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甘肃兰州一中2014—2015学年度高一上学期期中考试数学试题_图文

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甘肃兰州一中 2014—2015 学年度上学期期中考试

高一数学试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填在试卷的答题卡中.) 1.已知集合 A ? {1,16, 4 x} , B ? {1, x } ,若 B ? A ,则 x ?
2

( C ) D. 0 或 ?4 ( B )

A. 0
2.函数 y ?

B. ?4

C. 0 或 ?4

2x ? 3 的定义域是 x?2 ? ?
B.

A. ? ,?? ? C. ? ,2 ? ? ?2,?? ?

?3 ?2

?3 ? ,2 ? ? ?2,?? ? ? ?2 ?

?3 ?2

? ?

D. (??, 2)∪(2, ? ?)

3.点 ( x, y ) 在映射 f:A ? B 作用下的象是 ( x ? y, x ? y ) ,则点 (3,1) 在 f 的作用下的原

象是 A. ? 2,1? B. ? 4, 2 ? C. ?1, 2 ? D. ? 4, ?2 ?

( A )

4.下列四组函数中,表示相等函数的一组是



A )

A. f ( x) ? x , g ( x) ? x 2
C. f ( x) ? x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 x ?1
1 8

B.

f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( x ) 2

D.

f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1, g ( x ) ? x2 ? 1
( D )

5.幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点 (?2,? ) ,则满足 f ( x) ? 27 的 x 的值为 A.3 B.

1 27

C.27

D.

1 3
( C )

6.已知函数 f ( x ? 1) ? x ? 1 ,则函数f(x)的解析式为 A.f(x)=x
2

B.f(x)=x +1(x≥1) D.f(x)=x -2x(x≥1)
2

2

C.f(x)=x -2x+2 (x≥1)

2

2

7.设 a ? ( ) 5 , b ? ( ) 5 , c ? ( ) 5 ,则 a, b, c 的大小关系是

2 5

3

2 5

2

3 5

( C )

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A. a ? b ? c

B. c ? a ? b

C. a ? b ? c

D. b ? c ? a

8.若函数 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,且在 (0,??) 内是增函数,又 f (2) ? 0 ,则不等式

xf ( x) ? 0 的解集为
A. ? ?2, 0 ? C. ? ??, ?2 ?

( B ) B. ? ?2, 0 ? D. ? ??, ?2 ?

? 2, ?? ?

? 0, 2 ?

? 2, ?? ?
x x

? 0, 2 ?
( C )

9.函数 f ( x) ? 3 ? 4 ? 2 在 x ? ?0, ? ? ? 上的最小值是 A. ?

1 12

B .0

C.2

D.10

10.设函数 f ( x) ? ? A. [?1,2]

?21? x , x ? 1 ?1 ? log 2 x, x ? 1
B. [0,2]

,则满足 f ( x) ? 2 的取值范围是 C. [1,??) D. [0,??)

( D )

11.设 x, y 是关于 m 的方程 m 2 ? 2am ? a ? 6 ? 0 的两个实根,则( x -1)2+( y -1)2 的最小值 是 A. . 12 ( B )

1 4

B.8

C.18

D.

3 4

12.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x∈ R,都有 f(x-2)=f(x+2),且当
1? x ? ? ?2, 0? 时, f ( x) ? ? ? ? ? 1 ,若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f(x)-loga(x+2)= ?2? 0(a>1)恰有 3 个不同的实数根,则 a 的取值范围是 ( D ) 3 3 A.(1,2) B. ? 2, ?? ? C. 1, 4 D. 4, 2
x

?

?

?

?

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分). 13.函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 5 x ? 4) 的单调递减区间是
2

. (??,1)

14.函数 y=

1 的值域是___________【答案】 (0,1) 2 +1
x

15.已知函数 f ( x) ? 【答案】 2

b ? 2x 2 ?1
x

为定义在区间 ?? 2a,3a ? 1? 上的奇函数,则 a ? b ? ________

16.定义在 R 上的函数

f ( x)满足 : f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0, 且函数f ( x ? 1) 为奇函数,对于下

列命题: ① 函数 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? f ( x) ; ② 函数 f ( x) 图象关于点(1,0)对称;

③ 函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? 2 对称; ④ 函数 f ( x) 的最大值为 f (2) ;

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⑤f (2009) ? 0 .其中正确的序号为________. 【答案】① ② ③ ⑤

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 6 分) 设集合 A ? ? x | a ? 1 ? x ? a ? 1? ,集合 B ? ? x | ?1 ? x ? 5? , (1)若 a ? 5 ,求 A 【答案】 (1) A

B ; (2)若 A B ? B ,求实数 a 的取值范围.

B ? ? 4,5?

