.

答:最大限速为12.5 m/s. 【解析】本题考查函数解析式,待确定解析式后,方可由条件构造不等关系式求解. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知函数 f(x-2)=ax2-(a-3)x+(a-2)的图象过点(1,0) ,设 g(x)=f[f(x) ] ,F(x)=p· g (x)+q· f(x) (p、q∈ R). 小题:1; 求 a 的值. 小题:2; 求函数 F(x)的函数解析式. 小题:3; 是否存在实数 p(p>0)和 q,使 F(x)在区间(-∞,f(2))上是增函数且在(f(2),0)上是减函数?请证 明你的结论. 【答案】解:(1)由题意知 a-(a-3)+a-2=0,解得 a=-1. (2)∵ a=-1,∴ f(x-2)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,即 f(x)=-x2+1. ∴ g(x)=f[f(x) ]=-x4+2x2. ∴ F(x)=-px4+(2p-q)x2+q. (3)∵ f(2)=-3,则可假设存在实数 p>0和 q,使得 F(x)在区间(-∞,-3)上是增函数,在(-3,0)上是减 函数.设 x1<x2,则 F(x1)-F(x2)=(x12-x22) [-p(x12+x22)+2p-q]. (ⅰ )当 x1、x2∈ (-∞,-3)时, ∵ F(x)是增函数, ∴ F(x1)-F(x2)<0. 又 x12-x22>0, ∴ -p(x12+x22)+2p-q<0. 又 x1<-3,x2<-3, ∴ x12+x22>18. ∴ -p(x12+x22)+2p-q<-18p+2p-q=-16p-q. 要使① 式成立,只需-16p-q≤0. (ⅱ )当 x1、x2∈ (-3,0)时,F(x)是减函数,∴ F(x1)-F(x2)>0. 又 x12-x22>0, ∴ -p(x12+x22)+2p-q>0. ② ①

又∵ x1、x2∈ (-3,0) , ∴ x12+x22<18. ∴ -p(x12+x22)+2p-q>-18p+2p-q=-16p-q. 要使② 式成立,只需-16p-q≥0. 综合(ⅰ ) (ⅱ )可知-16p-q=0,即16p+q=0. ∴ 存在实数 p 和 q,使得 F(x)在区间(-∞,-3)上是增函数,在(-3,0)上是减函数. 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>b>c)图象上两点 A(m1,f(m1、B(m2,f(m2,且 f(x)满足 f(1)=0,a2+ [f(m1)+f(m2)]· a+f(m1)· f(m2)=0. 小题:1; 求证:b≥0; 小题:2; 求证:f(x)的图象被 x 轴所截得的线段长的取值范围是[2,3). 小题:3; 问能否得出 f(m1+3)、f(m2+3)中至少有一个为正数?请证明你的结论. 【答案】(1)证明:∵ f(m1)、f(m2)满足 a2+[f(m1)+f(m2)]a+f(m1)f(m2)=0, 即[a+f(m1)] [a+f(m2)]=0,∴ f(m1)=-a 或 f(m2)=-A. 又∵ m1或 m2是 f(x)=-a 的一个实根,∴ Δ≥0,即 b2+4ab≥0,b(b+4a)≥0. 又∵ a>b>c,∴ a>0,c<0.∴ 3a-c>0.∴ b+4a=3a-c>0.∴ b≥0.

(2)证明:设 ax2+bx+c=0的两根为 x1、x2,则一个根为1,另一个根为

,∵ a>0,c<0,∴ <0.∵ a>b>c

且 b=-a-c≥0,∴ a>-a-c>C.∴ -2<

≤-1,2≤|x1-x2|<3.

(3)解:设 f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x-

).

由已知 f(m1)=-a 或 f(m2)=-a,不妨设 f(m1)=-a,则(m1-1)(m1-

)=-a<0.

∴ <m1<1.∴ m1+3>

+3>1.∴ f(m1+3)>f(1)=0.∴ f(m1+3)>0.

同理,当 f(m2)=-a 时,有 f(m2+3)>0,因此 f(m2+3)或 f(m1+3)中至少有一个为正数. 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】

【题文】函数 f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3,求 a 的值.

【答案】解:∵ f(x)=4(x-

)2-2a+2,① 当

≤0,即 a≤0时,函数 f(x)在[0,2]上是增函数. .∵ a<0,∴ a=1.

∴ f(x)min=f(0)=a2-2a+2.由 a2-2a+2=3,得 a=1±

② 当0<

<2,即0<a<4时,f(x)min=f(

)=-2a+2.

由-2a+2=3,得 a=-

(0,4),舍去.

③ 当

≥2,即 a≥4时,函数 f(x)在[0,2]上是减函数.∴ f(x)min=f

(2)=a2-10a+18. 由 a2-10a+18=3,得 a=5± ∵ a≥4,∴ a=5+ . .

.综上所述,a=1-2或 a=5+

【解析】带参数的二次函数问题,要讨论对称轴相对于指定区间的位置,学会分类讨论思想. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含 药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图6所示的曲线(OA 为线段,AB 为某二次函数图象的一部分,O 为原点).

图6 小题:1; 写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); 小题:2;

据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于

微克时,对治疗有效,求服药一次治疗疾病有效的时间.

【答案】解: (1)由已知得 y=

(2)当0≤t≤1时,4t≥

,得

≤t≤1;

当1<t≤5时,

(t-5)2≥

,得 t≥

或 t≤

.∴ 有1<t≤

.

∴ ≤t≤

.∴

-

=

.

因此,服药一次治疗疾病的有效时间为 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】

小时.

【题文】已知函数 f(x-2)=ax2-(a-3)x+(a-2)的图象过点(1,0),设 g(x)=f[f(x)] ,F(x)=p· g(x)+q· f(x)(p、q∈ R). 小题:1; 求 a 的值. 小题:2; 求函数 F(x)的解析式. 小题:3; 是否存在实数 p(p>0)和 q,使 F(x)在区间(-∞,f(2上是增函数且在(f(2),0)上是减函数?请证明你的结论. 【答案】解:(1)由题意知 a-(a-3)+a-2=0, 解得 a=-1. (2)∵ a=-1, ∴ f(x-2)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,即 f(x)=-x2+1. ∴ g(x)=f[f(x)]=-x4+2x2. ∴ F(x)=-px4+(2p-q)x2+q. (3)∵ f(2)=-3,则可假设存在实数 p>0和 q,使得 F(x)在区间(-∞,-3)上是增函数,在(-3,0)上是减函数. 设 x1<x2,则 F(x1)-F(x2)=(x12-x22)[-p(x12+x22)+2p-q]. ① 当 x1、x2∈ (-∞,-3)时, ∵ F(x)是增函数,∴ F(x1)-F(x2)<0. 又 x12-x22>0, ∴ -p(x12+x22)+2p-q<0. 又 x1<-3,x2<-3,∴ x1 +x2 >18. ∴ -p(x12+x22)+2p-q<-18p+2p-q=-16p-q.要使① 式成立,只需-16p-q≤0. ② 当 x1、x2∈ (-3,0)时, F(x)是减函数,
2 2



∴ F(x1)-F(x2)>0. 又 x12-x22>0, ∴ -p(x12+x22)+2p-q>0. 又∵ x1、x2∈ (-3,0),∴ x12+x22<18. ∴ -p(x12+x22)+2p-q>-18p+2p-q=-16p-q. 要使② 式成立,只需-16p-q≥0. 综合① ② 可知-16p-q=0,即16p+q=0. ∴ 存在实数 p 和 q,使得 F(x)在区间(-∞,-3)上是增函数,在(-3,0)上是减函数. 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】设函数 f(x)为 R 上的增函数,令 g(x)=f(x)-f(2-x). 小题:1; 求证:g(x)为 R 上的增函数; 小题:2; 若 g(x1)+g(x2)>0,求证:x1+x2>2. 【答案】证明:(1)任取 x1<x2∈ R,则有2-x1>2-x2. ∵ f(x)为 R 上的增函数, ∴ f(x1)<f(x2),f(2-x1)>f(2-x2). ∴ g(x2)-g(x1)=[f(x2)-f(2-x2)]-[f(x1-f(2-x1]=[f(x2)-f(x1)]+[f(2-x1)-f(2-x2)]>0. ∴ g(x2)>g(x1),g(x)为 R 上的增函数. (2)∵ g(x1)+g(x2)>0, ∴ g(x1)>-g(x2), ∴ g(x1)>f(2-x2)-f(x2). 又 g(2-x2)=f(2-x2)-f(x2), ∴ g(x1)>g(2-x2),∴ x1>2-x2, ∴ x1+x2>2. 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知 xy<0,并且4x2-9y2=36.由此能否确定一个函数关系 y=f(x)?如果能,求出其解析式、定义域 和值域;如果不能,请说明理由. ②

【答案】解:xy<0



因为4x2-9y2=36,故 y2=

x2-4.



x>3;或

x<-3.

∴ y=f(x)=

因此能确定一个函数关系 y=f(x).其解析式为 y=f(x)= +∞).且不难得到其值域为(-∞,0)∪ (0,+∞).

其定义域为(-∞,-3)∪ (3,

【解析】4x2-9y2=36在解析几何中表示双曲线的方程,仅此当然不能确定一个函数关系 y=f(x),但加上条件 xy<0呢?看看 y 的值是否是唯一确定的. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)<-2x 的解集为(1,3). 小题:1; 若方程 f(x)+6a=0有两个相等的根,求 f(x)的解析式; 小题:2; 若 f(x)的最小值为负数,求 a 的取值范围. 【答案】解:(1)Qf(x)+2x<0的解集为(1,3).∴ 设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3),则 a>0.因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a 由方程 f(x)|+6a=0得 ax -(2+4a)x+9a=0 ∵ 方程② 有两个相等的根, ∴ Δ=[-(2+4a)]2-4a· 9a=0,
2

① ②

即5a2-4a-1=0.解得 a=1或 a=-

.

由于 a>0,舍去 a=-

.将 a=1代入① 得 f(x)的解析式 f(x)=x2-6x+3.

(2)由 f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-

)2-

及 a>0,可得 f(x)的最小值为-

.

由题意可得,

解得 a>0.

故当 f(x)的最小值为负数时,实数 a 的取值范围是 a>0.

【解析】本题综合考查一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系及其性质,重点是互相之间的转 化.在(1)中,通过不等式 f(x)<-2x 的解集为(1,3),用二次函数的标根式把不等式转化成函数,再根据韦 达定理将问题转化成关于 a 的方程.在(2)中,既可以根据二次函数的最值公式将题意转化成不等式,也可 以用配方法求最值. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上为减函数,若 f( a 的取值范围. 【答案】解:由 f(x)是偶函数,且 f( )>f(2a-1)等价于 f( )>f(|2a-1|),又 f(x)在[0,+∞) )>f(2a-1),求实数

上是减函数,∴

解得 a≤-1或 a≥2. )>f(2a-1),即如何把这个已知条件转化成关

【解析】本题的解题关键是如何使用已知条件 f(

于 a 的不等式,也就是把自变量“部分”要化到一个单调区间内,才能根据函数的单调性达到转化的目的. 这时我们想到了“若 f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(-x)=f(|x|).”于是 f(2a-1)=f(|2a-1|). 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】

【题文】已知 y=

,a>0,a≠1,试把 y+

用含 x 的式子表示出来,并化简.

