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2019年贵州省银河中学高三下学期3月月考(数学)

贵州省银河中学 2019 届高三下学期 3 月月考

数学

2019-3

满分 150 分。考试时间 120 分钟。

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

1.已知? 是第三象限角,| cos? |? m ,且 sin ? ? cos? ? 0 ,则 cos? 等于( )

22

2

A. 1? m 2

B. ? 1? m 2

C. 1? m 2

D. ? 1? m 2

2.已知函数

f

?x?

?

x sin

x ? cos

x, 则f

?

? ??

? 2

? ??

的值为(



A. ? 2

B. 0

C. ?1 D.1

3.设 a, b, c 是空间三条直线,? , ? 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是

()

A.当 c ⊥? 时,若 c ⊥ ? ,则? ∥ ?

B.当 b ? ? 时,若 b ⊥ ? ,则? ? ? C.当 b ? ? ,且 c 是 a 在? 内的射影时,若 b ? c ,则 a ? b D.当 b ? ? ,且 c ?? 时,若 c ∥? ,则 b ∥ c
4.不等式| x ? 2 | ? | x ? 3 |? 5的解集是( )

A. (??, ?3)

B. (2, ??)

C. (?3, 2)

D. (??, ?3) (2, ??)

?

?x ? a

,x?0

5.设函数

f

(

x)

?

?? ? ?

x

1 ?1

?

2 x2 ?1

,0 ?

x ? 1 在定义域内连续,则 a ? 2b ? (

)

?b ?? x

,x ?1

A.2

B.3

C.4

D.5

6.数列{an}满足 a1 ? 1, an?1 ? an ?

A. 575 1 4

B. 625

an

?

1 4

,则

a49

=(

)

C. 650 1 4

7.如图,P 为△OAB 所在平面上一点, OA ? a , OB ? b ,

D.2500

且 P 在线段 AB 的垂直平分线上,向量 OP ? c ,若

| a |? 3, | b |? 2 ,则 c ? (a ? b ) =( )

A.5

B.3

C. 5

D. 3

2

2

8.函数 y ?| 2sin2 x ?1| 的最小正周期是( )

A. ?

B. ?

C. ?

D. 2?

4

2

9.向量

? a

?

(1,2)



? b

?

(x ,1)



? c

?

? a

?

? 2b

,且

? c

//

? a

,则实数

x

的值等于(



A.2

B.)1

C. 1

D. 1

2

4

10.复数 z1

?

a ? 2i , z2

?

3 ? 4i ,且

z1 z2

为纯虚数,则实数 a 的值为(



A. ? 3

B. 3

2

2

C. ? 8

D. 8

3

3

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)

11.设 a =( 3 , sin? ), b =( cos? , 1 ),且 a ⊥ b ,则 tan? =



4

3

12.实数 x, y 满足 x ? 2 ? 0, y ?1 ? 0且x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 u ? x ? y 的最小值为

.

?x ? y ?3? 0

13.设变量 x, y 满足 ??x ? y ? 0 ,则目标函数 z ? 2x ? y 的最小值为

.

???2 ? x ? 3

14.函数 y ? loga(x ? 3) ?1 (a ? 0, a ?1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 2 ? 0

上,其中 mn ? 0,则 3 ? 2 的最小值为

.

mn

15.若复数 z1 ? a ? 2i ,

z2

?

3 ? 4i ,且

z1 z2

为纯虚数,则实数

a

的值为



16.给出下列 4 个命题:①函数 f (x) ? x | x | ?ax ? m 是奇函数的充要条件是 m=0: ②若函数 f (x) ? lg(ax ?1) 的定义域是{x | x ? 1} ,则 a ? ?1 ;③若 loga 2 ? logb 2 , 则 a>b;④圆: x2 ? y2 ?10 x ? 4 y ? 5 ? 0 上任意点 M 关于直线 ax ? y ? 5a ? 2 的对称 点, M? 也在该圆上.填上所有正确命题的序号是________.
三、解答题(共 6 小题,共 76 分)
17.(13 分)已知函数 f (x) ? x3 ? ax ? 3x . (1)若 f (x) 在 x ? [1,+∞ ) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f (x) 的极值点,求 f (x) 在 x ? [1,a]上的最小值和最大值.
18.(13 分)设函数 f (x) ? x2 ? ln(x ? a) . (1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 的切线方程; (2)当 x ? ?1 时, f (x) 取得极值,求 a 的值,并求 f (x) 的单调区间.