(2) 0 ? a ? 4 18.(本大题共 2 个小题,每小题 4 分,共 10 分) (1)若 a ? 0, b ? 0 ,化简:

(2a 3 b 2 ) ? (?6a 2 b 3 ) ?3a b
1 6 5 6

2

1

1

1

? (4a ? 1)

(2)若 log 2 3 ? a , log 5 2 ? b ,试用 a, b 表示 log 2 45 【答案】

(1)

(2a 3 b 2 ) ? (?6a 2 b 3 ) ?3a b
1 6 5 6

2

1

1

1

2 ? (?6) a 3 ? (4a ? 1) ? ? ?3

2 1 ? 2 1 6

?b2
5 6

1 1 ? 3

? (4a ? 1)

a b

7

5

? 4?

a 6b6 a b
1 6 5 6

? (4a ? 1) ? 4a ? (4a ? 1) ? 1

( 2 ) ∵ log 2 45 ? log 2 (5 ? 9) ? log 2 5 ? log 2 9 ? log 2 5 ? 2 log 2 3 而 log 5 2 ? b , 则

log2 5 ?

1 1 2ab ? 1 ,∴ . log 2 45 ? 2a ? ? b b b 1? x . 1? x

19. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? log 2

(1)判断 f ? x ? 的奇偶性; (2)判断 f ? x ? 在定义域上的单调性并用单调性的定义证明. 【答案】 :

1? x 1? x 有意义,则 ,关于原点对称. ? 0 ,解得定义域为(-1,1) 1? x 1? x 1? x 1? x 又因为 f ? ? x ? ? log 2 ? ? log 2 ? ? f ? x ? 所以 f ? x ? 为奇函数. 1? x 1? x
解: (1)若 f ? x ? ? log 2

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(2)函数 f ? x ? 在定义域(-1,1)上单调递减. 证明:任取 x1 , x2 ? ? ?1,1? 且 x1 ? x2 ,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? log 2 ? log 2

?1 ? x1 ??1 ? x2 ? ?1 ? x1 ??1 ? x2 ? ?1 ? x2 ??1 ? x1 ? ? log 2 ?1 ? x1 ??1 ? x2 ?
因为 x1 , x2 ? ? ?1,1? 且 x1 ? x2 ,所以 即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0

1 ? x1 1 ? x2 ? log 2 1 ? x1 1 ? x2

?1 ? x2 ??1 ? x1 ? ? 1 1 ? x2 1 ? x1 ? 1, ? 1, 1 ? x1 1 ? x2 ?1 ? x1 ??1 ? x2 ?

所以 f ? x ? 在区间(-1,1)上为减函数. 20. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x . (1)写出函数 f ( x), x ? R 的解析式;
2

(2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? 2, x ? ?1,2? ,求函数 g ( x) 的最小值 h(a ) . 【答案】 (1) f ( x) ? ?
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 2 ? ? x ? 2 x, x ? 0

(2)① 当 a ? 1 ? 1 时,即 a ? 0

g ( x)min ? g (1) ? 1 ? 2a
② 当 1 ? a ? 1 ? 2 时,即 0 ? a ? 1

g ( x) min ? g (a ? 1) ? ?a 2 ? 2a ? 1
③ 当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 1

g ( x) min ? g (2) ? 2 ? 2a
?1 ? 2a, a ? 0 ? 综上: h(a ) ? ?? a 2 ? 2a ? 1, 0 ? a ? 1 ? 2 ? 4a, a ? 1 ?
21. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 ? ?1,1? 上 的 奇 函 数 , 且 f (1) ? 1 , 若 x, y ? ? ?1,1? , x ? y ? 0 有

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( x ? y ) ? ? f ( x) ? f ( y ) ? ? 0 .
(1)判断 f ( x) 的单调性,并加以证明; (2)解不等式 f ( x ? ) ? f (1 ? 2 x) ; (3)若 f ( x) ? m ? 2am ? 1 对所有 x ? [?1,1] , a ? ? ?1,1? 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

1 2

(1)证:任取 x1 , x 2 ? [?1,1] ,且 x1 ? x 2 ,则 x 2 ? x1 ? 0 由题意 ( x 2 ? x1 )[ f ( x 2 ) ? f (? x1 )] ? 0 因为 f ( x) 为奇函数,所以 ( x 2 ? x1 )[ f ( x 2 ) ? f ( x1 )] ? 0 所以 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 所以 f ( x) 在 [?1,1] 上单增 …………4 分

1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? 1 ? (2)由题意, ?? 1 ? 1 ? 2 x ? 1 ? 1 ?x ? ? 1 ? 2x 2 ?
所以, 0 ? x ?

1 6

…………8 分

(3)由 f ( x) 在 [?1,1] 上单增, f ( x) max ? f (1) ? 1 由题意, 1 ? m 2 ? 2am ? 1 , 即 m 2 ? 2am ? 0 对任意 a ? ? ?1,1? 恒成立 令 g (a ) ? ?2ma ? m , a ? ? ?1,1?
2
2 ? ? g (?1) ? 2m ? m ? 0 ? 2 ? ? g (1) ? ?2m ? m ? 0

所以 m ? 0 或 m ? ?2 或 m ? 2 综上所述, m ? {m | m ? 0 或 m ? ?2 或 m ? 2} …………12 分


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