【答案】解:由 y=

,可知 y2=

(a2x+a-2x+2),y2-1=

(a2x+a-2x-2)=

(ax-a-x)2,

∴ y+

=

+

|ax-a-x|. = ax , =a-x.

当 x>0时,若 a>1,则 ax>a-x,此时 y+ 若0<a<1,则 ax<a-x,此时 y+ 当 x=0时,y+ =1.

当 x<0时,若 a>1,则 ax<a-x,此时 y+ 若0<a<1,则 ax>a-x,此时 y+ 【解析】此题把 y+ =ax.

=a-x,

用含 x 的式子表示出来并不难,复杂的地方在于化简,由于在化简时涉及指数

式的变换和分类讨论的使用.因此分类要细致,讨论要全面.

【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】 小题:1; 某西瓜摊卖西瓜, 6斤以下每斤4角, 6斤以上每斤6角.请表示出西瓜重量 x 与售价 y 的函数关系.并画出图象. 小题:2; 一班有45名同学, 每名同学都有一个确定的身高, 把每个同学的学号当自变量, 每个同学的身高当函数值, 如下列表,画出它的图象来. x y 1 1.6 2 1.8 3 1.57 4 1.76 5 1.61 6 1.75 7 1.86 8 1.73 9 1.65 10 1.78 11 1.51 … …

【答案】解:(1)这个函数的解析表示应分两种情况:y=

如图:

(2)图象法:

【解析】 (1)要分情况表示.分成6斤以下,以上两种情况,这种函数叫分段函数. (2)这个问题中的自变量(学号)与变量(身高)有明确的对应关系,但这个对应关系无法用一个等式表示出来, 我们采用列表法或图象法就比较简单. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】有一个人在他死后,只留下一千英镑的遗产,可令人惊讶的是,他竟留下一份分配几百万英镑的遗嘱, 遗嘱的内容是这样的:“……一千英镑赠给波士顿的居民,他们得把这钱按每年5%的利率借给一些年轻的手 工业者去生息,这款子过了100年后,用100 000英镑建立一所公共建筑物,剩下的继续生息100年,在第二个100 年末,其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民支配,而其余的3 000 000英镑让马萨诸州的公众来管理……” 请你分析一下,这个人的遗嘱能实现吗?

【答案】解:让我们按富兰克林非凡的设想实际计算一下,故事中实际上是指数函数 y=1 000(1+5%)x 值的变 化,不难算得,当 x=1时,y=1 050,当 x=3时 y=1 158,当 x=100时,y=1 000(1+5%)100≈131 501,这意味着上面的故事 中在头一个100年末富兰克林的财产应当增加到131 501英镑,用100 000英镑建立一所公共建筑物后,还剩31 501英镑,在第二个100年末,他拥有的财产为 y=31 501(1+5%)100≈4 142 421,其中1 061 000英镑还是由波士顿 的居民支配,而其余的3 000 000英镑让马萨诸州的公众来管理,还剩81 421英镑.可见富兰克林的遗嘱在科学 上是站得住脚的.遗嘱是能够实现的. 【解析】以上的这个遗嘱就是美国著名的科学家,一生为科学和民主革命而工作的富兰克林所写的.很显然 作为一个科学家是不会在遗嘱中开玩笑的.从富兰克林的遗嘱中我们可以深刻地感受到“指数爆炸”的效应, 微薄的资金,低廉的利率,在神秘的“指数爆炸”效应下,可以变得令人瞠目结舌,这就是富兰克林的故事给人的 启示.增加到131 000英镑,这笔款增加到4 061 000英镑, 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈ [-5,5]. 小题:1; 当 a=-1时,求函数 f(x)的最大值和最小值. 小题:2; 求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在[-5,5]上是单调函数. 【答案】 (1)当 a=-1时,f(x)=x2-2x+2,其对称轴为 x=1∈ [-5,5] ,∴ ymin=1,ymax=f(-5)=37. (2)当-a≥5或-a≤-5,即 a≤-5或 a≥5时函数 y=f(x)在[-5,5]上单调. 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】对于函数 f(x) ,若存在 x0∈ R,使得 f(x0)=x0成立,则称 x0是函数 f(x)的不动点.已知函数 f (x)=ax2+(b+1)x+(b-1) (a≠0) , 小题:1; 当 a=1,b=-2时,求函数的不动点; 小题:2; 若对于任意 b∈ R,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的范围. 【答案】解:(1)当 a=1,b=-2时,函数 f(x)=x2-x-3,由题意得 x=x2-x-3.解得 x=-1或 x=3. (2)函数 f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1) (a≠0)恒有两个相异的不动点,方程 x=ax2+(b+1)x+(b-1)恒有 两个不同的根,即方程 ax2+bx+(b-1)=0恒有两个不同的根.因此 Δ=b2-4a(b-1)>0对任意 b∈ R 恒成立, 即 b2-4ab+4a>0对任意 b∈ R 恒成立.所以必须满足(4a)2-4· 4a<0,解之,得0<a<1. 【解析】本题考查二次函数与二次方程的性质. 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】对于函数 f(x),若存在 x0∈ R,使得 f(x0)=x0成立,则称 x0是函数 f(x)的不动点.已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).

小题:1; 当 a=1,b=-2时,求函数的不动点; 小题:2; 若对于任意 b∈ R,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的范围. 【答案】解:本题考查二次函数与二次方程的性质. (1)当 a=1,b=-2时,函数 f(x)=x2-x-3,由题意得 x=x2-x-3.解得 x=-1或 x=3. (2)函数 f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)恒有两个相异的不动点, 方程 x=ax2+(b+1)x+(b-1)恒有两个不同的根, 即方程 ax2+bx+(b-1)=0恒有两个不同的根. 因此 Δ=b2-4a(b-1)>0对任意 b∈ R 恒成立, 即 b2-4ab+4a>0对任意 b∈ R 恒成立. 所以必须满足(4a)2-4· 4a<0, 解之,得0<a<1. 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知定义在实数集上的函数 y=f(x)满足条件:对于任意的 x、y∈ R, f(x+y)=f(x)+f(y). 小题:1; 求证:f(0)=0; 小题:2; 求证:f(x)是奇函数,试举出两个这样的函数; 小题:3; 若当 x>0时,f(x)<0. ① 试判断函数 f(x)在 R 上的单调性,并证明之; ② 判断函数|f(x)|=a 所有可能的解的个数,并求出对应的 a 的范围. 【答案】(1)证明:令 x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. (2)证明:令 y=-x,则 f(0)=f(-x)+f(x), 即 f(-x)=-f(x),故 f(x)为奇函数; 例如:y=-2x,y=3x. (3)① 任取 x1、x2∈ R,且 x1<x2,则 x2-x1>0. f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0. ∴ f(x2)<f(x1). ∴ 函数 f(x)为(-∞,+∞)上的减函数. ② 显然本题中的函数 f(x)在 R 上单调递减,f(0)=0,所以|f(x)|≥0,判定|f(x)|=a 的解的个数也就是判定 y=|f(x)|与 y=a 的图象交点个数. 当 a>0时,有两解; 当 a=0时,有一解; 当 a<0时,无解. 答案:(1)令 x=y=0,则 f(0)=f(0)+f(0).

(2)令 y=-x,则 f(0)=f(-x)+f(x), 即 f(-x)=-f(x), 故 f(x)为奇函数. 例如:y=-2x,y=3x. (3)① 任取 x1<x2,则 x2-x1>0, f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0, 则 f(x2)<f(x1), 所以该函数 f(x)为(-∞,+∞)上的单调减函数. ② 当 a>0时,有两解; 当 a=0时,有一解; 当 a<0时,无解. 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】建造一个容积为8 m3.深为2 m 的长方体形无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为120 元/m2和80 元/m2. 小题:1; 求总造价关于一边长的函数解析式,并指出该函数的定义域; 小题:2; 判断(1)中函数在(0,2)和[2,+∞)上的单调性并用定义法加以证明; 小题:3; 如何设计水池尺寸,才能使总造价最低.

【答案】(1)y=480+320(x+ (2)单调性略; (3)当 x=2时,费用最低.

),x∈ (0,+∞);

【解析】(1)设一边长为 x,则由该水池容积为8,得另一边长为

,

总造价 y=120· x· +80· (2· · 2+2· 2x)=480+320· ( +x),x∈ (0,+∞). (2)任取 x1,x2∈ (0,2)且 x1<x2,则

f(x1)-f(x2)=480+320· (

+x1)-480-320· (

+x2)

=320(

+x1-

-x2)

=320[

+(x1-x2)]

=320(x1-x2)(1∵ x1,x2∈ (0,2),x1<x2,

).



>1,x1-x2<0.

∴ f(x1)-f(x2)<0. ∴ f(x1)<f(x2).

∴ y=480+320(

+x)在(0,2)上是增函数.

同理可证,y=480+320(

+x)在[2,+∞)上是减函数.

(3)当 x=2时,y=480+320(

+x)最小,此时造价最低.

此时

=2,当此水池为边长是2 m 的正方体时,造价最低.

【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】

【题文】已知函数 小题:1; 求输入 小题:2; 令 小题:3; 求该函数的值域. 【答案】(1)y=-19; 时对应的 y 值;

(2≤x≤4),

,求 y 关于 t 的函数关系式,t 的范围;

(2)y=

(t2-3t+2),t∈ [1,2];

(3)[-

,0].

【解析】(1)

=

=

=-

· ·

=-

.

(2)

=

=

,



,则 y=

(t-2)(t-1)

=

(t2-3t+2).

∵ 2≤x≤4,∴ 1≤t≤2.

(3)y=

(t2-3t+2)=

(t-

)2-

.

当 t=

时,y 取最小值-

,

当 t=2或1时,y 取最大值0.

∴ 该函数的值域为[【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】

,0].

【题文】若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且 x∈ (0,+∞)时,f(x)=lg(x+1),求 f(x)的表达式,并画出示意图.

【答案】

,图略.

【解析】当 x=0时,f(0)=lg(0+1)=0; 当 x<0时,-x>0,f(-x)=lg(-x+1)=-f(x),∴ f(x)=-lg(1-x).

综上,f(x)= 【难度】中档 【题型】解答题 【错题简评】

,图略.

【题文】设 A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},A∩B={2}. 小题:1; 求 a 的值及 A、B; 小题:2; 设全集 U=A∪ B,求( 小题:3; 写出( ( UB)的所有子集. UA)∪ ( UB); UA)∪

【答案】(1)a=-5,A={

,2},B={-5,2};

(2){

,-5};

(3)空集、{

}、{-5}、{

,-5}.

