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2011年—2018年新课标全国卷1文科数学分类汇编—4.三角函数、解三角形

2011—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编
三角函数、解三角形(含解析) 一、选择题 【2018,8】已知函数 f ? x ? ? 2cos x ? sin x ? 2 ,则
2 2

A. f ? x ? 的最小正周期为 π,最大值为 3 B. f ? x ? 的最小正周期为 π,最大值为 4 C. f ? x ? 的最小正周期为 2 π ,最大值为 3 D. f ? x ? 的最小正周期为 2 π ,最大值为 4

a ? ,B ? 2 , b? , 【2018,11】 已知角 ? 的顶点为坐标原点, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边上有两点 A ?1,
且 cos 2? ? A.

2 ,则 a ? b ? 3
B.
5 5

1 5

C.

2 5 5

D. 1

【2017, 11】 △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c. 已知 sin B ? sin A(sin C ? cos C ) ? 0 , a=2, c= 2 , 则 C=( A. ) B.

π 12

π 6

C.

π 4

D.

π 3 2 ,则 b ?( ) 3

【2016,4】△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c .已知 a ? 5 ,c ? 2 ,cos A ? A.

2

B. 3

C. 2

D. 3 ) .

【2016,6】若将函数 y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

1 π? ? 的图像向右平移 4 个周期后,所得图像对应的函数为( 6?

A. y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 4?

B. y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

π? π? ? ? C. y ? 2sin ? 2 x ? ? 3? 4? ?

D. y ? 2sin ? 2 x ? )

? ?

π? ? 3?

【2015,8】函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( A. ( k ? ? C. ( k ?

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4

B. (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z D. (2k ?

1 4

3 4

1 3 , k ? ), k ? Z 4 4

1 3 , 2k ? ), k ? Z 4 4

【2014,7】在函数① y=cos|2x|,②y=|cosx|,③ y ? cos( 2 x ? π 的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ 【2014,2】若 tan ? ? 0 ,则( )

?
6

) ,④ y ? tan( 2 x ?

?
4

) 中,最小正周期为

C.②④

D.①③

A. sin ? ? 0

B. cos ? ? 0

C. sin 2? ? 0

D. cos 2? ? 0

【2013,10】已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6, 则 b=( ) A.10 B.9 C.8 D.5 【2012,9】9.已知 ? ? 0 , 0 ? ? ? ? ,直线 x ? 邻的对称轴,则 ? ? ( A. )

?

4

和x ?

5? 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图像的两条相 4 3? 4

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D.

【2011, 7】 已知角 ? 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y ? 2 x 上, 则 cos 2? ? ( A. ?

) .

4 5

B. ?

3 5
? ?

C.

3 5

D.

4 5

【2011,11】设函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

π? π? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ,则 ( ) 4? 4? ?

A. f ( x ) 在 ? 0,

? ?

π π? ? 单调递增,其图象关于直线 x ? 4 对称 2? π π? ? 单调递增,其图象关于直线 x ? 2 对称 2? π π? ? 单调递减,其图象关于直线 x ? 4 对称 2? π π? ? 单调递减,其图象关于直线 x ? 2 对称 2?

B. f ( x ) 在 ? 0,

? ? ? ?

C. f ( x ) 在 ? 0,

D. f ( x ) 在 ? 0, 二、填空题

? ?

b, c , 已 知 b sin C ? c sin B ? 4a sin B sin C , 【 2018,16 】 △ ABC 的 内 角 A , B, C 的 对 边 分 别 为 a , b2 ? c 2 ? a 2 ? 8 ,则△ ABC 的面积为________.

【2017,15】已知 ? ? ? 0,

?? ? ?? ? ? , tan ? ? 2 ,则 cos ? ? ? ? ? ________. 4? ? 2? ?
? ? π? 3 π? ? ? ? ,则 tan ? ? ? ? ? 4? 5 4? ?


【2016, 】14.已知 ? 是第四象限角,且 sin ? ? ?

