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满洲里市第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

满洲里市第四高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
1. 函数 y=x+cosx 的大致图象是( )

姓名__________

分数__________

A.

B.

C.

D.

2. 三个数 a=0.52,b=log20.5,c=20.5 之间的大小关系是( A.b<a<c B.a<c<b C.a<b<c D.b<c<a 3. 已知向量 =(1,2), =(x,﹣4),若 ∥ ,则 x=( A. 4 B. ﹣4 C. 2 D. ﹣2 4. 函数 y= 的图象大致为( )

) )

A.

B.

C.

D.

5. 如果执行右面的框图,输入 N=5,则输出的数等于(



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精选高中模拟试卷

A.

B.

C.

D. ) D.

6. 已知 a>b>0,那么下列不等式成立的是( A.﹣a>﹣b B.a+c<b+c

C.(﹣a)2>(﹣b)2

7. 已知菱形 ABCD 的边长为 3,∠B=60°,沿对角线 AC 折成一个四面体,使得平面 ACD⊥平面 ABC,则 经过这个四面体所有顶点的球的表面积为( A.15π B. C. π D.6π ) )

8. 已知 m,n 为不同的直线,α,β 为不同的平面,则下列说法正确的是( A.m?α,n∥m?n∥α B.m?α,n⊥m?n⊥α D.n?β,n⊥α?α⊥β C.m?α,n?β,m∥n?α∥β

9. 已知 f(x)在 R 上是奇函数,且 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(7)=( A.﹣2 B.2 C.﹣98 D.98 )



10.已知圆 C:x2+y2=4,若点 P(x0,y0)在圆 C 外,则直线 l:x0x+y0y=4 与圆 C 的位置关系为( A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定

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精选高中模拟试卷

11.设函数的集合

,平面上点的集合 ,则在同一直角坐标系中,P 中函数 的图象恰好经过 Q 中

两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D10
12.已知直线 x+y+a=0 与圆 x2+y2=1 交于不同的两点 A、B,O 是坐标原点,且 a 的取值范围是( A. D. ) B. C. ,那么实数

二、填空题
13.图中的三个直角三角形是一个体积为 20 的几何体的三视图,则 h ? __________.

14. 将一个半径为 3 和两个半径为 1 的球完全装入底面边长为 6 的正四棱柱容器中, 则正四棱柱容器的高的最 小值为 .

15.如图,正方形 O ' A ' B ' C ' 的边长为 1 cm ,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图的 周长为 .

1111] 16.若函数 y=f(x)的定义域是[ ,2],则函数 y=f(log2x)的定义域为 17.设直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题: .

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A.M 中所有直线均经过一个定点 B.存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 C.对于任意整数 n(n≥3),存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 D.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).
2 18.已知数列 {an } 的各项均为正数, S n 为其前 n 项和,且对任意 n ?N ,均有 an 、 S n 、 an 成等差数列,
*

则 an ?



三、解答题
19.已知 z 是复数,若 z+2i 为实数(i 为虚数单位),且 z﹣4 为纯虚数. (1)求复数 z;
2 (2)若复数(z+mi) 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 m 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)

如图四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面为菱形,AA1⊥底面 ABCD,M 为 A1A 的中点,AB=BD=2,且△BMC1 为 等腰三角形. (1)求证:BD⊥MC1; (2)求四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的体积.

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21.如图的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出 (单位:cm). (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 BC′,证明:BC′∥面 EFG.

22.已知等差数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设

的公差



, ,求

. 的最大值.

的通项公式; ,记数列 前 n 项的乘积为

23.有一批同规格的钢条,每根钢条有两种切割方式,第一种方式可截成长度为 a 的钢条 2 根,长度为 b 的钢 条 1 根;

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第二种方式可截成长度为 a 的钢条 1 根,长度为 b 的钢条 3 根.现长度为 a 的钢条至少需要 15 根,长度为 b 的钢条至少需要 27 根. 问:如何切割可使钢条用量最省?

24.已知数列{an}的首项为 1,前 n 项和 Sn 满足 (Ⅰ)求 Sn 与数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=

=

+1(n≥2).

(n∈N ),求使不等式 b1+b2+…+bn>

*

成立的最小正整数 n.

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满洲里市第四高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:由于 f(x)=x+cosx, ∴f(﹣x)=﹣x+cosx, ∴f(﹣x)≠f(x),且 f(﹣x)≠﹣f(x), 故此函数是非奇非偶函数,排除 A、C; 又当 x= 时,x+cosx=x, ,排除 D.

即 f(x)的图象与直线 y=x 的交点中有一个点的横坐标为 故选:B.

