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广东省汕头金山中学2011届高三上学期期中考试(理数)


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2010— 汕头市金山中学 2010—2011 学年度第一学期期中考试 高三理科数学试卷
2010-10-7

试卷说明、参考公式略 一﹑选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.若集合 A = x x > 2或x < ?1 , B = x ( x + 1)( 4 ? x) < 4 ,则集合 A ∩ B = A. x x > 0或x < ?3 2.函数 y =

{

{

} B. {x x > 0或x < ?1}

}

{

C. x x > 3或x < ?1

{

}

}

D. x 2 < x < 3

{

}

3.已知 f ( x ) = 10 , g ( x ) 是 f ( x ) 的反函数,若 x0 是方程式 g ( x ) + x = 4 的解,则 x0 属于区间
x

2x 的奇偶性是 1+ 4x A. f (x ) 是奇函数 B. f (x ) 是偶函数
A. (3,4 ) B. (2,3)

C. f (x ) 是非奇非偶函数 D. (0,1)

D. 以上都不对

4.已知函数 f ( x ) = ? x ? a ,则 " f ( x ) 满足 f (1 + x ) = f (1 ? x)" 是 “ a = 1” 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知 a,b ∈ R ,若 a + b = 2 ,则

C. (1,2 )

1 2 2 2 2 B. ab ≥ ?1 C. a + b ≤ 3 D. a + b ≥ 2 2 6.设函数 f ( x ) 在 R 上的导函数为 f ′( x ) ,且 2 f ( x ) + xf ′( x ) > x 2 ,下面的不等式在 R 内恒成立的是 A. f ( x ) > 0 B. f ( x ) < 0 C. f ( x ) > x D. f ( x ) < x
A. ab ≤ 7.设函数 f (x)是定义在 R 上的以 7 为周期的奇函数, 若 f (5)>1, f (2011)=

a+3 ,则 a 的取值范围是 a?3

A. (-∞, 0)

B. (0, 3)

C. (0, +∞)

D. (-∞, 0)∪(3, +∞)

8.函数 y = 2 x ? x 2 的图像大致是

二﹑填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) ⒐命题“ ?x0 ∈ R, x 0 + 1 < 0 ”的否定是
2

***

. *** . *** .

⒑函数 y = log 2 (1 ? x 2 ) 的定义域是
2

***

,值域是

⒒函数 f ( x ) = ax + bx + 6 满足条件 f ( ?1) = f (3) ,则 f ( 2) 的值为

? x + y ≤ 3, ? 12.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ ?1, 则 4 x + 2 y 的最大值为 ? y ≥ 1, ?

***

.

13.已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x ) = 2 f (2 ? x ) ? x 2 + 8 x ? 8 ,则曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处 *** . 的切线方程是

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⒕已知函数 f ( x ) =

4 ? 1 的定义域是 [a, b] ( a, b 是整数),值域是 [0,1] ,则满足条件的定义域 x +2

的可能情况共有 *** 种. 三、解答题(15,16 小题各 12 分,17,18,19,20 小题各 14 分,共 80 分.) ⒖已知点 M (1,2) ,函数 C1 : y = x + 1 ,过点 M 作 C1 的切线 ? ,
2

1) 求切线 ? 的方程; 2) 把函数 C1 的图象向下平移 1 个单位得到曲线 C 2 , 求 ? 与曲线 C 2 围成图形的面积. 16.已知 a > b > c, a + b + c = 0 ,方程 ax + bx + c = 0 的两个实数根为 x1 , x 2 ,
2

b 2 2 2 2 的取值范围; 2)若 x1 + x1 x 2 + x 2 = 1 ,求 x1 ? x1 x 2 + x 2 的值. ( P104) a ? 2x + b ⒘已知定义域为 R 的函数 f ( x ) = x +1 是奇函数,其中 a, b 是常数,且 a > 0 2 +a 1) 求 a, b 的值;
1)求 2)对任意的 t ∈ R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) + f ( 2t 2 ? k ) < 0 恒成立,求 k 的取值范围. 18.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD , 公园由长方形的休闲区 A1 B1C1 D1 和环公园人行道(阴影部分)组成。已知休闲区 A1 B1C1 D1 的面积为 4000 平方米,人行道的宽分别 为 4 米和 10 米(如图) (1)若设休闲区的长和宽的比

A1 B1 = x ,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 B1C1 S ( x ) 的解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1 B1C1 D1 的长和宽(长>宽)该如何设计?