【解析】(1)∵ A∩B={2}, ∴ 8+2a+2=0,4+6+2a=0.

∴ a=-5.∴ A={x|2x2-5x+2=0},A={ B={x|x2+3x-10=0}, B={-5,2}.

,2}.

(2)U={

,-5,2},(

( UB)={-5}∪ { UA)∪

}={-5,

}.

(3)(

( UB)的子集为:空集、{-5}、{ UA)∪

}、{-5,

}.

【难度】中档

【题型】解答题 【错题简评】

【题文】设函数 小题:1; 求 f(x)的定义域. 小题:2;

,

f(x)是否存在最大值或最小值?如果存在,请把它求出来;如果不存在,请说明理由.

【答案】解:(1)由

,得

,

因为函数的定义域是非空集合,故 p>1,所以 f(x)的定义域为(1,p).

(2)

,

∴ 当

≤1,即1<p≤3时,f(x)既无最大值又无最小值;

当1<

<p, 即 p>3时,当 x=

时,f(x)有最大值 log2

,但没有最小值.

综上,可知1<p≤3,f(x)既无最大值又无最小值;p>3,f(x)有最大值 log2 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】

,但没有最小值.

【题文】某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了估计以后每月的产 量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系,模拟函数可以选用二 次函数 y=hx2+qx+r 或函数 y=a· bx+c(a、b、c)为常数.已知四月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪 个函数作模拟函数较好?说明理由.

【答案】解:令 f(x)=px2+qx+r(p≠0),由 f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3,有 p=-0.05,q=0.35,r=0.7.∴ f(4)=1.3. 再设 g(x)=a· bx+c,由 g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1.3,有

,解得

,解得 a=-0.8,b=0.5,c=1.4. ∴ g(4)=1.35. 答:用 y=-0.8× (0.5)x+1.4作模拟函数较好. 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】设函数 f(x)对任意 x、y∈ R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且 x>0时, f(x)<0,f(1)=-2. 小题:1; 求证:f(x)是奇函数. 小题:2; 试问在-3≤x≤3时,f(x) 是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说出理由. 【答案】 (1)证明:令 x=y=0,则有 f(0)=2f(0) 数. (2)解:任取 x1<x2,则 x2-x1>0 f(x2-x1)<0,且 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=-f(x2-x1)>0. ∴ f(x1)>f(x2).∴ y=f(x)在 R 上为减函数. 因此 f(3)为函数的最小值,f(-3)为函数的最大值. f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6, ∴ 函数最大值为6,最小值为-6. 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】 f(0)=0.令 y=-x,则有 f(0)=f(x)+f(-x),即 f(-x)=-f(x).∴ f(x)是奇函

【题文】已知集合 A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},B={x| 小题:1; 当 a=2时,求 A∩B; 小题:2; 求使 B A 的实数 a 的取值范围. 【答案】解:(1)当 a=2时,A=(2,7),B=(4,5),∴ A∩B=(4,5). (2)∵ B=(2a,a2+1), 当 a<13时,A=(3a+1,2) ,

<0}.

要使 B

A,必须

,此时 a=-1;

当 a=

时,A=

,使 B

A 的 a 不存在;

当 a>

时,A=(2,3a+1),

要使 B

A,必须

,此时1≤a≤3.

综上,可知使 B 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】

A 的实数 a 的取值范围为[1,3]∪ {-1}.

【题文】若集合 M={a|a=x2-y2,x,y∈ Z}. 小题:1; 整数8,9,10是否属于 M? 小题:2; 证明一切奇数都属于 M. 【答案】解:(1)∵ 8=32-1,9=52-42,∴ 8∈ M,9∈ M. 假设10=x2-y2,x,y∈ Z,则(|x|+|y|)(|x|-|y|)=10,且|x|+|y|>|x|-|y|>0. ∵ 10=1× 10=2× 5,



,或

显然均无整数解,∴ 10 M.

(2)设奇数为2n+1,n∈ Z,则恒有2n+1=(n+1)2-n2, ∴ 2n+1∈ M,即一切奇数都属于 M. 【解析】 【难度】基础 【题型】解答题 【错题简评】 【题文】已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈ [-5,5]. 小题:1; 当 a=-1时,求函数 f(x)的最大值与最小值; 小题:2; 求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 【答案】解:(1)当 a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈ [-5,5]. ∴ x=1时,f(x)的最小值为1; x=-5时,f(x)的最大值为37. (2)函数 f(x)=(x+a)2+2-a2图象的对称轴为 x=-a, ∵ f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,∴ -a≤-5或-a≥5. 故 a 的取值范围是 a≤-5或 a≥5. 【解析】 【难度】基础

【题型】解答题 【错题简评】 【题文】函数 f(x)=2log2(x+1)-log2x,则 f(x)的定义域为________. 【答案】{x|x>0}

【解析】由 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

得 x>0,即定义域为{x|x>0}.

【题文】设 A=[1,b](b>1), 【答案】3

(x∈ A),若 f(x)的值域也是 A,则 b=________.

【解析】∵ f(x)在[1,+∞)上为递增函数,∴ 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

又∵ b>1,∴ b=3.

【题文】若集合{x|ax2+3x+1=0}中有且只有一个元素,则实数 a 的取值集合是________.

【答案】

【解析】当 a=0时, 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

;当

时,



,故 a 的取值集合为

.

【题文】下列对应关系中,是 A 到 B 的映射的个数是________. ① A=N+,B=N+, ② A=N+,B={-1,1,-2},

③ A=Z,B=Q, ④ A={x|x>0},B=R, 【答案】2 【解析】考察① ,当 A 中取元素3时,在 f 作用下,与3的差的绝对值为0,在 B 中无此元素.∴ 不是 A 到 B 的映射;考察② ,对于任意的正整数 x,所得(-1)x 均为1或-1,在 B 中都有唯一的元素与之对应,是 A 到

B 的映射;考察③ ,当取 A 中元素0时,在 f 下,B 中找不到元素与之对应,故不是 A 到 B 的映射;考察④ , 对 A 中的任一正实数 x,B 中都有唯一的实数 log2x 与之对应,是 A 到 B 的映射. 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】若定义在(-1,0)内的函数 f(x)=log2a(x+1)满足 f(x)>0,则 a 的取值范围是________.

【答案】

【解析】 ∵ x∈ (-1,0), ∴ x+1∈ (0,1), 由对数函数的图象知, 当 f(x)=log2a(x+1)>0时, 0<2a<1, ∴ 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】若 f(x+1)=x2(x≥0),则 f(x)=________. 【答案】(x-1)2(x≥1) 【解析】方法一:∵ f(x+1)=x2=(x+1)2-2(x+1)+1(x+1≥1),∴ y=f(x)=x2-2x+1=(x-1)2(x≥1). 方法二:令 x+1=t∈ [1,+∞),则 x=t-1.故有 y=f(t)=(t-1)2(t≥1),则 f(x)=(x-1)2(x≥1). 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】方程 log3(1-2× 3x)=2x+1的解 x=________. 【答案】-1

.

【解析】32x+1=1-2× 3x,即3(3x)2+2× 3x-1=0.令3x=t(t>0),则方程变为3t2+2t-1=0.解得

或 t=-

1(舍).所以 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

,故 x=-1.

【题文】用列举法表示集合: 【答案】{-3,-2,0,1}

=________.

【解析】 ∵ x∈ Z, ∴ 当 x=-3时, 有-1∈ Z; 当 x=-2时, 有-2∈ Z; 当 x=0时, 有2∈ Z; 当 x=1时, 有1∈ Z, ∴ A={-3,-2,0,1}. 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

【题文】已知函数 f(x)= 【答案】(-∞,-1)∪ (0, )

且 f(a)<

,则实数 a 的取值范围是________.(用区间的形式表示)

【解析】当 a>0时,log2a<

,即 log2a<log2

,又函数 y=log2x 在(0,+∞)上是增函数,则有0<a<

;当 a<0

时,2a<

,即2a<2-1,又函数 y=2x 在 R 上是增函数,则有 a<-1. 或 a<-1,即(-∞,-1)∪ (0, ).

综上可得实数 a 的取值范围是0<a< 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

【题文】已知集合 A={x|x+1>2},集合 B={x|x>m},且 A∩B=B,则实数 m 的取值范围是________. 【答案】 [1,+∞) 【解析】∵ A∩B=B,∴ B 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 A.又 A={x|x>1},则 m≥1.

【题文】已知 a= 【答案】m<n

,函数 f(x)=ax,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的大小关系为________.

【解析】由于 a= 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

∈ (0,1),则函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数.由 f(m)>f(n),得 m<n.

【题文】设全集 U=A∪ B={x∈ N*|lgxA 【答案】{2,4,6,8} 【解析】U=A∪ B={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

(

UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合

B=________.

(

UB

所以集合 B={2,4,6,8}.

【题文】已知函数

(a≠1),若 a>0,则 f(x)的定义域是___________________________.

【答案】(-∞,



【解析】由题,3-ax≥0,∵ a>0,∴ x≤ 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

.

【题文】若函数 f(x)=mx2-2x+3只有一个零点,则实数 m 的取值是_____________________.

【答案】0或

【解析】由题意易得 m=0或 Δ=4-12m=0,∴ m=0或 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

.

【题文】若函数 【答案】2 010

,则 f[f(2 008)]的值为______________________.

【解析】∵ f(2 008)=2 009,∴ f[f(2 008)]=f(2 009)=2 009+1=2 010. 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】 已知函数 f(x)为偶函数, 当 x∈ (0, +∞)时, f(x)=-2x+1, 则当 x∈ (-∞, 0)时, f(x)=__________________.

【答案】

【解析】当 x∈ (-∞,0)时,-x∈ (0,+∞),∴ f(-x)=-2-x+1.又∵ f(x)为偶函数,∴ 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

.

【题文】函数 y=ax(a>0且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大

,则 a=______________.

【答案】



【解析】∵ 当 a>1时,a2-a=

,解得 a=

或 a=0(舍) ,当0<a<1时,a-a2=

,解得 a=

或 a=0(舍).

∴ a=



.

【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】满足{x|x2=x,x∈ R} A 【答案】7 【解析】A 中必含0、1,满足条件的集合为{0,1,2}、{0,1,3}、{0,1,4}、{0,1,2,3}、{0,1,2, 4}、{0,1,3,4}、{0,1,2,3,4}. 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5] ,若当 x∈ [0,5]时,f(x)的图象如下图, {不大于4的自然数}的所有集合 A 的个数为___________.

则不等式 f(x)<0的解是_________. 【答案】 (-2,0)∪ (2,5). 【解析】由于 f(x)为奇函数,因而图象如下图所示,∴ f(x)<0的解为(-2,0)∪ (2,5).

【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】y=x的值域是_________.