【点评】 本题考查函数的图象, 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力, 属于中档题. 2. 【答案】A 【解析】解:∵a=0.52=0.25, b=log20.5<log21=0, c=20.5>20=1, ∴b<a<c. 故选:A. 【点评】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数、对数函数的单调性的 合理运用. 3. 【答案】D 【解析】: 解:∵ ∥ , ∴﹣4﹣2x=0,解得 x=﹣2. 故选:D. 4. 【答案】D 【解析】解:令 y=f(x)= ∵f(﹣x)= ∴函数 y= =﹣ 为奇函数, , =﹣f(x),

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∴其图象关于原点对称,可排除 A; 又当 x→0 ,y→+∞,故可排除 B; 当 x→+∞,y→0,故可排除 C; 而 D 均满足以上分析. 故选 D. 5. 【答案】D 【解析】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加并输出 S= ∵S= 故选 D. 6. 【答案】C
2 2 【解析】解:∵a>b>0,∴﹣a<﹣b<0,∴(﹣a) >(﹣b) , +

的值. =1﹣ =

故选 C. 【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用,属于基础题. 7. 【答案】A 【解析】解:如图所示,设球心为 O,在平面 ABC 中的射影为 F,E 是 AB 的中点,OF=x,则 CF= R2=x2+( ∴x=
2 ∴R = 2 ) =( 2 ﹣x) +(

,EF=

),

2

∴球的表面积为 15π. 故选:A.

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【点评】本题考查球的表面积,考查学生的计算能力,确定球的半径是关键. 8. 【答案】D 【解析】解:在 A 选项中,可能有 n?α,故 A 错误; 在 B 选项中,可能有 n?α,故 B 错误; 在 C 选项中,两平面有可能相交,故 C 错误; 在 D 选项中,由平面与平面垂直的判定定理得 D 正确. 故选:D. 【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 9. 【答案】A 【解析】解:因为 f(x+4)=f(x),故函数的周期是 4 所以 f(7)=f(3)=f(﹣1), 又 f(x)在 R 上是奇函数,
2 所以 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2×1 =﹣2,

故选 A. 【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性. 10.【答案】C
2 2 2 2 【解析】解:由点 P(x0,y0)在圆 C:x +y =4 外,可得 x0 +y0 >4,

求得圆心 C(0,0)到直线 l:x0x+y0y=4 的距离 d= 故直线和圆 C 相交, 故选:C.



=2,

【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 11.【答案】B 【解析】本题考查了对数的计算、列举思想 a=- 时,不符;a=0 时,y=log2x 过点( ,-1),(1,0),此时 b=0,b=1 符合; a= 时,y=log2(x+ )过点(0,-1),( ,0),此时 b=0,b=1 符合; a=1 时,y=log2(x+1)过点(- ,-1),(0,0),(1,1),此时 b=-1,b=1 符合;共 6 个 12.【答案】A 【解析】解:设 AB 的中点为 C,则

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因为 所以|OC|≥|AC|, 因为|OC|= 所以 2(


2 2 ,|AC| =1﹣|OC| , 2 ) ≥ 1,

所以 a≤﹣1 或 a≥1, 因为 <1,所以﹣ <a< , ,

所以实数 a 的取值范围是 故选:A.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属于中档题.

二、填空题
13.【答案】 【解析】 试题分析:由三视图可知该几何体为三棱锥,其中侧棱 VA ? 底面 ABC ,且 ?ABC 为直角三角形,且

1 1 AB ? 5,VA ? h, AC ? 6 ,所以三棱锥的体积为 V ? ? ? 5 ? 6h ? 5h ? 20 ,解得 h ? 4 . 3 2

考点:几何体的三视图与体积. 14.【答案】 4+ .

【解析】解:作出正四棱柱的对角面如图, ∵底面边长为 6,∴BC= 则 ∴ ∴正四棱柱容器的高的最小值为 4+ . , , = , , 球 O 的半径为 3,球 O1 的半径为 1, 在 Rt△OMO1 中,OO1=4,

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故答案为:4+



【点评】本题考查球的体积和表面积,考查空间想象能力和思维能力,是中档题. 15.【答案】 8cm 【解析】

考点:平面图形的直观图. 16.【答案】 [ ,4] .

【解析】解:由题意知 ≤log2x≤2,即 log2 ∴ ≤x≤4. ,4]. 故答案为:[

≤log2x≤log24,

【点评】本题考查函数的定义域及其求法,正确理解“函数 y=f(x)的定义域是[ ,2],得到 ≤log2x≤2”是 关键,考查理解与运算能力,属于中档题. 17.【答案】BC 【解析】 【分析】验证发现,直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圆 x +(y﹣2) =1 的切线的集合, A.M 中所有直线均经过一个定点(0,2)是不对,可由圆的切线中存在平行线得出, B.存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上,观察直线的方程即可得到点的坐标. C.对于任意整数 n(n≥3),存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上,由直线系的几何意义可判断, D.M 中的直线所能围成的正三角形面积一定相等,由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出.
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2 2

精选高中模拟试卷

【解答】解:因为点(0,2)到直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π)中每条直线的距离 d= =1,直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圆 x +(y﹣2) =1 的切线的集
2 2

合, 2 2 A.由于直线系表示圆 x +(y﹣2) =1 的所有切线,其中存在两条切线平行,M 中所有直线均经过一个定点 (0,2)不可能,故 A 不正确; B.存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上,观察知点 M(0,2)即符合条件,故 B 正确; C.由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线,所以对于任意整数 n(n≥3),存在正 n 边形,其所有边均 在 M 中的直线上,故 C 正确; D.如下图,M 中的直线所能围成的正三角形有两类, 其一是如△ABB′型,是圆的外切三角形,此类面积都相等,另一类是在圆同一侧,如△BDC 型,此一类面积 相等,但两类之间面积不等,所以面积大小不一定相等, 故本命题不正确. 故答案为:BC.