19.已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx

1)若函数 y = f ( x ) 在 x = 2 处有极值 ? 6 ,求 y = f ( x ) 的单调递减区间; 2)若 y = f ( x ) 的导数 f ′( x ) 对 x ∈ [? 1,1] 都有 f ′( x ) ≤ 2 ,求

b 的取值范围. a ?1

20.已知函数 f ( x ) = 2 ln x +

1)求函数 f ( x ) 的单调区间;

1? x2 x

1 x2 2 2)求不等式 2 ln x ≤ (1 + ) ? x ? 1 的解集. 并利用不等式结论比较 ln (1 + x ) 与 的大小. x 1+ x 1 * 3)若不等式 (n + a ) ln(1 + ) ≤ 1 对任意 n ∈ N 都成立,求 a 的最大值.(只写出结论不要求写论 n
证过程).

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2010-10-7

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高三理科数学试卷答题纸 高三理科数学试卷答题纸
班级: 学号: 姓名: 一、选择题(共 8 小题,每题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 D 6 A 7 B 评分: 8 B

二、填空题(共 6 小题,每题 5 分,共 30 分) 9. ?x ∈ R, x + 1 ≥ 0
2

; 10.

{ x | ?1 < x < 1}
2x ? y ?1 = 0

, ; 14.

{ y | y ≤ 0}
5 .

;11.

6

;

12.

10

; 13.

三、解答题(15,16 小题各 12 分,17,18,19,20 小题各 14 分,共 80 分.) 15. 解: (1)∵ M (1, 2) 在 y = x 2 + 1 上 …1’

y ' = 2x ∴ kl = f '(1) = 2 ∴ 切线 y ? 2 = 2( x ? 1) 即 2 x ? y = 0 ∴ 切线 l 的方程为 2 x ? y = 0
(2) y = x 2 + 1 向下平移 1 个单位得到 C2 : y = x 由?
2

…2’ …6’ …7’ …9’

? y = x2 ? y = 2x

得 x = 0或x = 2
2

∴ l 与 C2 围成图形面积是 S = ∫ (2 x ? x 2 )dx
0
2 2

…10’

x3 8 4 = ( x ? ) = 22 ? = …12’ 3 0 3 3 2 16.解:(1)∵ a > b > c, a + b + c = 0 得 x2 + x2 = 0 ∴ 3a > a + b + c = 0 > 3c ∴ x2 = 0或x2 = ?1 ∴ a > 0, c < 0 …2’ c 又∵ x1 x2 = < 0 又∵ c = ?(b + c ) a ∴ a > b > c = ?( a + b ) …4’ ∴ x2 = 0 (舍去) ∵ a > 0, 两边除以 a ,得 ∴ x2 = ?1 b b 2 1 > > ?1 ? ∴ x12 ? x1 x2 + x2 = 3 a a 1 b ∴? < < 1 …6’ 2 a 又∵ ? = b 2 ? 4ac = b 2 ? 4a ( ? a ? b)
= 4a 2 + 4ab + b 2 = (2a + b)2 ≥ 0 恒成立 …7’ b 1 ∴ 所求 的取值范围是 (? ,1) a 2 (2)∵ a + b + c = 0 ∴ ax 2 + bx + c = 0 有一根 x = 1 2 2 不妨设 x1 = 1 代入 x1 + x1 x2 + x2 = 1
…8’

…11’

…12’

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?2 x + b 是定义在 R 上的奇函数 2 x +1 + a ∴ f (? x) = ? f ( x), 令 x = 0, 得 f (0) = ? f (0)
⒘解:(1)∵ f ( x) =

?2 0 + b = 0∴b = 1 21 + a 1 ? 2x ∴ f ( x) = x +1 2 +a 再令 x = 1 ,得 f (?1) = ? f (1) 1 1? 1? 2 ∴ 0 2 =? 2 解得 a = 2 2 +a 2 +a 1 ? 2x ∴ f ( x) = x +1 2 +2 1 1 ?2 x ln 2 (2) f ( x) = ? + x , f '( x) = x <0 2 2 +1 (2 + 1)2 ∴ f ( x) 在 (?∞, +∞) 上减函数 ∵ f ( x) 是奇函数 ∴ f (0) = 0即

…2’

…5’

…8’

∴由 f (t 2 ? 2t ) + f (2t 2 ? k ) < 0得 f (t 2 ? 2t ) < ? f (2t 2 ? k ) = f (k ? 2t 2 ) ∴ t ? 2t > k ? 2t ∴ 对一切 x ∈ R,3t 2 ? 2t ? k > 0 恒成立
2 2

…10’ …11’

∴ ? = (?2) 2 + 12k < 0 1 ∴k < ? 3

…13’ …14’

1 ∴ 所求 k 的范围是 k ∈ (?∞, ? ) 3
18.