【2013,16】设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ=______. 【2014,16】如图所示,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为 测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角 ?MAN ? 60? , C 点的仰角 ?CAB ? 45? 以及 ?MAC ? 75? ;从 C 点测得 ?MCA ? 60? . 已知山高 BC ? 100m ,则山高 MN ? m. 【2011,15】 △ABC 中, B ? 120 , AC ? 7 , AB ? 5 ,则 △ABC 的面积为 .

三、解答题 【2015,17】已知 a, b, c 分别为 △ ABC 内角 A, B, C 的对边, sin 2 B ? 2sin A sin C . (1)若 a ? b ,求 cos B ; (2)设 ?B ? 90 ,且 a ?

2 ,求 △ ABC 的面积.

【2012,17】已知 a , b , c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, c ? 3a sin C ? c cos A . (1)求 A; (2)若 a ? 2 ,△ABC 的面积为 3 ,求 b , c .

2011—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编
三角函数、解三角形(参考答案)

一、选择题 【2018,8】已知函数 f ? x ? ? 2cos x ? sin x ? 2 ,则
2 2

A. f ? x ? 的最小正周期为 π,最大值为 3 B. f ? x ? 的最小正周期为 π,最大值为 4 C. f ? x ? 的最小正周期为 2 π ,最大值为 3 D. f ? x ? 的最小正周期为 2 π ,最大值为 4 解: f ( x) ? 2 cos2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 ?

1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x 3 5 ? ? 2 ? cos 2 x ? 2 2 2 2

? f ( x) 周期为 ? 最小值为 1 最大值为 4 。故选 B

a ? ,B ? 2 , b? , 【2018,11】 已知角 ? 的顶点为坐标原点, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边上有两点 A ?1,
且 cos 2? ? A.

2 ,则 a ? b ? 3
B.
5 5

1 5

C.

2 5 5

D. 1

解: tan ? ?

b?a cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan2 ? ? b ? a , cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? ? 2 ?1 cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan2 ?

2 1 5 1 ? ?b ? a ? 2 ? cos2? ? ? ? (b ? a ) 2 ? ? b ? a ? 2 5 5 3 1 ? ?b ? a ?

故选 B 【2017, 11】 △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c. 已知 sin B ? sin A(sin C ? cos C ) ? 0 , a=2, c= 2 , 则 C=( A. ) B.

π 12

π 6

C.

π 4

D.

π 3

【答案】B 【解法】解法一:因为 sin B ? sin A(sin C ? cos C ) ? 0 , sin B ? sin( A ? C ) , 所以 sin C (sin A ? cos A ) ? 0 ,又 sin C ? 0 ,所以 sin A ? ? cos A , tan A ? ?1 ,又 0 ? A ? ? ,所以 A ? 又 a=2,c= 2 ,由正弦定理得
2 2 2 ?

3? , 4

1 ? ? 2 ,即 sin C ? .又 0 ? C ? ,所以 C ? ,故选 B. 2 2 6 sinC

? 3? 解法二:由解法一知 sin A ? cos A ? 0 ,即 2 sin( A ? ) ? 0 ,又 0 ? A ? ? ,所以 A ? .下同解法一. 4 4
【2016,4】△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c .已知 a ? 5 ,c ? 2 ,cos A ? A.

2 ,则 b ?( ) 3

2

B. 3

C. 2

D. 3

解析:选 D .由余弦定理得 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? 4 ? 5 2 ? , ,即 2bc 4b 3

整理得 b ? b ? 1 ? ? b ? 3? ? b ?
2

8 3

? ?

1? ? ? 0 ,解得 b ? 3 .故选 D. 3?
1 π? ? 的图像向右平移 4 个周期后,所得图像对应的函数为( 6?
) .

【2016,6】若将函数 y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

A. y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 4? ? ?

B. y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

π? π? ? ? C. y ? 2sin ? 2 x ? ? 3? 4? ?

D. y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 3?

解析:选 D.将函数 y ? 2sin ? 2 x ?

1 π π? ? 的图像向右平移 4 个周期,即向右平移 4 个单位, 6?

