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2013届高三数学培优补差辅导专题讲座-数列单元易错题分析与练习


数列单元易错题分析
1、如何判断等差数列、等比数列?等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导? 2、解决等差(等比)数列计算问题通常的方法有哪两种? ① 基本量方法:抓住 a1 , d (q) 及方程思想; ②利用等差(等比)数列性质). [问题]:在等差数列 ?an ? 中,a16 ? a17 ? a18 ? a9 ? ?36 ,其前 n项的和为 S n ,?1?求 Sn 的最小值; ?2?求Tn ? a1 ? a2 ? ? ? an 3、解决一些等比数列的前 n 项和问题,你注意到要对公比 q ? 1 及 q ? 1 两种情况进行讨论了 吗? 4、 “已知 S n , an ” 在 求 的问题中,你在利用公式 an ? S n ? S n?1 时注意到 n ? 2 了吗?( n ? 1 时, 应有 a1 ? S1 ) 5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法?(①猜证法;②转化为等差(比)数列问题) [问题]:已知: a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 3n , 求an . 6、你知道 lim q 存在的条件吗? ? 1 ? q ? 1) ,你理解数列、 ( 有穷数列、无穷数列的概念吗?
n n ??

你知道无穷数列 {an } 的前 n 项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有 项的和必定存在? 7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法) *8 数学归纳法证明问题的基本步骤是什么?你注意到“用数学归纳法证明中,必须用上归纳 假设”吗? 1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明,其步骤是: (1)验证命题对于第一个自然数 n= n0 (k≥n0)时成立;(2)假设 n=k 时成立,从而证明当 n=k+1 时命题也成立, (3)得出结论. 2、.(1)、 (2)两个步骤在推理中的作用是:第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,二 者缺一不可。第二步证明时要一凑假设,二凑结论. 例题选讲 1、不能正确地运用通项与前 n 项和之间的关系解题: 例 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求通项公式 an: (1)Sn=5n2+3n; (2)Sn= 3 -2; 【错解】由公式 an=sn-sn-1 得: (1)an=10n-2; (2) an ? 2 ? 3 【分析】应该先求出 a1,再利用公式 an=sn-sn-1 ? n ? 2 ? 求解. 【正解】 (1)an=10n-2; (2) an ? ?
n?1
n

?1 ?2 ? 3
n ?1

( n ? 1) ( n ? 2)

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2、忽视等比数列的前 n 项和公式的使用条件: 例 2、求和:(a-1)+(a2-2)+(a3-3)+?+(an-n) . 【错解】S=(a+(a2+a3+?+an) -(1+2+3+?+n)=

a(1 ? a n ) n(n ? 1) ? . 1? a 2

【分析】利用等比数列前 n 项和公式时,要注意公比 q 的取值不能为 1. 【正解】S=(a+(a2+a3+?+an) -(1+2+3+?+n) 当 a=1 时,S =

n ? n2 a(1 ? a n ) n(n ? 1) ? ;当 a ? 1 时,S= 1? a 2 2
1 ,第二、三项的和为 2 ,求这个等比数列 16

3、 忽视公比的符号 例 3、已知一个等比数列 ?an ? 前四项之积为 的公比.

1 ? a4 ? ? a a 16 ? 3 【错解】? 四个数成等比数列,可设其分别为 3 , , aq, aq , 则有 ? ,解得 q q ? a ? aq ? 2 ?q ?
q ? 2 ? 1 或 q ? ? 2 ? 1 ,故原数列的公比为 q2 ? 3 ? 2 2 或 q2 ? 3 ? 2 2
【分析】按上述设法,等比数列 ?an ? 的公比是 q 2 ,是正数,四项中各项一定同号,而原题 中无此条件,所以增加了限制条件。

? 4 6 1 4 ? aq ? 16 ,? ?1 ? q ? ? 64q 2 【正解】设四个数分别为 a, aq, aq , aq , 则 ? ?aq ? aq 2 ? 2 ?
2 3

由 q ? 0 时,可得 q2 ? 6q ? 1 ? 0,?q ? 3 ? 2 2; 当 q ? 0 时,可得 q2 ? 10q ? 1 ? 0,?q ? ?5 ? 4 6 变式、等比数列 {an } 中,若 a3 ? ?9 , a7 ? ?1 ,则 a5 的值 (A)是 3 或-3 (B) 是 3 (C) 是-3
2

(D)不存在

【错解】? {an } 是等比数列, ? a3 , a5 , a7 成等比, a5 ? (?9)(?1) =9,?a5 ? ?3 选A 【分析】 a3 , a5 , a7 是 {an } 中的奇数项,这三项要同号。错解中忽视这一点。 【正解】C 4、 (见手写 P13-25 13) 5、 (见手写 P14-25 14) 6、缺乏整体求解的意识
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例 6、一个只有有限项的等差数列,它的前 5 项的和为 34,最后 5 项的和为 146,所有项的 和为 234,求 a7 【错解】设该数列有 n 项且首项为 a 1 ,末项为 a n ,公差为 d