19.(13 分)在中央电视台所举办的北京 2019 年奥运火炬手的一期选拔节目中,假定每个选手 需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘
汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 4 , 3 , 2 , 1 ,且各 5432
轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
(2)该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为? ,求随机变量? 的分布列与数学
期望.
20.(13 分)已知 f (x) ? x | x ? a | ?2 (a ? R) . (1)当 a ?1时,解不等式 f (x) ? 0 ; x?3 (2)当 x ?[0,1] 时,不等式 f (x) ? 0 恒成立,求实数 a 的范围.

21.(12 分)已知双曲线 x2 ? y2 ? 1,过右焦点 F2 的直线与右支交于 A、B 两点. (1)证明:| AF2 | ? | BF2 |? 1;
(2)设 AF2 ? ?F2B (? ?1) ,当直线 AB 的斜率 k ?[ 5, 3] 时,求 ? 的取值范围.
22.(12 分) 已知函数 f (x) ? x3 ? mx2 ? nx ? 2 的图象过点(-1,-6),且函数 g(x) ? f ?(x) ? 6x 的图象的对称轴为 y 轴. (1) 求函数 y ? f (x) 的解析式及它的单调递减区间; (2) 若函数 y ? f (x) 的极小值在区间(a-1,a+1)内,求 a 的取值范围.

贵州省银河中学 2019 届高三下学期 3 月月考

数学参考答案

一、选择题

1-5 DABDA 6-10 BCBCD

二、填空题

11. ? 9 ; 4
14. 4 ? 2 3
三、解答题

12.1 ;
; 15. 8 3

13. ? 3 2
; 16.①,④

17.(1) f ?(x) ? 3x2 ? 2ax ? 3 ? 0 .∵ x≥1. ∴ a ? 3 (x ? 1 ) , 2x

当 x≥1 时, 3 (x ? 1 ) 是增函数,其最小值为 3 (1?1) ? 0 .

2x

2

∴ a<0(a=0 时也符合题意). ∴ a≤0.

(2) f ?(3) ? 0 ,即 27-6a-3=0, ∴ a=4.

∴ f (x) ? x3 ? 4x2 ? 3x 有极大值点 x ? ? 1 ,极小值点 x ? 3 . 3
此时 f(x)在 x ?[? 1 , 3] 上时减函数,在 x ?[3 ,+ ?) 上是增函数. 3
∴ f(x)在 x ?[1, a] 上的最小值是 f (3) ? ?18 ,最大值是 f (1) ? ?6 ,(因

f (a) ? f (4) ? ?12). 18. (1) a ? 0 时, f (x) ? x2 ? ln x, f ?(x) ? 2x ? 1
x k ? f ?(1) ? 3, f (1) ? 1

故切线方程为: y ?1 ? 3(x ?1) 即 y ? 3x ? 2 .

(2) f ?(x) ? 2x ? 1 ,由 f ?(?1) ? 0 ,得 a ? 3 .

x?a

2

从而 f ?(x) ? 2x ?

1

2x2 ? 3x ?1 (2x ?1)(x ?1)

?

?

x? 3

x? 3

x? 3

2

2

2

f (x) 定义域为 (? 3 , ??) 2

当 x ? (? 3 , ?1) 时, f ?(x) ? 0 . (? 3 , ?1) 为增区间.

2

2

同理可得 (?1, ? 1 ) 为减区间, (? 1 , ??) 为增区间.

2

2

19. (1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1, 2, 3, 4) ,



P( A1)

?

4 5

,

P( A2

)

?

3 4

,

P( A3)

?

2 3

,

P( A4 )

?

1 2

.

该选手进入第四轮才被淘汰的概率:

P

?

P( A1A2 A3

A4 )

?

P(A1) ?

P(A2 ) ?

P( A3) ?

P( A4 )

?

4 5

?

3 4

?

2 3

?

1 2

?

1 5

(2)由题意? 的所有可能取值分别是 1,

2,

3,

4,且 P(?

? 1) ? P( A1) ?

1, 5

P(?

?

2)

?

P( A1

A2 )

?

P( A1)P( A2 )

?

4 5

?

1 4

?

1 5

P(?

?

3)

?

P( A1A2

A3 )

?

P( A1)P( A2 )P( A3)

?

4? 5

3? 4

1 3

?

1 5

P(?

?

4)

?

P( A1A2 A3)

?