故所得图像对应的函数为 y ? 2sin ?2 ? x ?

? ? ? ?

π? π ? π? ? ? ? ? ? 2sin ? 2 x ? 3 ? .故选 D. 4 ? 6? ? ?
)

【2015,8】函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( A. ( k ? ? C. ( k ?

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4

B. (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z D. (2k ?

1 4

3 4

1 3 , k ? ), k ? Z 4 4 1 4

1 3 , 2k ? ), k ? Z 4 4

解:选 D.依图, ? +? ?

?

? ? 5 3? 且 ? +? ? ,解得 ω=π, ? = , ? f ( x) ? cos(? x ? ) , 4 4 2 4 2
1 3 ? x ? 2k ? ,故选 D. 4 4

由2k? ? ? x ?

?
4

? 2 k? ? ? , ,解得 2k ?

【2014,7】在函数① y=cos|2x|,②y=|cosx|,③ y ? cos( 2 x ?

?

6

) ,④ y ? tan( 2 x ?

?
4

) 中,最小正周期为

π 的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 解:选 A.由 y ? cos x 是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为 π;②y=|cosx|的最小正周期也 是 π;③中函数最小正周期也是 π;正确答案为①②③,故选 A 【2014,2】若 tan ? ? 0 ,则( ) A. sin ? ? 0 B. cos ? ? 0 C. sin 2? ? 0 解:选 C.tanα>0,α 在一或三象限,所以 sinα 与 cosα 同号,故选 C

D. cos 2? ? 0

【2013,10】已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6, 则 b=( ). A.10 B.9 C.8 D.5 解析:选 D.由 23cos2A+cos 2A=0,得 cos2A=

1 1 ? π? .∵A∈ ? 0, ? ,∴cos A= . 5 25 ? 2?

36 ? b 2 ? 49 13 ∵cos A= ,∴b=5 或 b ? ? (舍). 5 2 ? 6b ? 5? 【2012,9】9.已知 ? ? 0 , 0 ? ? ? ? ,直线 x ? 和 x ? 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图像的两条相 4 4 邻的对称轴,则 ? ? ( ) ? ? ? 3? A. B. C. D. 4 4 3 2 ? 5? 【解析】选 A.由直线 x ? 和 x ? 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图像的两条相邻的对称轴, 4 4 5? ? ? ) ? 2? ,从而 ? ? 1 . 得 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的最小正周期 T ? 2( 4 4 ? 由此 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,由已知 x ? 处 f ( x) ? sin( x ? ? ) 取得最值, 4 ? ? 所以 sin( ? ? ) ? ?1 ,结合选项,知 ? ? ,故选择 A. 4 4
【2011, 7】 已知角 ? 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y ? 2 x 上, 则 cos 2? ? ( A. ? ) .

4 5

B. ?

3 5

C.

3 5

D.

4 5

【解析】设 P(t , 2t )(t ? 0) 为角 ? 终边上任意一点,则 cos ? ?

t . 5t

当 t ? 0 时, cos ? ?

5 5 ;当 t ? 0 时, cos ? ? ? . 5 5
2 3 ? 1 ? ? .故选 B. 5 5

2 因此 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ?

【2011,11】设函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? π? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ,则 ( ) 4? 4? ?

A. f ( x ) 在 ? 0,

? ?

π π? ? 单调递增,其图象关于直线 x ? 4 对称 2? π π? ? 单调递增,其图象关于直线 x ? 2 对称 2? π π? ? 单调递减,其图象关于直线 x ? 4 对称 2?

B. f ( x ) 在 ? 0,

? ? ? ?

C. f ( x ) 在 ? 0,

D. f ( x ) 在 ? 0,

? ?

π π? ? 单调递减,其图象关于直线 x ? 2 对称 2?

【解析】因为 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? π? π π? ? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? ? 2 cos 2 x , 4? 4? 4 4? ? ?

当0 ? x ?

π ? π? 时, 0 ? 2 x ? π ,故 f ( x) ? 2 cos x 在 ? 0, ? 单调递减. 2 ? 2?