【答案】{y|y≤

}.

【解析】方法一:∵ 1-4x≥0,∴ x≤

.

当 x≤

时,函数是递增的.∴ y≤

.

方法二:设 t=

,则 x=

,t≥0.

∴ 原函数变为 y=

-t.

由 t≥0,便可求出 y≤ 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

.

【题文】设函数 f(x)是定义在(1,+∞)上的一个函数,且有 f(x)=2f(



-1,则 f(x)=_________ .

【答案】

+

,x∈ (1,+∞).

【解析】欲求 f(x)必须消去已知中的 f(

) ,不难想到再寻一个方程.可由 x 与

倒数关系,用

替换

已知式中的 x 便可以得到另一个方程,联立解之即可.∵ f(x)=2f(



-1,用

替换式中的 x,又得 f



)=2f(x)

-1,代入消元可得 f(x)=4f(x)-2x-1,∴ f(x)=

+

.又 x∈ (1,+∞) ,故 f(x)

=

+

,x∈ (1,+∞).

【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第5个图中有_____________个点.

图5 【答案】21 【解析】本题考查学生的观察、归纳能力. 根据前4个图形不难得出第 n 个图形中点的个数为 n(n-1)+1, 因此第5个图形中点的个数应为5× 4+1=21. 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

【题文】设函数 f(x)是定义在(1,+∞)上的一个函数,且有 f(x)=2f(

)

-1,则 f(x)=________.

【答案】

+

,x∈ (1,+∞).

【解析】欲求 f(x)必须消去已知中的 f(

),不难想到再寻一个方程.

可由 x 与

成倒数关系,用

替换已知式中的 x 便可以得到另一个方程,联立解之即可.

∵ f(x)=2f(

)

-1,用

替换式中的 x,

又得 f(

)=2f(x)

-1, -1,

代入消元可得 f(x)=4f(x)-2

∴ f(x)=

+

,又 x∈ (1,+∞),

故 f(x)= 【难度】中档

+

,x∈ (1,+∞).

【题型】填空题 【错题简评】

【题文】函数 f(x)=(m-1)x2+(2m+1)x+1是偶函数,则 m=___________.

【答案】【解析】因 f(x)是偶函数,则 f(-x)=f(x),即(m-1)x2-(2m+1)x+1=(m-1)x2+(2m+1)x+1,即2(2m+1)x=0恒成立,

则必有2m+1=0,m=【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

.

【题文】设函数 f(x)= 【答案】a≥1

+lnx 在[1,+∞)上是增函数,则正实数 a 的取值范围是____________.

【解析】本题是函数单调性知识的逆向应用,即已知函数单调性,确定函数解析式或解析式中的待定系数. 此题用到函数的导数的性质,即增区间内函数的导数非负,减区间内的函数导数非正. ∴ 对函数进行求导后便可建立关于 a 的不等式.

解:f′(x)=

≥0对 x∈ [1,+∞)恒成立,∴ a≥

对 x∈ [1,+∞)恒成立,



≤1,∴ a≥1为所求.

【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

【题文】已知气压 p(百帕)与海拔高度 h(m)满足关系式 p=1 000 为________________百帕. 【答案】0.343

,则海拔9 000 m 高处的气压

【解析】本题是与物理学有关系的一道给定函数关系式的题目,关键是理解所给公式中的各个量的含义, 尤其是是“9000”对应的字母要准确.

根据题意,得 P=1 000 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】小题:1; 已知函数 y=

=0.343.因此,填0.343.

(x2-2x+a)定义域为 R,则 a 的取值范围是_____________,

小题:2; 已知函数 y= (x2-2x+a)值域为 R,则 a 的取值范围是________________.

【答案】a>1 a≤1 【解析】两题乍一看似乎一样,但若仔细分析,其设问角度不同,解题方法也有区别.① 对 x∈ R,x2-2x+a>0 恒成立,② 由于当 t∈ (0,+∞)时, D,则(0,+∞)∈ D. ① x2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1,故只要 a-1>0则 x∈ R 时,x2-2x+a>0恒成立.因此, 填 a>1; ② x2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1, 故 x2-2x+a 的取值范围为[a-1, +∞),要求(0,+∞) 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 [a-1, +∞)只要 a-1≤0.因此,填 a≤1. t∈ R 故要求 x2-2x+a 取遍每一个正实数,换言之,若 x2-2x+a 的取值范围为

【题文】已知函数 f(x)= F∩ G=____________________.

的定义域是 F,函数 g(x)= log12(2+x-6x2)的定义域是 G,全集 U=R,那么

【答案】(-1,-

)∩[

,1].

【解析】本题考查求一个函数的定义域以及在全集基础上的集合间的求“补”运算和集合间的求“交”运算, 所以要分别求出集合 F 和 G 以及 G 的补集,最后求 F∩ 解:∵ 1-x2>0,∴ -1<x<1,∴ F=(-1,1). G.

∵ 2+x-6x2>0,∴ -

<x<

,∴ G=(-



),



G=(-∞,-

)∪ [

,+∞],

【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=log4[log2(log3z)]=0,则 x+y+z=_____________. 【答案】89 【解析】∵ 由条件得 x=64,y=16,z=9,∴ x+y+z=89. 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】下列结论中: ① 定义在 R 上的函数 f(x)在区间(-∞,0] 上是增函数,在区间 [0,+∞)上也是增函数,则函数 f(x)在 R 上是增函数;② 若f

(2)=f(-2),则函数 f(x)不是奇函数;③ 函数 y=x -0.5是(0,1)上的减函数;④ 对应法则和值域相同的函数的定义域也 相同;⑤ 若 x0是二次函数 y=f(x)的零点,且 m<x0<n,那么 f(m)f(n)<0一定成立. 写出上述所有正确结论的小题:____________. 【答案】① ③ 【解析】① 符合增函数定义,正确;② 不正确,f(x)=0,x∈ R 就是奇函数;③ 画出函数图象草图可判断;④ 不正确;⑤ 只对 m、n 非常接近 x0时,f(m)f(n)<0才成立. 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】已知集合 A=[1,4],B=(-∞,a),若 A 【答案】(4,+∞). 【解析】因为 A 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】计算: 【答案】 【解析】 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】设一个函数的解析式为 f(x)=2x+1,它的值域为{-1,2,3},则该函数的定义域为____________. , , , , . =______________. B,易知4<a,即 a∈ (4,+∞).注意 a≠4. B,则实数 a 的范围(用区间表示)为_______________.

【答案】{-1,

, 1}.

【解析】由 y=-1,2,3分别反解求出 x 即可. 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】设 a=0.32,b=2 0.3, 【答案】a<b<c 【解析】a<1, 1<b<2, 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】函数 y= 的定义域为__________. . ,试比较 a、b、c 的大小关系:________________(用“<”连接).

【答案】(

,

].

【解析】根据题意, 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

≥0=

,则0<5x-3≤1,即

<x≤

.

【题文】“依法纳税是每个公民应尽的义务”,国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的:总收入不超过 800元的,免征个人工资、薪金所得税;超过800元部分需征税,设纳税所得额(所得额指月工资、薪金中应 纳税的部分)为 x,x=全月总收入-800(元),税率见下表: 级数 1 2 3 … 9 【答案】355 【解析】(1)依税率表,有 第一段:x· 5%, 第二段:(x-500)· 10%+500· 5%, 第三段:(x-2 000)· 15%+1 500· 10%+500· 5%, 全月应纳税所得额 x 不超过500元部分 超过500元至2 000元部分 超过2 000元至5 000元部分 … 超过100 000元部分 税率 5% 10% 15% … 45%

某人2004年10月份工资总收入为4 000元,试计算这个人10月份应纳个人所得税___________元.

即 f(x)= 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

.

(2)这个人10月份纳税所得额 x=4 000-800=3 200, f(3 200)=0.15(3 200-2 000)+175=355(元).

【题文】函数 y=

的定义域是一切实数,则实数 k 的取值范围是__________.

【答案】0≤k<

【解析】注意要分类讨论,当 k=0时,显然成立,当 k≠0时,则要有(4k)2-4k× 3<0,可解出0<k< 【难度】中档

.

【题型】填空题 【错题简评】 【题文】已知 a、b 为常数,若 f(x)=x2+4x+3,f(ax+ b)=x2+10x+24,则5a-b=__________. 【答案】2 【解析】使用待定系数法.f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=x2+10x+24,可求出 a=1,b=3. 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】函数 y= 的定义域为______________.

【答案】 [-

,0)∪ (

,1].

【解析】要使函数有意义,则0<4x2-3x≤1,可解出 x∈ [【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】

,0)∪ (

,1].

【题文】 已知定义在(-∞,+∞)上的函数 f(x)是奇函数,且当 x∈ (-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),则当 x≥0时,f(x)的解析式是 ______________________. 【答案】-xlg(2+x). 【解析】利用奇偶性求 x≥0的解析式,由于 x=0时 f(x)=0,于是 f(x)=-xlg(2+x). 【难度】中档 【题型】填空题 【错题简评】 【题文】比较 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵ 在(0,+∞)上单调递增,又 , 【难度】中档 【题型】单选题 , ,∴ ,∴ .又 . , , 的大小为( ).

【错题简评】 【题文】若对数函数 y=loga(3-x)是定义域上的减函数,则实数 a 的取值范围是( A.(1,+∞) B.(3,+∞) C.(0,1) D.(0,3) 【答案】A 【解析】利用复合函数“同增异减”的性质求解,u=3-x 为减函数,则需 y=logax 为增函数,∴ a>1. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】若 a>0且 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性与 a 的具体值有关 【答案】A 【解析】G(x)的定义域即为 F(x)的定义域,关于原点对称,而 ,F(x)是偶函数,则 是( ). ).

故 G(x)为 奇函数. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】函数 A.增函数 B.减函数 C.时增时减 D.不增不减 【答案】B

,当 x∈ (-∞,0)时的单调性为(

).

【解析】y=-loga(x2+2),令 u=x2+2,t=logau,y=-t. ∵ x∈ (-∞,0)时,u=x2+2为减函数,而 t=logau(0<a<1)为减函数,y=-t 为减函数, ∴ 在(-∞,0)上,原函数为减函数. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】在下列图象中,二次函数 y=ax2+bx 与指数函数

的图象只可能是(

).

A.

B.

C.

D. 【答案】A

【解析】A 中,由指数函数图象可以看出

.

抛物线方程是



其顶点坐标为



又由



可得





故开口向上,顶点落在第三象限. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】已知

[x∈ (a,1),a>0],则 f(x)是(

).

A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 【答案】D 【解析】f(x)的定义域不关于原点对称,故 f(x)既不是奇函数又不是偶函数. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】下列选项中,可作为函数 y=f(x)的图象的是( ).

A.

B.

C.