P( A1)P( A2 )P( A3)

?

4 5

?

3 4

?

2 3

?

2 5

∴? 的分布列为

?

1

2

3

4

P

1

1

1

2

5

5

5

5

∴ E? ? 1? 1 ? 2? 1 ? 3? 1 ? 4? 2 ? 14 5 5 5 55

20. (1) a ?1时, f (x) ? 0 即 x | x ?1| ?2 ? 0 ,

x?3

x?3

?x ?1

?

? ?

x2

?

x

?

2

?? x ? 3 ? 0

?x ?1



? ? ??

x2

?x? x?3

2

?

0

?

?x ?1 ??(x ?1)(x

?

2)(x

?

3)

?

0



?x ?? x

? ?

1 3

?1? x ? 2 或 x ? 3 或 x ? 1 ? x ?(??, 2) (3, ??)

(2)当 x ? 0 时, f (x) ? 0 恒成立.

当 x ?(0,1] 时, f (x) ? 0即 x | x ? a | ?2 ? 0

| x ? a |? 2 , 可得 x ? 2 ? a ? x ? 2

x

x

x

令 g(x) ? x ? 2 (x ?(0,1]), h(x) ? x ? 2 (x ?(0,1])

x

x

则有 g(x)max ? a ? h(x)min .



g(x)

?

x

?

2 x

单增,故

g ( x)max

?

g (1)

?

?1 ,

h?( x)

?

1?

2 x2

?

x2 ? 2 x2

?

0

,

h(x) 在 (0,1] 上单减,故 h(x)min ? h(1) ? 3 ,

所以 a ? (?1.3)

21.证明:法一,当直线 AB 斜率不存在时,| AF2 |?| BF2 |? 1,

故 | AF2 | ? | BF2 |? 1

当直线 AB 斜率存在时,设 AB : y ? k (x ? 2)



?? x 2 ?

?

y2

?1

得 (k 2 ?1)x2 ? 2 2k 2 x ? 2k 2 ?1 ? 0

?? y ? k(x ? 2)

? ?k2 ?1 ? 0



? ? ? ?

2 k

2

2k 2 ?1

?0

得 k 2 ? 1, 设 A(x1, y1), B(x2 , y2 )

? ??

2k 2 ?1 k2 ?1

?

0

则| AF2 | ? | BF2 |? (ex1 ? a)?(ex2 ? a) ? ( 2x1 ?1)( 2x2 ?1)

? 2x1x2 ? 2(x1 ? x2) ?1

?

k

2 2 ?1

?1

?

1

所以| AF2 | ? | BF2 |? 1.

法二:如图

不妨设| AF2 |? m, | AF2 |? n, m ? n .

则 | AA1 |?

2 2

m,

|

BB1

|?

2 2

n,

|

PF2

|?

2, 2

由 | BF2 | ? | NF2 | 得 | AB | | MA |

n

?

2? 2n 2 2 即 2mn ? m ? n

m?n 2 m? 2 n

2

2

由 2mn ? m ? n ? 2 mn ,得 mn ?1

∵m ? n

∴ mn ?1. 当 AB ? x 轴时, mn ?1

(2)

AF2

?

? F2B

?

?? ?

2 ? x1 ? ?(x2

?? y1 ? ?? y2

?

2)

设 AB : x ? ty ? 2 ,代入双曲线得

(t2 ?1) y2 ? 2 2ty ?1 ? 0 ,

?

从而

?? ?

y1

?

y2

?

2 2t 1?t2

?

(1? ?) y2

(1)

? ??

y1

y2

?

1 t2 ?1

?

?? y22

(2)

(1)2 (2)



(1? ?)2 ?

?

8t 1?

2
t

2

?

8? (1)2 ?1 t

8? k 2 ?1??
?
?

5 ? k 2 ? 9??

?

??? ????

2 2

? 3? ?1 ? 0 ? ? ?[3 ?

? 4? ?1 ? 0

2

5 ,2?

3] .

22.(1)点(-1,-6)代入,得 m ? n ? ?3

g(x)= f ?(x) +6x=3x2+2mx+n+6x=3x2+(2m+6)x+n

? 2m ? 6 ? 0 ,得 m ? ?3,n=0. 2?3
f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)<0,得 0<x<2,
故 f(x)的单调递减区间是(0,2)

(2) x=2 时, y=f(x)有极小值 f (2) ? ?6

a-1<-6,且 a+1>-6 得-7<a<-5.


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