则依题意有

? ?5a1 ? 10d ? 34 ? ?5a n ? 10d ? 146 ?a ? a n ? 1 ? n ? 234 ? 2

(1) ( 2) ,三个方程,四个未知数,觉得无法求解。 (3)

【分析】 在数列问题中,方程思想是常见的思想,使用时,经常使用整体代换的思想。错 解中依题意只能列出 3 个方程,而方程所涉及的未知数有 4 个,没有将 a1 ? a n 作为一个 整体,不能解决问题。事实上,本题求 a7 ,而没有要求其他的量,只要巧用等差中项的 性质, a 7 ? 理解。 【正解】设该数列有 n 项且首项为 a 1 ,末项为 a n ,公差为 d 则依题意有

a1 ? a13 ,求出 a1 ? a13 即可。知识的灵活应用,来源于对知识系统的深刻 2

? ?5a1 ? 10d ? 34 ? ?5a n ? 10d ? 146 ?a ? a n ? 1 ? n ? 234 ? 2

(1) ( 2) , (1) ? ( 2) 可得 a1 ? a n ? 36 ,代入(3)有 n ? 13 , (3)
a1 ? a13 36 ? ? 18 2 2

从而有 a1 ? a13 ? 36 , 又所求项 a7 恰为该数列的中间项,? a 7 ? 例7

(1)设等比数列 ?an ?的全 n 项和为 S n .若 S 3 ? S 6 ? 2S 9 ,求数列的公比 q . 错误解法 ? S3 ? S 6 ? 2S9 , ?

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 9 ) , ? ? 2? 1 1? q 1? q 1? q

整理得

q 3 (2q 6 ? q 3 ? 1 )= . 0
3

由q ? 0得方程 2q 6 ? q 3 ? 1 ? 0. ? (2q 3 ? 1)(q 3 ? 1) ? 0,? q ? ?

4 2

或 q ?1。

错误分析 在错解中,由

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 9 ) , ? ? 2? 1 1? q 1? q 1? q

整理得 q 3 (2q 6 ? q 3 ? 1 )= 时,应有 a 1 ? 0 和 q ? 1 。 0
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在等比数列中, a1 ? 0 是显然的,但公比 q 完全可能为 1,因此,在解题时应先讨论公 比 q ? 1 的情况,再在 q ? 1 的情况下,对式子进行整理变形。 正确解法 若 q ? 1 ,则有 S 3 ? 3a1 , S 6 ? 6a1 , S 9 ? 9a1 . 但 a1 ? 0 , 即得 S3 ? S 6 ? 2S9 , 与题设矛盾,故 q ? 1 . 又依题意

S3 ? S6 ? 2S9 ?

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 9 ) ? ? 2? 1 1? q 1? q 1? q

? q 3 (2q 6 ? q 3 ? 1 )=0 ,即 (2q 3 ? 1)(q 3 ? 1) ? 0, 因为 q ? 1 ,所以 q 3 ? 1 ? 0, 所以

2q 3 ? 1 ? 0. 解得 q ? ?

3

4 . 2

说明 此题为 1996 年全国高考文史类数学试题第(21)题,不少考生的解法同错误解法,根 据评分标准而痛失 2 分。 例题 7 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列,证明 am,am+2,am+1 成等差数列; (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题,判断它的真伪,并给出证明. 证 (Ⅰ) ∵Sm+1=Sm+am+1,Sm+2=Sm+am+1+am+2. 由已知 2Sm+2=Sm+Sm+1,∴ 2(Sm+am+1+am+2)=Sm+(Sm+am+1), 1 1 ∴am+2=- am+1,即数列{an}的公比 q=- . 2 2 1 1 ∴am+1=- am,am+2= am,∴2am+2=am+am+1,∴am,am+2,am+1 成等差数列. 2 4 (Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是:若 am,am+2,am+1 成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列. 设数列{an}的公比为 q,∵am+1=amq,am+2=amq2. 1 由题设,2am+2=am+am+1,即 2amq2=am+amq,即 2q2-q-1=0,∴q=1 或 q=- . 2 当 q=1 时,A≠0,∴Sm, Sm+2, Sm+1 不成等差数列.逆命题为假. 例题 8 已知数列{an}满足 a1=1,a2=-13, an?2 ? 2an?1 ? an ? 2n ? 6 (Ⅰ)设 bn ? an?1 ? an , 求数列 bn } 的通项公式; { (Ⅱ)求 n 为何值时, an 最小(不需要求 an 的最小值) 解: (I)? bn ? an?1 ? an ,? an?2 ? 2an?1 ? an ? bn?1 ? bn ? 2n ? 6

? bn ? bn ?1 ? 2(n ? 1) ? 6, bn ?1 ? bn ? 2 ? 2(n ? 2) ? 6,....,b2 ? b1 ? 2 ? 6 将这n ? 1个等式相加,得 n ? b1 ? 2[1 ? 2 ? ... ? (n ? 1)] ? 6(n ? 1) b ? bn ? n(n ? 1) ? 6(n ? 1) ? (a 2 ? a1 ) ? n 2 ? 7n ? 8
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即数列{bn}的通项公式为 bn ? n 2 ? 7n ? 8 (Ⅱ)若 an 最小,则 an ? an?1且an ? an?1 .即bn?1 ? 0且bn?1 ? 0