19.已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx

1)若函数 y = f ( x ) 在 x = 2 处有极值 ? 6 ,求 y = f ( x ) 的单调递减区间;

2)若 y = f ( x ) 的导数 f ′( x ) 对 x ∈ [? 1,1] 都有 f ′( x ) ≤ 2 ,求 解: (1)∵ f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx

b 的取值范围. a ?1

∴ f '( x) = 3 x 2 + 2ax + b
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…1’
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∵ 在 x = 2 处有极值 ? 6 ? f '(2) = 12 + 4a + b = 0 ∴? ? f (2) = 8 + 4a + 2b = ?6 5 ? ?a = ? 解得 ? 2 ?b = ?2 ? 5 ∴ f ( x) = x3 ? x 2 ? 2 x 2 f '( x) = 3 x 2 ? 5 x ? 2 = 0 1 得 x = ? 或x = 2 3 当 x 变化时, y ', y 变化如下 1 x (?∞, ? ) 3
y’ y +

…3’

?

1 3

0
极大值

1 (? , 2) 3 ? ?

2 0
极小值

(2, +∞)
+

?

?

…5’

1 1 ∴ f ( x) 的单调增区间是 (?∞, ? ) , (2, +∞) ,单调减区间是 (? , 2) 3 3 1 41 y极 大 = f (? ) = ? , y极 小 = f (2) = ?6 3 54 ? f '(?1) = 3 ? 2a + b ≤ 2 (2)∵ ? ? f '(1) = 3 + 2a + b ≤ 2

…7’

y

? 2a ? b ? 1 ≥ 0 ∴? ? 2a + b + 1 ≤ 0

…9’ …10’

O Q

P

x

不等式组确定的平面区域阴影部分如图所示 由?

?2a ? b ? 1 = 0 ?a = 0 得? ?2a + b + 1 = 0 ?b = ?1 ∴ Q (0, ?1) b 设z = ,则 z 表示平面区域内的点 (a, b) 与点 P (1, 0) 连线的斜率 a ?1 ∵ k PQ = 1 由图可知 z ≥ 1或 z ≤ ?2
b ∈ (?∞, ?2] ∪ [1, +∞) a ?1 1? x2 20.已知函数 f ( x ) = 2 ln x + x 1)求函数 f ( x ) 的单调区间; ∴
2)求不等式 2 ln x ≤ (1 +
小. …14’

…12’

1 x2 ) ? x ? 1 的解集. 并利用不等式结论比较 ln 2 (1 + x) 与 的大 x 1+ x 1 ) ≤ 1 对任意 n ∈ N * 都成立,求 a 的最大值.(只写出结论不要求 n
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3)若不等式 (n + a ) ln(1 +

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写论证过程).

1? x2 ,定义域 {x | x > 0} …1’ x 2 ?2 x × x ? (1 ? x 2 ) ( x ? 1) 2 f '( x) = + =? ≤0 …3’ x x2 x2 ∴ f ( x) 在 (0, +∞) 上是减函数…4’ 1 (2)对 2 ln x ≤ (1 + ) ? x ? 1 x 1 x2 ? 1 1 当 x ≥ 1 时,原不等式变为 2 ln x ≤ (1 + ) ? ( x ? 1) = ?○ x x 1 ? x2 1 由(1)结论, x ≥ 1 时, f ( x ) ≤ f (1) = 0 , 2 ln x + ≤ 0 即○成立 x
解:(1) f ( x ) = 2 ln x + …6’

1 x2 ? 1 2 当 0 < x ≤ 1 时,原不等式变为 ?2 ln x ≤ (1 + ) ? (1 ? x ) ,即 2 ln x ≥ ○ x x 1 ? x2 2 ≥ 0 即○成立…8’ 由(1)结论 0 < x ≤ 1 时, f ( x ) ≥ f (1) = 0 , 2 ln x + x 综上得,所求不等式的解集是 {x | x > 0} …9’

x2 ? 1 1 ( x 2 ? 1) 2 2 2 ∵ x > 0 时, 2 ln x ≤ (1 + ) ? x ? 1 ,即 ln x 2 ≤ ,∴ ln x ≤ x x x2
x2 用 x + 1 (其中 x > ?1 )代入上式中的 x ,可得 ln ( x + 1) ≤ …12’ x +1 1 (3)结论 a 的最大值为 ? 1 …14’ ln 2 1 * 参考分析:∵ n ∈ N ,∴ ln(1 + ) > 0 n 1 1 ∵ ( n + a ) ln(1 + ) ≤ 1,∴ a ≤ ?n 1 n ln(1 + ) n 1 1 1 取 x = ,则 x ∈ (0,1] ,∴ a ≤ ? n ln(1 + x) x x2 ln 2 ( x + 1) ? 1 1 x +1 ≤ 0 设 g ( x) = ? , g '( x) = 2 2 x ln (1 + x) ln(1 + x) x 1 1 g ( x) 递减,∴ x = 1 时 g最 小 = g (1) = ? 1 ∴ a 的最大值为 ?1 ln 2 ln 2
2

…10’

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