D. 【答案】B 【解析】函数为一对一映射或多对一映射,而 A、C、D 存在一个 x 对应两个 y 值. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】若函数 f(x)=ax2+2x+1的图象与 x 轴至多有一个交点,则 a 的范围是( A.1 B.[1,+∞) C.(-∞,-1] D.以上都不对 【答案】D 【解析】若 a=0,f(x)=2x+1,与 x 轴仅有一个交点;若 a≠0, 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 ,故 a 的范围为{0}∪ [1,+∞). ).

【题文】函数 A.(-∞,1) B.(2,+∞)

的单调递增区间为(

).

C.

D. 【答案】C

【解析】原函数的定义域为-3x+2>0,∴ 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

.由复合函数的单调性知选 C.

【题文】函数 f(x)=log3x-8+2x 的零点一定位于区间( A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 【答案】B 【解析】∵ f (3)<0,f (4)>0.∴ 零点位于区间(3,4)内. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

).

【题文】设 f(x)=g(x)+5,g(x)为奇函数,且 f(-7)=-17,则 f(7)的值等于( A.17 B.22 C.27 D.12 【答案】C

).

【解析】f(7)=g(7)+5,而 g(7)=-g(-7),g(-7)=f(-7)-5=-17-5=-22,故 g(7)=22,则 f(7)=22+5 =27. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】设 P={x|x≤4}, ,则下列关系正确的是( ).

A.a B.

P

C.{a}∈ P D.{a} P 【答案】D 【解析】a 为元素,P 为集合,故 A、C 错;∵ 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】有一组实验数据如下表所示: t s 下列所给函数模型较适合的是( A.s=logat(a>1) B.s=at+b(a>1) C.s=at2+b(a>0) D.s=logat+b(a>1) 【答案】C 【解析】 【难度】基础 【题型】单选题 【错题简评】 1 1.5 ). 2 5.9 3 13.4 4 24.1 5 37 ,∴ a∈ P,∴ B 错,故选 D.

【题文】若定义运算 A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,+∞) 【答案】A

则函数

的值域是(

).

【解析】若3x≥3 x,即 x≥0,则 f(x)=3 x;若3x<3 x,即 x<0,则 f(x)=3x.故值域为(0,1].
- - -

【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】若函数 f(x)=ax+b 的图象关于直线 y=x 对称,则 a,b 的值为( A.a=1,b=0 B.a=-1,b=0 C.a=± 1,b=0 D.a=1,b=0或 a=-1,b∈ R ).

【答案】D 【解析】由题意知 f(x)的图象为轴对称图形, 即 f(x)的反函数是它本身,

∴ 由 f(x)=ax+b 得





解得 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】已知函数 y=lg(x2+2x+m)的值域为 R,则实数 m 的取值范围是( A.m>1 B.m≥1 C.m≤1 D.m∈ R 【答案】A 【解析】 y=lg(x2+2x+m), 只要 x2+2x+m>0即可, 要使不等式大于零, 则 故选 A. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】函数 y=log2|1-x|的图象是( ). , , ).

A.

B.

C.

D. 【答案】D 【解析】函数 y=log2|1-x|可由下列变换得到: .故选 D. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】某厂 A 种产品的产量第2年、第3年的增长率分别为 p、q,则这两年的平均增长率为( A. ).

B.

C. D. 【答案】D 【解析】设 A 种产品第1年的产量为1,则第2年产量变为(1+p),第3年产量变为(1+p)(1+q).设两年的平均增 长率为 x,则(1+x)2=(1+p)(1+q).所以 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】 已知函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), 当 x∈ (-1,0)时, 有 f(x)=2x, 则当 x∈ (-3, -2)时, f(x)等于 ( A.2x B.-2x C.2x+2 D.-2
-(x+2)

.故选 D.

) .

【答案】C

【解析】当 x∈ (-3,-2)时,x+2∈ (-1,0),∴ 有 f(x)=f(x+2)=2x+2.故选 C. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】设 P={y|y=x2,x∈ R},Q={y|y=2x,x∈ R},则( A.Q=P B.Q P ).

C.P∩Q={2,4} D.P∩Q={(2,4)} 【答案】B 【解析】P=[0,+∞),Q=(0,+∞).故选 B. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】函数 f(x)=lgx2+2的零点是( ).

A.

B.

C. D.± 10 【答案】C

【解析】 求函数零点即求函数对应方程的根.令 lgx2+2=0, 即 lgx2=-2, 所以 故选 C. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

, 则

.

【题文】已知 A.0 B.π C.π2 D.9

则 f{f[f(3)]}的值等于(

).

【答案】C 【解析】f{f[f(3)]}=f[f(-3)]=f(0)=π2. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】图中阴影部分表示的集合是( ).

A.( UA)∩B B.A∩( UB) C. U(A∩B) D. U(A∪ B) 【答案】D 【解析】 【难度】基础 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】若{0,1} A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【解析】 求集合{2,3,4}的非空子集的个数, 有23-1=7个, A 可为{0,1,2}, {0,1,3}, {0,1,4}, {0,1,2,3}{0,1,2,4}, {0,1,3,4},{0,1,2,3,4}.故选 C. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】若函数 f(x)=a-x(a>0,a≠1)是定义域为 R 的增函数,则函数 f(x)=loga(x+1)的图象大致是( ) A {0,1,2,3,4},则满足这一关系的集合 A 的个数是( ).

A.

B.

C.

D. 【答案】D

【解析】因为 f(x)=(

)x(a>0,a≠1),则

>1,所以0<a<1.所以函数 f(x)=loga(x+1)是减函数,其图象是下降的,排

除 A、C;又当 loga(x+1)=0时,x=0,则函数 f(x)=loga(x+1)的图象过原点(0,0),排除 B. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】已知函数 f(x)=(x2-3x+2)lnx+2 009x-2 010,则方程 f(x)=0在下面哪个区间内必有实根( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(2,4) 【答案】B 【解析】 f(1)=-1<0,f(2)=2 008>0,f(3)=2ln3+4 017>0,f(4)=6ln4+6 022>0,所以 f(1)f(2)<0,则方程 f(x)=0在区间(1,2) 内必有实根. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 )

【题文】已知定义在 R 上的函数 f(x)=m+ A.0

为奇函数,则 m 的值是(



B.-

C. D.2 【答案】B

【解析】f(-x)=m+

=m+

[SX()2x[]1+2x[SX]],-f(x)=-m-

.由于函数 f(x)是奇函数,所以对任意

x∈ R,都有 m+

=-m-

,即2m+

+

=0,

所以2m+1=0.所以 m=-

.

另解:由于定义域是 R,所以 f(-0)=-f(0).所以 f(0)=0.所以 m+ 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

=0.所以 m=-

.

【题文】下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈ (-∞,0),当 x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2)”的函数是( A.f(x)=-x+1 B.f(x)=x2-1 C.f(x)=2x D.f(x)=ln(-x) 【答案】C



【解析】满足“对任意 x1,x2∈ (-∞,0),当 x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2)”的函数在(-∞,0)上是增函数,函数 f(x)=-x+1、 f(x)=x2-1、f(x)=ln(-x)在(-∞,0)上均是减函数,函数 f(x)=2x 在(-∞,0)上是增 函数. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】设 a=( A.a>b>c B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b 【答案】A 【解析】 a= 所以 a>b>C.

)0.5,b=0.30.5,c=log0.32,则 a,b,c 的大小关系是(



,b=

,c=log0.32<log0.31=0,由于幂函数 y=

在 [0,+∞)上是增函数,所以

>

>0.

【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】已知集合 M={x|x<1},N={x|2x>1},则 M∩N 等于( A. B.{x|x<0} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1} 【答案】D 【解析】2x>1 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 2x>20,由于函数 y=2x 是 R 上的增函数,所以 x>0.所以 N={x|x>0}.所以 M∩N={x|0<x<1}. )

【题文】下列函数中,与函数 y= A.f(x)=lnx

有相同定义域的是(



B.f(x)= C.f(x)=|x| D.f(x)=ex 【答案】A

【解析】y=

的定义域是{x|x>0},B 中,f(x)的定义域是{x|x≠0},所以 B 不相同;C 和 D 中,f(x)的定义域均是

R,所以 C 和 D 均不相同;A 中,f(x)的定义域是{x|x>0},所以 A 相同. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】已知 log23=a,log25=b,则 log2 A.a2-b B.2a-b

等于(



C.

D. 【答案】B

【解析】log2 【难度】中档

=log29-log25=2log23-log25=2a-B.

【题型】单选题 【错题简评】

【题文】已知 f(x)= A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C

则 f[f(3)]的值为(



【解析】f(3)=log33=1,则 f[f(3)]=f(1)=21=2. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】设 f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数 f(x)有零点的区间是( A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0] 【答案】D 【解析】逐一验证即可,f(-1)=3↑-1-(-1)2<0,f(0)=30-02>0,则 f(-1)f(0)<0. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】集合 M={x|x2-9=0}中所有元素之和等于( A.3 B.-3 C.0 D.9 【答案】C 【解析】M={-3,3},则-3+3=0. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】已知集合 M={0,2,4,6},集合 Q={0,1,3,5},则 M∪ Q 等于( A.{0} B.{0,1,2,3,4,5,6} ) ) )

C.{1,2,3,4,5,6} D.{0,3,4,5,6} 【答案】B 【解析】 【难度】基础 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=-x2+21x 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得最大利润为( A.120.25万元 B.120万元 C.90.25万元 D.132万元 【答案】B 【解析】设甲地销售 x 辆,则乙地销售(15-x)辆, 则利润 L=L1+L2=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-(x-9.5)2+30+9.52. ∵ x∈ N*,∴ x=9或 x=10时,Lmax=120万元. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】设 =x· (x-1)· (x-2)·…·(x-n+2)· (x-n+1)(n∈ N*),则关于 x 的函数 为( ) )

A.奇函数但非偶函数 B.偶函数但非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数又非偶函数 【答案】A 【解析】f(x)=(x+1 004)(x+1 003) …x· (x-1)(x-2) …(x-1 004)=x(x2-12)(x2-22) …(x2-1 0042),所以 f(x)是奇函数. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】某地区植被被破坏后土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公 顷和0.76万公顷,则沙漠增加值 y 公顷依赖于年数 x 的函数关系用下列哪个函数模拟较好( )

A.

B.

C.

D.y=0.2+log16x 【答案】C 【解析】把 x=1,2,3代入函数式求得函数值与实际值误差最小者作为模拟函数最好. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】如图,已知正方形 ABCD 的边长为4,动点 P 从 B 点开始沿折线 BCDA 向 A 点运动,设点 P 运动 的路程为 x,△ ABP 的面积为 S,则函数 S=f(x)的图象是下图中的( )

(第9题图)

A.

B.

C.

D. 【答案】D

【解析】当 x∈ (0,4]时,S=f(x)= 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

× 4× x=2x,其图象为一条直线,故应当选 D.