又当 x ?

π π π? ? 时, 2 cos ? 2 ? ? ? ? 2 ,因此 x ? 是 y ? f ( x) 的一条对称轴.故选 D. 2 2 2? ?

二、填空题
b, c , 已 知 b sin C ? c sin B ? 4a sin B sin C , 【 2018,16 】 △ ABC 的 内 角 A , B, C 的 对 边 分 别 为 a , b2 ? c 2 ? a 2 ? 8 ,则△ ABC 的面积为________.

解:? b sin C ? c sin B ? 4a sin B sin C

? sin B sin C ? sin C sin B ? 4 sin A sin B sin C 1 ? sin A ? 2

? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 8 8 3 ? ? 0 ? cos A ? ? bc ? 2bc 2bc 2 3

1 1 8 1 2 3 ? S?ABC ? bc sin A ? ? ? ? 2 2 3 3 2
【2017,15】已知 ? ? ? 0,

?? ? ?? ? ? , tan ? ? 2 ,则 cos ? ? ? ? ? ________. 4? ? 2? ?

【解析】

3 10 sin ? ? ?? ? 2 ? sin ? ? 2 cos ? ,又 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,解 . ? ? ? 0, ? , tan ? ? 2 ? cos ? 10 ? 2?

得 sin ? ?

?? 2 3 10 2 5 5 ? , cos ? ? ,? cos ? ? ? ? ? . (cos ? ? sin ? ) ? 5 5 4? 2 10 ?
y 2 5 ? ?? ) 故 sin ? ? ? , ? , tan ? ? 2 , ? 角 ? 的 终 边 过 P(1, 2 , r 5 ? 2?

【 基 本 解 法 2 】 Q ? ? ? 0,

cos ? ?

?? 2 3 10 x 5 ? 2 2 ,其中 r ? x ? y ? 5 ,? cos ? ? ? ? ? . ? (cos ? ? sin ? ) ? r 5 4? 2 10 ?
? ? π? 3 π? ? ? ? ,则 tan ? ? ? ? ? 4? 5 4? ?


【2016, 】14.已知 ? 是第四象限角,且 sin ? ? ?

解析: ?

4 ?? 3 ?? ? ? ?? ?? ? ? .由题意 sin ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? . 3 4? 5 4? 4 ? 2? ? ? ??

因为 2k ? ?

?? ?? ? 7? ? ? ? 2k ? ? 2? ? k ? Z? ,所以 2k ? ? ? ? ? ? 2k ? ? ?k ? Z? , 2 4 4 4 4 ?? 4 ?? 4 ? ? ? ? ,因此 tan ? ? ? ? ? ? .故填 ? 3 . 4? 3 4? 5 ?

从而 sin ? ? ?

? ?

方 法 2 : 还 可 利 用 ta n? ? ?

? ?

π? ? π? 来进行处理,或者直接进行推演,即由题意 ? ta n ?? ? ? ? ? 1 4? ? 4?

1 4 ?? ?? 4 ?? 3 ? ? ? ?? . cos ? ? ? ? ? ,故 tan ? ? ? ? ? ,所以 tan ? ? ? ? ? ? ?? 3 ? 4? 5 4? 4 4? ? ? ? tan ? ? ? ? 4? ?
【2013,16】设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ=______. 答案:

2 5 2 5 5 . ∵f(x)=sin x-2cos x= 5 sin(x-φ),其中 sin φ= ,cos φ= . 5 5 5 π π π 当 x-φ=2kπ+ (k∈Z)时,f(x)取最大值.即 θ-φ=2kπ+ (k∈Z),θ=2kπ+ +φ(k∈Z). 2 2 2 2 5 ?π ? ∴cos θ= cos ? ? ? ? =-sin φ= ? . 5 ?2 ? 【2014, 16】 16. 如图所示, 为测量山高 MN , 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角 ?MAN ? 60? , C 点的仰角 ?CAB ? 45? 以及 ?MAC ? 75? ;从 C 点测得 ?MCA ? 60? .已知山 高 BC ? 100m ,则山高 MN ? m.
解析: ? 解:在 RtΔABC 中,由条件可得 AC ? 100 2 , 在 ΔMAC 中,∠MAC=45° ;由正弦定理可得 中,MN=AMsin60° =150. 【2011,15】 △ABC 中, B ? 120 , AC ? 7 , AB ? 5 ,则 △ABC 的面积为
2 2 2 【解析】由余弦定理知 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos120 , 2 即 49 ? 25 ? BC ? 5BC ,解得 BC ? 3 .