18.【答案】 n
2 2 【解析】∵ an , Sn , an 成等差数列,∴ 2Sn ? an ? an

2 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a1 ? a1

又 a1 ? 0
2 n

∴ a1 ? 1
2

当 n ? 2 时, 2an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? an ? a ? an?1 ? an?1 ,
2 2 ∴ (an ? an ?1 ) ? (an ? an?1 ) ? 0 ,

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? (an ? an?1 ) ? 0 , 又 an ? an?1 ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 1 , ∴ {an } 是等差数列,其公差为 1, ∵ a1 ? 1 ,∴ an ? n(n ? N* ) .

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三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)设 z=x+yi(x,y∈R). 由 z+2i=x+(y+2)i 为实数,得 y+2=0,即 y=﹣2. 由 z﹣4=(x﹣4)+yi 为纯虚数,得 x=4. ∴z=4﹣2i.
2 2 (2)∵(z+mi) =(﹣m +4m+12)+8(m﹣2)i,

根据条件,可知 解得﹣2<m<2, ∴实数 m 的取值范围是(﹣2,2). 【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义,属于基础题. 20.【答案】 【解析】解:(1)证明:如图,连接 AC,设 AC 与 BD 的交点为 E, ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴BD⊥AC, 又 AA1⊥平面 ABCD,

BD? 平面 ABCD,∴A1A⊥BD; 又 A1A∩AC=A,∴BD⊥平面 A1ACC1, 又 MC1? 平面 A1ACC1,∴BD⊥MC1. (2)∵AB=BD=2,且四边形 ABCD 是菱形, ∴AC=2AE=2 AB2-BE2=2 3, 又△BMC1 为等腰三角形,且 M 为 A1A 的中点, ∴BM 是最短边,即 C1B=C1M. 则有 BC2+C1C2=AC2+A1M2,

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C 1C 2 即 4+C1C2=12+( ), 2 4 6 解得 C1C= , 3 所以四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的体积为 V=S 菱形 ABCD×C1C 1 1 4 6 = AC×BD×C1C= ×2 3×2× =8 2. 2 2 3 即四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的体积为 8 2. 21.【答案】 【解析】解:(1)如图 (2)它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥, 设长方体体积为 V1,小三棱锥的体积为 V2,则根据图中所给条件得:V1=6×4×4=96cm , V2= ? ?2?2?2= cm3, ∴V=v1﹣v2= cm3
3

(3)证明:如图,

在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,连接 AD′,则 AD′∥BC′ 因为 E,G 分别为 AA′,A′D′中点,所以 AD′∥EG,从而 EG∥BC′, 又 EG?平面 EFG,所以 BC′∥平面 EFG;

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精选高中模拟试卷

2016 年 4 月 26 日 22.【答案】 【解析】【知识点】等差数列 【试题解析】(Ⅰ)由题意,得 解得 所以 (Ⅱ)由(Ⅰ),得 所以 所以只需求出 由(Ⅰ),得 因为 所以当 ,或 时, , 取到最大值 . . 或 (舍). . . . 的最大值. .

所以 的最大值为 23.【答案】

【解析】解:设按第一种切割方式需钢条 x 根,按第二种切割方式需钢条 y 根,

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精选高中模拟试卷

根据题意得约束条件是

,目标函数是 z=x+y,

画出不等式组表示的平面区域如下图阴影部分.



,解得



此时 z=11.4,但 x,y,z 都应当为正整数, ∴点(3.6,7.8)不是最优解. 经过可行域内的整点且使 z 最小的直线是 y=﹣x+12, 即 z=12,满足该约束条件的(x,y)有两个:(4,8)或(3,9),它们都是最优解. 即满足条件的切割方式有两种,按第一种方式切割钢条 4 根,按第二种方式切割钢条 8 根; 或按第一种方式切割钢条 3 根,按第二种方式切割钢条 9 根,可满足要求. 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了简单的数学建模思想方法,是中档题. 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)因为 所以 则 =1+(n﹣1)1=n,… = +1(n≥2),

是首项为 1,公差为 1 的等差数列,…

2 从而 Sn=n .…

当 n=1 时,a1=S1=1,
2 2 当 n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n ﹣(n﹣1) =2n﹣1.

因为 a1=1 也符合上式, 所以 an=2n﹣1.… (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn= = = ,…

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精选高中模拟试卷

所以 b1+b2+…+bn= = 由 = ,…

,解得 n>12.…

所以使不等式成立的最小正整数为 13.… 【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想

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