【题文】幂函数 y=xm,y=xn,y=xp 的图象如下图所示,以下结论正确的是( A.m>n>p

)

B.B.m>p>n C.n>p>m D.p>n>m

(图) 【答案】C 【解析】结合幂函数的性质及图象特征判断. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】图中的图象所表示的函数解析式为 ( )

(第7题图)

A.

(0≤x≤2)

B.

(0≤x≤2)

C. D. 【答案】B

(0≤x≤2) (0≤x≤2)

【解析】当0≤x≤1时,

;当1<x≤2时,



所以 【难度】中档

,0≤x≤2.

【题型】单选题 【错题简评】 【题文】设函数 f(x)=loga|x|(a>0且 a≠1)在(-∞,0)上单调递增,则 f(a+1)与 f (2)的大小关系为( A.f(a+1)=f(2) B.f(a+1)>f(2) C.f(a+1)<f(2) D.不确定 【答案】B 【解析】∵ f(x)为偶函数, ∴ f(x)在(0,+∞)上单调递减,据题意可判断0<a<1. ∴ 0<a+1<2. ∴ f(a+1)>f(2). 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】函数 f(x)=-x2+4x-4在区间[1,3]上( A.没有零点 B.有一个零点 C.有两个零点 D.有无数个零点 【答案】B 【解析】令-x2+4x-4=0,可解得 x=2. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】若函数 y=(x+1)(x-a)为偶函数,则 a 等于( A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】C 【解析】当 a=1时,y=(x+1)(x-1)=x2-1,函数为偶函数,当 a 为其他数值时,函数解析式中都含有 x 的一次 项,不能成为偶函数. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 ) ) )

【题文】设 a=22.5,b=2.50,

,则 a,b,c 的大小关系为(

)

A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c 【答案】C

【解析】a=22.5>1,b=2.50=1, 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

,∴ a>b>C.

【题文】设 A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列图形中表示集合 A 到集合 B 的函数图形的是(

)

A.

B.

C.

D. 【答案】D 【解析】A、B 选项中值域为[0,2] ,C 选项中一个 x 对应两个 y,不是函数图象,故应选 D. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】已知集合 A={x|x>0},B={x|-1≤x≤2},则 A∪ B 等于( A.{x|x≥-1} B.{x|x≤2} C.{x|0<x≤2} D.{x|-1≤x≤2} 【答案】A )

【解析】将两个数集表示在数轴上,找出这两个集合覆盖的所有部分即得结论. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】已知定义域在[1,m]上的函数 f(x)= A.1或3

x2-x+

的值域也为[1,m],则 m 等于(



B.1或

C.3或 D.3 【答案】D

【解析】∵ f(x)的对称轴 x=1∴ f(x)在[1,m]上单调递增.于是 解得:m=3或 m=1(舍). 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】



m2-m+

=m.

【题文】给出函数 f(x)=

则 f(log23)等于(



A.-

B.

C.

D. 【答案】D

【解析】f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3)= 【难度】中档

=

=3-1· 2-3=

.

【题型】单选题 【错题简评】 【题文】对某种产品市场产销情况调查如下图所示,其中 L1表示产品各年年产量的变化规律,L2表示产品各 年的销售情况.下列叙述,你认为较合理的是( )

① 产品产量、销售量均以直线上升,仍可按原计划进行下去 ② 产品已经出现了供大于求的情况,价格趋跌 ③ 产品的库存积压将越来越严重,应压缩产量或扩大销售量 ④ 产品的产、销情况均以一定的年增长率递增 A.① ② ③ B.① ③ ④ C.② ④ D.② ③ 【答案】D 【解析】由图象可知总产量大于总销售量.于是② 正确,由图象可知年产量增长速度大于销售速度,故③ 正 确. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2000年的湖水量为 m,从2000年起,过 x 年后湖水量 y 与 x 的函数关系是( A.y= B.y= C.y=0.950x· m D.y=(1-0.150x)· m 【答案】A 【解析】由题意得 y=m 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 ,于是选 A. )

【题文】设函数 A.奇函数且在(-∞,+∞)上是增函数

,其中 x-log2f(x)=0,则函数 F(x)是(



B.奇函数且在(-∞,+∞)上是减函数 C.偶函数且在(-∞,+∞)上是增函数 D.偶函数且在(-∞,+∞)上是减函数 【答案】A

【解析】由条件得 f(x)=2x,F(x)= 故选 A. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

=2x-2-x.

∵ F(-x)=-F(x),∴ F(x)为奇函数.取 x1=1,x2=2得 F1<F2.

【题文】已知 a∈ R,集合 A={x|x2=1}与 B={x|ax=1},若 A∪ B=A,则 a 能取到的所有值是( A.1 B.-1 C.-1或1 D.-1或0或1 【答案】D



【解析】若 B= 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

,A∪ B=A,此时 a=0.

若 B≠



=1或

=-1,

∴ a=1,或 a=-1.

【题文】若方程 x2-px+6=0的解集为 M,方程 x2+6x-q=0的解集为 N,且 M∩N={2},那么 p+q 等于( A.21 B.8 C.7 D.6 【答案】A



【解析】由条件得 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】



∴ p+q=21.

【题文】某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3 000+20x-0.1x2(0<x<740,x∈ N*),若 每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为( A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 )

【答案】C 【解析】由条件得3 000+20x-0.1x2≤25x, 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】若 loga2<logb2<0,则( A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 【答案】B 【解析】由对数函数性质可知 a、b 都为小于1的正数,且此时函数底数越小,对数值越大. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】已知 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a、b∈ R,且 a+b≤0,则( A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b) B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b) C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 【答案】D 【解析】∵ a+b≤0,∴ a≤-b, 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】函数 f(x) (x∈ R)的图象如图所示,则函数 g(x)=f(loga x) (0<a<1)的单调减区间是( ) ∴ f(a)≥f(-b). ∵ a≤-b,∴ -a≥b,∴ f(-a)≤f(b), ∴ f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). ) ) 即 x2+50x-30 000≥0,解得 x≥150或 x≤-200(舍), 于是选 C.

A.[0,



B.(-∞,0)∪ [ C.[ D.[ ,1] ,

,+∞)



【答案】C

【解析】由图象可知在(-∞,0)和(

,+∞)上 f(x)均是减函数,在[0,

]上 f(x)是增函数.

又∵ 0<a<1,∴ loga x 是减函数.利用复合函数的单调性可知满足不等式0≤loga x≤ 间,即减区间为[a,1]. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

的 x 的值即为单调减区

【题文】若函数 f(x)= loga(x+1) (a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1] ,则 a 等于(

)

A. B.

C. D.2 【答案】D 【解析】∵ f(x)= loga(x+1)的定义域是[0,1] ,∴ 0≤x≤1,则1≤x+1≤2. 当 a>1时,0= loga 1≤loga(x+1)≤loga 2=1,∴ a=2. 当0<a<1时,loga 2≤loga(x+1)≤loga 1=0与值域是[0,1]矛盾.综上,a=2. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】两个集合 A 与 B 之差记作“A/B”,定义为 A/B={x|x∈ A 且 x B},如果集合 A={x|log2x<1,x∈ R}, B={x||x-2|<1,x∈ R},那么 A/B 等于( A.{x|x≤1} B.{x|x≥3} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x≤1} 【答案】D 【解析】 【难度】基础 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】已知函数 y=f(2x)的定义域是[-1,1] ,则函数 y=f(log2x)的定义域是( A.(0,+∞) B.(0,1) ) )

C.[1,2] D.[ ,4]

【答案】D 【解析】∵ 函数 y=f(2x)的定义域是[-1,1] ,∴ -1≤x≤1.

∴ ≤2x≤2.∴ ≤log2x≤2. ∴ ≤x≤4.

【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】已知函数 f(x)=lg(x+2) ,若0<c<b<a,则





的大小关系为(

)

A.





B.





C.





D.





【答案】B 【解析】可设 c=1,b=2,a=3.



=log23,

=

=1,

= 显然 log23>1> 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

. .∴ 选 B.

【题文】函数 y=1-

的图象是(

)

A.

B.

C.

D. 【答案】B

【解析】本题考查函数的图象变换.函数 y=1-

可化为 y-1=-

,其图象关于点(1,1)对称,且形

状与 y=-

相同.

【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )

A.

B.

C.

D. 【答案】C 【解析】f(a)· f(b)<0 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 (a,b)内才有零点.

【题文】函数 f(x)定义在整数集上,且有 f(x)= A.996 B.997 C.998 D.999 【答案】C 【解析】∵ 999<1 000, ∴ f(999)=f[f(1 004) ]. ∵ f(1 004)=1 001, ∴ f[f(1 004) ]=f(1 001)=1 001-3=998.X 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】设集合 A.B.I 均为非空集合,且满足 A A.( A)∪ B= I B.( A)∪ ( B)=I B

则 f(999)等于(

)

I,则下列各式不正确的是(

)

C.A∩( B)= D.( A)∩( B)= B

【答案】B 【解析】本题考查集合的运算性质.A 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ,若 f(α)· g(β)<0(α<β) ,则 f(x)=0在(α,β)内的实根的个 数为( A.0 B.1 C.2 D.无法确定 【答案】B 【解析】结合图象,知 f(α)· g(β)<0时,曲线在区间(α,β)上穿过 x 轴一次,∴ f(x)=0在(α,β) 内有且仅有一个根. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】已知 y=logm(2-mx)在[0,1]上是 x 的减函数,则 m 的取值范围是( A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.[2,+∞) 【答案】C 【解析】由题意 m>0,且 m≠1,∴ 内函数 t=2-mx 是减函数.∴ 只要外函数 y=logmt 是增函数即可.∴ m>1.又 当0≤x≤1时,2-mx>0,∴ m<2. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】若 a≠0,则函数 y=ax+b 和 y=bax 的图象可能是( ) ) ) B I,则( A)∪ ( B)= (A∩B)= A≠I.

A.

B.

C.

D. 【答案】C 【解析】本题考查一次函数和指数函数图象的性质. 在本题的解答过程中要根据图象综合考虑 a、b 的取值范围. A 中,由一次函数图象得 a>0,b=1;由指数函数图象得0<ba<1. B 中,由一次函数图象得 a>0,b>1;由指数函数图象得0<ba<1. C 中,由一次函数图象得 a<0,0<b<1;由指数函数图象得 ba>1. D 中,由一次函数图象得 a<0,0<b<1;由指数函数图象得0<ba<1. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】定义在 R 上的偶函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞]上是减函数,又 f(7)=6,则 f(x)( A.在[-7,0]上是增函数,且最大值是6 B.在[-7,0]上是减函数,且最大值是6 C.在[-7,0]上是增函数,且最小值是6 D.在[-7,0]上是减函数,且最小值是6 【答案】B 【解析】f(x)是偶函数,得 f(x)关于 y 轴对称,如图,则 f(x)在[-7,0]上是减函数,且最大值为6. )

【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】已知函数 f(x)=lg(x+2) ,若0<c<b<a,则





的大小关系为(

)

A.