AM AC 3 ? ,故 AM ? AC ? 100 3 ,在直角 RtΔMAN sin 60? sin 45? 2



故 S△ABC ?

1 1 3 15 3 15 3 .故答案为 . AB ? BC sin120 ? ? 5 ? 3 ? ? 2 2 2 4 4

三、解答题

【2015,17】已知 a, b, c 分别为 △ ABC 内角 A, B, C 的对边, sin 2 B ? 2sin A sin C . (1)若 a ? b ,求 cos B ; (2)设 ?B ? 90 ,且 a ? 解析: (1)由正弦定理得, b ? 2ac .又 a ? b ,
2

2 ,求 △ ABC 的面积.

?a? a ? ? ? ? a2 2 2 2 a ?c ?b 1 2 ?2? 所以 a ? 2ac ,即 a ? 2c .则 cos B ? ? ? . a 2ac 4 2a ? 2
2
2 (2)解法一:因为 ?B ? 90 ,所以 sin B ? 1 ? 2sin A sin C ? 2sin A sin 90 ? A ,

2

?

?

即 2sin A cos A ? 1 ,亦即 sin 2 A ? 1 . 又因为在 △ ABC 中, ?B ? 90 ,所以 0 ? ?A ? 90 , 则 2?A ? 90 ,得 ?A ? 45 . 所以 △ ABC 为等腰直角三角形,得 a ? c ? 2 ,所以 S△ ABC ? 解法二:由(1)可知 b ? 2ac ,①
2

1 ? 2 ? 2 ?1. 2

因为 ?B ? 90 ,所以 a 2 ? c 2 ? b2 ,② 将 ② 代入 ① 得 ? a ? c ? ? 0 ,则 a ? c ? 2 ,所以 S△ ABC ?
2

1 ? 2 ? 2 ?1. 2

解:(Ⅰ) 因为 sin2B=2sinAsinC. 由正弦定理可得 b2=2ac. 又 a=b,可得 a=2c, b=2c,由余弦定理可得 cos B =

a 2 + c 2 - b2 1 = . 2ac 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 b2=2ac. 因为 B=90° ,所以 a2+c2=b2=2ac. 解得 a=c= 2 . 所以 ΔABC 的面积为 1.

【2012,17】已知 a , b , c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, c ? 3a sin C ? c cos A . (1)求 A; (2)若 a ? 2 ,△ABC 的面积为 3 ,求 b , c . 【解析】 (1)根据正弦定理

a c ? ? 2 R ,得 a ? 2 R sin A , c ? 2 R sin C , sin A sin C

因为 c ? 3a sin C ? c cos A , 所以 2R sin C ? 3(2R sin A)sin C ? 2R sin C ? cos A ,

化简得 3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C , 因为 sin C ? 0 ,所以 3 sin A ? cos A ? 1,即 sin( A ? 而0 ? A ? ? ,?

?
6

)?

?
6

? A?

?
6

?

5? ? ? ? ,从而 A ? ? ,解得 A ? . 6 6 6 3

1 , 2

(2)若 a ? 2 ,△ABC 的面积为 3 ,又由(1)得 A ?

?

3



? ?1 bc sin ? 3 ? ?bc ? 4 ?2 3 则? ,化简得 ? 2 , 2 ? b ? c ? 8 2 2 2 ? ?b ? c ? 2bc cos ? a ? 4 ? 3 ?
从而解得 b ? 2 , c ? 2 .


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