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人教B版高中数学-选修2-3教学案-离散型随机变量的分布列(Word)

数学 2.1.2 离散型随机变量的分布列 [对应学生用书P21] 离散型随机变量的分布列 1.投掷一颗骰子,所得点数为 X. 问题 1:X 可取哪些数字? 提示:X=1,2,3,4,5,6 问题 2:X 取不同的值时,其概率分别是多少? 1 提示:都等于 . 6 2.一瓶中装有 5 个球,编号为 1,2,3,4,5.从瓶中同时取 3 个,以 X 表示取出的 3 个球中 的最大号码. 问题 3:随机变量 X 的可能取值是什么? 提示:X=3,4,5. 问题 4:试求 X 取不同值的概率分别是什么? 3 C3 1 C2 3 C2 6 3 3 4 提示:P(X=3)= 3= ,P(X=4)= 3= ,P(X=5)= 3= = . C5 10 C5 10 C5 10 5 问题 5:你能用表格表示 X 与 P 的对应关系吗? 提示:可表示为: X P 3 1 10 4 3 10 5 6 10 1.分布列的定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 x1,x2,…xn,X 取每一个值 xi(i=1,2,…,n) 的概率 p1,p2…,pn 则称表 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 为离散型随机变量 X 的概率分布列. 2.分布列的性质 数学 由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质: (1)pi≥0,i=1,2,…,n; (2)p1+p2+…+pn=1. 二点分布 战士打靶比赛命中得 2 分,不中得 0 分,命中概率为 0.6. 问题 1 若用“X”表示“打靶得分”,X 可能取哪些值? 提示:0,2 问题 2:打靶得分的分布列是什么? 提示: X P 2 0.6 0 0.4 二点分布 如果随机变量 X 的分布列为 X P 1 p 0 q 其中 0<p<1,q=1-p,则称 X 服从参数为 p 的二点分布. 1.随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值,而且能清楚地看到 取每一个值的概率的大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况. 2.由于随机变量的各个取值之间彼此互斥,因此随机变量在某一范围内取值的概率等 于它取这个范围内各个值的概率之和. [对应学生用书P22] 分布列及其性质的应用 i [例 1] 设随机变量 X 的分布列为 P(X=i)=a(i=1,2,3,4),求: (1)P(X=1 或 X=2); 1 7? (2)P? ?2<X<2?. 1 7 [思路点拨] 先由分布列的性质求 a,再根据 X=1 或 X=2, <X< 的含义,利用分布 2 2 数学 列求概率. 4 1 2 3 4 [精解详析] (1)∵ ?pi=a+a+a+a=1, i=1 ∴a=10, 则 P(X=1 或 X=2) =P(X=1)+P(X=2) = 1 2 3 + = . 10 10 10 (2)由 a=10, 1 7? 可得 P? ?2<X<2? =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 1 2 3 3 + + = . 10 10 10 5 [一点通] 利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题: (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的. (2)不仅要注意 ?pi=1,而且要注意 pi≥0,i=1,2,…,n. i=1 n 1.若离散型随机变量 X 的分布列为 X P 求常数 a 及相应的分布列. 解:由分布列的性质可知 0≤4a-1≤1, ? ? ?0≤3a +a≤1, ? ?4a-1+3a +a=1, 2 2 0 4a-1 1 3a2+a 1 解得 a= . 3 随机变量 X 的分布列为 X P 0 1 3 1 2 3 2.某射手射击所得环数 X 的分布列如下: 数学 X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22 求此射手“射击一次命中的环数不小于 7”的概率. 解:根据射手射击所得的环数 X 的分布列, 有 P(X=7)=0.09,P(X=8)=0.28,P(X=9)=0.29,P(X=10)=0.22. 所求的概率为 P(X≥7)=0.09+0.28+0.29+0.22=0.88. 二点分布问题 ?0,两球全红, ? [例 2] 袋内有 10 个白球、5 个红球,从中摸出 2 个球,记 X=? 求X ?1,两球非全红. ? 的分布列. [思路点拨] X 只有两个可能取值,属于二点分布,应用概率知识求出 X=0 的概率, 然后根据二点分布的特点求出 X=1 的概率,最后列成表格的形式即可. [精解详析] 由题设可知 X 服从二点分布, C2 2 5 P(X=0)= 2 = , C15 21 ∴P(X=1)=1-P(X=0)=1- ∴X 的分布列为 2 19 = . 21 21 X P [一点通] 注意二点分布的几个特点: 0 2 21 1 19 21 (1)二点分布中只有两个对应结果,且两结果是对立的; (2)二点分布中的两结果一个对应 1,另一个对应 0; (3)由对立事件的概率公式可知,已知 P(X=0)(或 P(X=1))便可求出 P(X=1)(或 P(X= 0)). 3.一批产品的次品率为 5%,从中任意抽取一个进行检验,用随机变量 X 来描述次品 出现的情况,即 X=0 表示产品为合格品,X=1 表示产品为次品,则 X 的分布列为 X 0 1 数学 P 解析:X=0 表示取到一个合格品,概率为 95%;X=1 表示取到一个次品,概率为 5%. 答案:0.95 0.05 4.若随机变量 X 只能取两个值 0,1,又知 X 取 0 的概率是取 1 的概率的 3 倍,写出 X 的分布列. 解:由题意及分布列满足的条件知 P(X=0)+P(X=1)=3P(X=1)+P(X=1)=1, 1 3 所以 P(X=1)= ,故 P(X=0)= . 4 4 所以 X 的分布列为 X P 0 3 4

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