B.





C.





D.





【答案】B 【解析】可设 c=1,b=2,a=3.



=log23,

= .∴ 选 B.

=1,

=

.

显然 log23>1> 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】函数 y=1-

的图象是(

)

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】本题考查函数的图象变换.函数 y=1-

可化为 y-1=-

,其图象关于点(1,1)对称,且形

状与 y=-

相同.

【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】函数 f(x)=lnxA.(1,2) B.(2,e) C.(e,3) D.(e,+∞) 【答案】B

的零点所在的大致区间是(

)

【解析】本题考查函数变号零点(奇重零点)的性质. 若函数 f(x)在区间[a,b]上满足 f(a)f(b)<0, 则函数 f(x)在区间[a,b]上至少有一个变号零点.

本题中 f(2)=ln2-

=ln2-1<0,

f(e)=lne-

=1-

>0,满足 f(2)f(e)<0.

【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )

A.

B.

C.

D. 【答案】C 【解析】f(a)· f(b)<0 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 (a,b)内才有零点.

【题文】函数 f(x)定义在整数集上,且有 f(x)= A.996 B.997 C.998 D.999 【答案】C

则 f(999)等于(

)

【解析】∵ 999<1 000,∴ f(999)=f[f(1 004)].∵ f(1 004)=1 001,∴ f[f(1 004)]=f(1 001)=1 001-3=998. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】f(x)= A.3

,则 f(1)+f(2)+f(

)+f(3)+f(

)+f(4)+f(

)等于(

)

B. C.4

D. 【答案】B

【解析】f(x)+f(

)=

+

=1,

∴ f(2)+f(

)=f(3)+f(

)=f(4)+f(

)=1.

又 f(1)=

,∴ 原式=

.

【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】设集合 A.B.I 均为非空集合,且满足 A A.( A)∪ B=I B.( A)∪ ( B)=I C.A∩( B)= D.( A)∩( B)= B B I,则下列各式不正确的是( )

【答案】B 【解析】本题考查集合的运算性质.A 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】设 f(x)、g(x)都是单调函数,有下列 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】 ① 若 f(x)是增函数, g(x)是增函数, 则 f(x)-g(x)是增函数; ② 若 f(x)是增函数, g(x)是减函数, 则 f(x)-g(x) 是增函数;③ 若 f(x)是减函数,g(x)是增函数,则 f(x)-g(x)是减函数;④ 若 f(x)是减函数,g(x)是减函数,则 f(x)-g(x)是减函数. 其中正确的命题是( A.① ③ B.① ④ C.② ③ D.② ④ 【答案】C 【解析】g(x)是单调函数,-g(x)也是单调函数,它与 g(x)有相反的增减性.两个增函数的和仍是增函数,两 个减函数的和仍是减函数,∴ ② ③ 对. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 ) B I,则( A)∪ ( B)= (A∩B)= A≠I.

【题文】f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则 f(x)在(2,5)上是( A.增函数 B.减函数 C.有增有减 D.增减性不确定 【答案】B

)

【解析】f(x)是偶函数,即 f(-x)=f(x),∴ m=0.∴ f(x)=-x2+3.∴ 在(2,5)上为减函数. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】设 a=60.7,b=0.76,c=log0.76,则 a、b、c 的大小关系是( A.c<b<a B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b 【答案】A 【解析】利用函数图象或特值.可以看出 a>1;0<b<1;c<0. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,则 f(2)等于( A.-26 B.-18 C.-10 D.10 【答案】A 【解析】f(x)=x5+ax3+bx-8;f(-2)=(x5+ax3+bx)-8=10,则(x5+ax3+bx)=18;f(2)=-(x5+ax3+bx)-8=-26. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 ) )

【题文】已知 f(x)= A.(0,1)

是(-∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值范围是(



B.(0,

)

C.[

,

)

D.[

,1)

【答案】A 【解析】当 x<1时,f1(x)=(3a-1)x+4a 为减函数,需3a-1<0,

∴ a< 当 x≥1时,f2(x)=logax 为减函数,需0<a<1. ②



又函数在(-∞,+∞)上为减,则需[f1(x)]min≥[f2(x)]max,即 f1(1)≥f2(1)代入解得

a≥



① ② ③ 取交集,∴ ≤a< 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

.

【题文】设函数 f(x)=

的定义域为{x|x≥-2},则实数 a 的值为(



A. B.0

C. D.不存在 【答案】C

【解析】当 x=0时,f(x)=a,但 f(x)=

没有意义,也就是说方程

=a 有增根 x=0.

原题意转化为“求当 a 取何值时,方程

=a 有增根”.

解:依题意得,方程

=a 有增根 x=0.整理得,2+x=(ax+

)2,∴ x=0或 a2x+2

a-1=0,把增根

x=0代入 a2x+2 错的选项.

a-1=0得2

a-1=0,解得,a=

.因此,选 C.A、B、D 三个选项是给考生设置的易选

【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】甲乙二人同时从 A 地赶往 B 地,甲先骑自行车到中点改为跑步,而乙则是先跑步到中点改为骑自 行车,最后两人同时到达 B 地,又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,并且二人骑车速度均比跑步速度 快.若某人离开 A 地的距离 s 与所用时间 t 的函数关系可用图象表示,则下列给出的四个函数图象中,甲、 乙各人的图象只能是( )

A.甲是图① ,乙是图② B.甲是图① ,乙是图④ C.甲是图③ ,乙是图② D.甲是图③ ,乙是图④ 【答案】B 【解析】从图象中可以看出,① ③ 是先快后慢,② ④ 是先慢后快,因此① ③ 对应的是甲,② ④ 对应的是乙,再 根据“甲骑自行车比乙骑自行车的速度快”进行判断. 依题意得,① ③ 对应的是甲,② ④ 对应的是乙,而② 中反映出来的自行车的速度是最快的,∴ ② 不能是乙, 因此,乙是图④ ;如果甲是图③ ,则与题设条件“甲骑自行车比乙骑自行车的速度快”矛盾,∴ 甲不是图③ , ∴ 甲是图① ,因此,选 B. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】函数 y= A.{x|0<x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|x>0} D.{x|x≥0} 【答案】A

的值域是(



【解析】求值域要在定义域中求,本题中函数的定义域为 R,∴ 要求值域就要对函数解析式进行变形,由 于分子和分母的“次数”相同,因此想到部分分式法.或者根据指数函数 y= 2x 的值域为正,即2x>0来求解.

解法一:因此 y=

=1-

.

又∵ 2x+1>1,∴ 0< 因此,选 A.

<1,∴ 0<y<1.

解法二:由2x=

>0,

得0<y<1.因此,选 A. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】某一种商品降价10%后,欲恢复原价,则应提价( A.10% B.9% C.11% D.1119% 【答案】D 【解析】如果设现价为 a,那么是在 a 的基础上降价10%,如果设降价10%后的价格为 b,则欲恢复原价应该 在 b 的基础上恢复.应用公式:b=a(1-10%).若设应提价 x%才能恢复原价.则 a=b(1+x%). 设提价 x%,则 a(1-10%) (1+x%)=a, )

∴ x=

.因此,选 D.

【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】已知二次函数图象的对称轴是 x=2,又经过点(2,3) ,且与一次函数 y=3x+b 的图象交于点(0, -1) ,则过一次函数与二次函数的图象的另一个交点的坐标是( A.(1,2) B.(2,1) C.(-1,2) D.(1,-2) 【答案】A 【解析】 要想求两个函数图象的交点的坐标, 首先必须求出两个函数的解析式, 然后将解析式联立方程组, 方程组的解就是两个函数图象交点的坐标. 已知二次函数图象的对称轴为 x=2,且又经过点(2,3) ,则二次函数图象的顶点为(2,3) ,设二次函数 为 y=a(x-2)2+3;把(0,-1)代入,得 a=-1, ∴ y=-x2+4x-1① 再把(0,-1)代入 y=3x+b,得 b=-1, ∴ y=3x-1② , )

联立① ② 得 消去 y,得 x2-x=0,

∴ 方程组的解为





因此,所求另一个交点坐标为(1,2) ,故选 A. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】下列各等式中,正确的是( A. B. C.a0=1 D. 【答案】D 【解析】要想判断等式是否正确,首先要使等式两边都有意义,然后计算两边的值,如果相等则正确,如 果不相等,则不正确,在计算时要充分应用幂的运算法则. 解: =|a|,由于不知道 a 的符号,因此 A 不正确;∵ >0, >1,∴ <0,∴ = ≠ .因此 B . =|a| )

不正确;如果 a=0,则 a0没有意义,因此 C 也不正确;∵ ∴ D 正确.因此,选 D. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】下列各图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是(



A.

B.

C.

D. 【答案】D 【解析】判断一幅图象表示的是不是函数的图象,关键是在图象中能不能找到一个 x 对应两个或两个以上 的 y,如果一个 x 对应两个以上的 y,那么这个图象表示的就不是函数的图象. A 的图象表示的不是函数的图象,∵ 存在一个自变量 x 的取值(如:x=0)有两个 y 与之对应,不符合函数的定 义.因此 A 不正确;B 的图象是关于 x 轴对称也不符合函数的定义.因此 B 也不正确;C 的图象是关于原点 对称,但是当自变量 x=0时,有两个 y 值与之对应,不符合函数的定义.∴ C 选项也不正确;D 表示的图象 符合函数的定义,因此它表示的是函数的图象.因此,选 D. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】集合 P={x||x|<2},Q={x+x<2}则( A.P∩Q=(0,2) B.P∩Q=[0,2] C.P D.P Q Q )

【答案】B 【解析】 集合 P 和集合 Q 都是不等式的解集,要想确定集合 P 和集合 Q 的关系或求它们的交集,就要分别化 简集合 P 和 Q,然后再求 P∩Q,判断两个集合 P 和 Q 的关系. 解:P={x|-2<x<2}, Q={x|0≤x<4},∴ P∩Q= [0,2), 因此, B 正确; 所以 A 错误; P∩Q≠Q, 所以 C 错误; P∩Q≠P, 所以 D 错误. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】设 f 是从集合 A 到集合 B 的映射,下列四个说法,其中正确的是( ① 集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有元素与之对应 应元素也不同 A.① 和② B.② 和③ C.③ 和④ D.① 和④ 【答案】D 【解析】根据映射的定义,从集合 A 到集合 B 的映射 f,只要求集合 A 的每一个元素在集合 B 中都有“唯 一”“确定”的元素与之对应即可.即集合 A 中不同的元素在集合 B 中的对应元素可以相同,也没有要求集合 B 中的元素在集合 A 中都要有对应元素. 与之对应 ③ 集合 A 中不同的元素在集合 B 中的对应元素也不同 ) ② 集合 B 中的每一个元素在集合 A 中也都有元素 ④ 集合 B 中不同的元素在集合 A 中的对

解:① 符合映射的定义,∴ 正确;映射的定义不要求集合 B 中的元素在集合 A 中都要有对应元素,∴ ② 不正 确;集合 A 中不同的元素在集合 B 中的对应元素可以相同,∴ ③ 不正确;④ 正确.∵ 如果集合 B 中不同的元 素在集合 A 中的对应元素相同,那么就违背了映射定义的“唯一”性原则.综上,① 和④ 正确,因此,选 D. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】已知集合 A={x|x2-5x+6≤0},集合 B={x||2x-1|>3},则集合 A∩B=( A.{x|2≤x≤3} B.{x|2≤x<3} C.{x|2<x≤3} D.{x|-1<x<3} 【答案】C 【解析】A={x|2≤x≤3},B={x|x<-1或 x>2},∴ A∩B={x|2<x≤3}. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈ M”是“a∈ N”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【难度】基础 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】已知对不同的 a 值,函数 f(x)=2+ax-1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 P,则 P 点的坐标是( A.(0,3) B.(0,2) C.(1,3) D.(1,2) 【答案】C 【解析】函数图象过定点,则函数解析式中含有待定系数(也叫参数)的“项”或“部分表达式”一定为常数, 本题要想使 ax-1为常数,且 a 取不同的值,因此要求 x-1=0.从而得解. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】已知集合 A={m1,m2},B={n1,n2,n3},则从 A 到 B 的不同映射共有( A.3个 B.6个 ) ) ) )

C.9个 D.12个 【答案】C 【解析】根据映射的定义,集合 A 中的这两个元素可以同时对应集合 B 中的同一个元素,也可以对应集合 B 中的不同的两个元素,据此将所有情况分类枚举出来即可. 当集合 A 中的两个元素同时对应集合 B 中的一个相同的元素时,有3种映射;当集合 A 中的两个元素与集 合 B 中的不同的两个元素相对应时,有6种映射.∴ 一共有9种不同的映射.因此,选 C. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】在 y=(

)x,

,y=x2,

四个函数中,当0<x1<x2<1时,使 f(

)>

恒成立的函数个数是( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C



【解析】如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 f( 考查函数图象是上凸还是下凹.

)表示 C 点函数值,

表示 D 点函数值.本题主要

【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】下列根式,分数指数幂互化中正确的是( A. B. (x>0) (y<0) )

C. D.

= =-

(x≠0) (x≠0)

【答案】C 【解析】A 中没有注意到二次根号下非负;B 中没有注意到 y 是负值;C 正确;D 中把负号直接拿下来是错误 的. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】定义运算 a*b, a*b= A. (0, 1) B. (-∞, 1) C.[1, +∞) D. (0, 1] 【答案】D

,例如1*2=1,则函数 y=1*2x 的值域为(



【解析】根据定义,知1*2x= 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

,而又知2x>0,所以 y=1*2x 的值域为(0,1].

【题文】f(log2x)=x,则 f(

)等于(



A.

B. C. 1 D. 2 【答案】D

【解析】采用换元法,令 log2x=t,则 x=2 t,则原函数即 f(t)=2 t,则 f( 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

)=

=2.

【题文】函数 f(x)= A. (-∞, 0) B. [0, +∞) C. (-∞, 0] D. (-∞, +∞) 【答案】C

的定义域为(



【解析】根据根号的意义,知1-2x≥0,即2x≤1=20,所以 x≤0. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】函数 y=2 -|x|的示意图是( )

A.

B.

C.

D. 【答案】D 【解析】按照图象变换规律画草图即可.由 y=2x→y=2 -x→y=2 -|x|. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】下列函数中是偶函数的是( )

A. y=B. y=x2+2, x∈ (-3,3] C. y=x -2 D. 【答案】C 【解析】A 中函数为奇函数;B 中函数定义域不对称,没有奇偶性;D 中函数定义域为(0,+∞),没有奇偶性. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是( A. y=2x2-x+3 )

B. y=( C. D.

)x

【答案】C 【解析】采用数形结合的方法,画出每个函数图象的草图即可. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】给出下列四个对应,其中构成映射的是( )

A. (1)(2) B. (1)(4) C. (1)(3)(4) D.(3)(4) 【答案】B 【解析】对于映射 f: A→B,① A 中没有空元素;② 一对一或多对一都成立;③ 一对多不成立.

【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】设全集 S={a, b, c, d, e},M={a, c, d},N={b, d, e},那么( SM)∩( SN)等于( A. B. {d} C. {a, c} D. {b, e} 【答案】A 【解析】根据补集的定义直接求解或通过 Venn 图求解. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈ P , b∈ Q},若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q 中 元素的个数是( A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】采用列举的方法即可,P+Q={1,2,6,3,4,8,7,11},其中要注意集合元素的互异性. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】已知函数 f(x)=ax3+bx-2,且 f(-2)=10,则 f(2)等于( A.-14 B.-12 C.-10 D.10 【答案】A 【解析】解本题不要陷入求 a、b 的误区,应注意到 g(x)=f(x)+2=ax3+bx 为奇函数,再利用奇函数性质解. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】某种电热水器的水箱盛满水是200升,加热到一定温度,即可用来洗浴.洗浴时,已知每分钟放水 34升,在放水的同时按4升/分钟2的匀加速度自动注水.当水箱内的水量达到最小值时,放水程序自动停止, 现假定每人洗浴用水量为65升,则该热水器一次至多可供( A. 3人洗浴 B. 4人洗浴 ) ) ) )

C. 5人洗浴 D. 6人洗浴 【答案】B

【解析】 设经过时间 t 时水箱中的水量为 y,可知 y=2t2-34t+200,当 t= 易求出至多可供四人洗浴. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】下列四个图象中,是函数图象的是( )

=

时,y 取得最小值,此时放水为172,

A. (1) B. (1)(3)(4) C. (1)(2)(3) D.(3)(4) 【答案】B 【解析】注意到函数的图象的特点,不能存在一个自变量的取值对应两个或两个以上的函数值. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】设 f(x)=lg(10 x+1)+ax 是偶函数,g(x)= A. 1 B. -1

是奇函数,那么 a+b 的值为(



C. -

D.

【答案】D

【解析】f(x)=lg(10 x+1)+ax 是偶函数,可知 f(-x)=lg 是奇函数,可知 g(0)=0,可得 b=1. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

-ax=f(x),可求出 a=-

,g(x)=

【题文】函数 y=x2-2x 在区间[a, b]上的值域是[-1, 3],则点(a, b)的轨迹是图中的(



A.线段 AB 和线段 AD B.线段 AB 和线段 CD C.线段 AD 和线段 BC D.线段 AC 和线段 BD 【答案】A 【解析】本题主要考查了二次函数的图象,可注意到分类讨论,借助图象可知,当 a=-1时,1≤b≤3,当 b=3 时,-1≤a≤1,由上图可得答案. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】函数 y=f(x+1)与 y=f 1(x+1)的图象(




A.关于直线 y=x 对称 B.关于直线 y=x+1对称 C.关于直线 y=x-1对称 D.关于原点对称 【答案】B 【解析】举特殊的函数如 f(x)=x+1,分别求出 f(x+1)=x+2,f -1(x+1)=x,显然这两个函数图象是关于直线 y=x+1 对称的. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】函数 y=

,x∈ (0,+∞)的反函数是(



A. y=ln

, x∈ (-∞,1)

B. y=ln

, x∈ (-∞,1)

C. y=ln

, x∈ (1,+∞)

D. y=ln 【答案】D

, x∈ (1,+∞)

【解析】可先分离常数 y= 反解出 x,最后 x 与 y 互换. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

=1+

,又因为 x∈ (0,+∞),可知 y>1,然后按照求反函数的方法,即

【题文】已知函数 y=f(2 x)的定义域是[-1, 1],则函数 y=f(log2x)的定义域是( A.(0,+∞) B.(0,1) C.[1, 2] D.[ , 4]



【答案】D

【解析】函数 y=f(2 x)的定义域是[-1,1],可知2x∈ [ 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

,2],所以 log2x∈ [

,2] ,可解出 x∈ [

,4].

【题文】① c=0时,y=f(x)是奇函数;② b=0,c>0时,方程 f(x)=0只有一个实根; ③ y=f(x)的图象关于(0,c)对称;④ 方程 f(x)=0至多有两个实根.其中正确的命题是( A. ① ④ B. ① ③ C. ① ② ③ D. ① ② ④ 【答案】C 【解析】要注意到函数 f(x)=x|x|+bx+c 的图象同参量 b 和 c 之间的关系. 【难度】中档 【题型】单选题 )

【错题简评】 【题文】同时满足下列条件:(1)有反函数;(2)是奇函数;(3)其定义域集合等于值域集合的函数是( A. f(x)= B. C. f(x)=-x3 D. f(x)=x5+1 【答案】C 【解析】本题可使用排除法,借助是奇函数可去掉 A、B、D 三个选项. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 )

【题文】设 f(x)=|x-1|-|x|,则 f[f(

)]等于(



A. B. 0

C. D. 1 【答案】D

【解析】这是一个多层法则求值问题,先内后外,易得到答案.因为 f( 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

)=0,而 f(0)=1.

【题文】设集合 P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义 P※ Q={(a, b)|a∈ P, b∈ Q},则 P※ Q 中元素的个数为( A. 3 B. 4 C. 7 D. 12 【答案】D



【解析】 这是一创新题,在给出一个新定义的条件下,通过理解然后简单的应用之,可使用列举法.P※ Q 中元素 分别为(3,4), (3,5), (3,6), (3,7), (4,4), (4,5), (4,6), (4,7), (5,4), (5,5), (5,6),(5,7)共12个. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】

【题文】设全集 U=R,集合 M={x|x>1},P={x|x2>1},则下列关系中正确的是( A. M=P B. P M C. M D. P
UM∩P=



【答案】C 【解析】借助两个集合中元素的取值范围易知集合 M 是集合 P 的子集. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】 【题文】以下命题正确的是( ) ① 幂函数的图象都经过(1,1) ② 幂函数的图象不可能出现在第四象限 ③ 当 n=0时,函数 y=xn 的图象是 一条直线 ④ 若 y=xn(n<0)是奇函数,则 y=xn 在定义域内为减函数 A.② ③ B.① ② C.② ④ D.① ③ 【答案】B 【解析】本题考查幂函数性质,如果没有记住性质的话,可以画几个简单幂函数的图象观察得出性质,以 作出正确判断.但对命题③ 要考虑全面,才能判断正确. 根据幂函数的性质,① 正确;∵ 在幂函数中,当自变量为正时,函数值永远为正数,∴ 幂函数的图象不可能 出现在第四象限,因此② 正确;因此当 x=0,n=0时,幂函数没有意义,∴ ③ 不正确;∵ 若 y=xn(n<0)是 奇函数,则 y=xn 在定义域内为增函数,因此④ 也不正确.综上,选 B. 【难度】中档 【题型】单选题 【错题简评】


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