?n 2 ? 7 n ? 8 ? 0 ? ?? 注意 n 是正整数,解得 8≤n≤9 ?(n ? 1) 2 ? 7(n ? 1) ? 8 ? 0 ?
∴当 n=8 或 n=9 时,an 的值相等并最小 例题 9 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 关于点(1,1)成中心对称,且 f '(1)=0. (Ⅰ)求函数 f(x)的表达式; (Ⅱ)设数列{an}满足条件:a1∈(1,2),an+1=f (an) 求证:(a1- a2)· 3-1)+(a2- a3)· 4-1)+?+(an- an+1)· n+2-1)<1 (a (a (a 解:(Ⅰ)由 f(x)=x3+ax2+bx+c 关于点(1,1)成中心对称,所以 x3+ax2+bx+c+(2-x)3+a(2-x)2+b(2-x)+c=2 对一切实数 x 恒成立.得:a=-3,b+c=3, 对由 f '(1)=0,得 b=3,c=0, 故所求的表达式为:f(x)= x3-3x2+3x. (Ⅱ) an+1=f (an)= an 3-3 an 2+3 an (1)
3 令 bn=an-1,0<bn<1,由代入(1)得:bn+1= bn ,bn= b13
n ?1



∴ 1>bn >bn+1 >0 (a1-a2)· 3-1)+(a2-a3)· 4-1)+?+(an-an+1)· n+2-1) (a (a (a =

? (b
k ?1

n

k

? bk ?1 ) ? bk ? 2 <

? (b
k ?1

n

k

? bk ?1 ) =b1-bn+1<b1<1。

例题 10、平面直角坐标系中,已知 An (n, an ) 、 Bn (n, bn ) 、 Cn (n ? 1, 0)(n ? N* ) ,满足向量

??????? ????? ? An An?1 与向量 BnCn 共线,且点 Bn (n, bn )(n ? N* ) 都在斜率为 6 的同一条直线上.
(1)试用 a1 , b1 与 n 来表示 a n ; (2)设 a1 ? a, b1 ? ?a ,且 12<a≤15,求数列 ?an ? 中的最小值的项. 解: (1)? 点 Bn (n, bn )(n ? N* ) 都在斜率为 6 的同一条直线上,

?

bn ?1 ? bn ? 6 ,即 bn ?1 ? bn ? 6 , ( n ? 1) ? n

于是数列 ?bn ? 是等差数列,故 bn ? b1 ? 6(n ? 1) .

? An An?1 ? (1, an?1 ? an ) , BnCn ? (?1, ? bn ) ,又 An An?1 与 BnCn 共线,

???????

????? ?

???????

????? ?

? 1? (?bn ) ? (?1)(an?1 ? an ) ? 0, 即an?1 ? an ? bn .
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? 当n ≥ 2时,an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? a n?1 )

? a1 ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn?1
? a1 ? b1 (n ? 1) ? 3(n ? 1)(n ? 2) .
当 n=1 时,上式也成立. 所以 an ? a1

? b1 (n ? 1) ? 3(n ? 1)(n ? 2) .

(2)把 a1 ? a, b1 ? ?a 代入上式, 得 an ? a ? a(n ? 1) ? 3(n ? 1)(n ? 2)

? 3n2 ? (9 ? a)n ? 6 ? 2a.

?

7 9?a 12<a≤15,? < ≤4 , 2 6
最小值为 a4=18-2a.

? 当 n=4 时, a n 取最小值,?

基础练习题 - 1、已知 a1 = 1,an = an-1 + 2n 1(n≥2),则 an = ________。2n-1(认清项数) 2、已知 -9、a1、a2、-1 四个实数成等差数列,-9、b1、b2、b3、-1 五个实数成等比数 列, 则 b2 (a2-a1) = A(符号) (A) -8 (B) 8 9 (C) - 8 (D) 9 8

3、已知 {an} 是等比数列,Sn 是其前 n 项和,判断 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成等比数列吗? 当 q = -1,k 为偶数时,Sk = 0,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 不成等比数列; 当 q≠-1 或 q = -1 且 k 为奇数时,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成等比数列。 (忽视公比 q = -1) 4、已知等差数列{an}的首项 a1=120,d=-4,记 Sn= a1+a2+?+an,若 Sn≤an(n>1) ,则 n 最小值为???????????????????????( (A)60 (B)62 (C)63 (D)70 B )

5、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 也是等比数列,则 Sn 等于(C ) ? (A)

2n?1 ? 2

(B) 3n

(C) 2n

(D)

3n ? 1

6、若数列 ?an ?中, a1 ? (A) ? ?

1 ,且对任意的正整数 p 、 q 都有 a p ? q ? a p aq ,则 a n ? 3

? 1? ? 3?

n ?1

(B) 2? ?

? 1? ? 3?

n

(C) ? ?

?1? ? 3?

n

(D)

1 3

(

C)

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7、已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? aq n?1 (a ? 0, q ? 1, q 为非零常数) ,则数列 {a n } 为( (A)等差数列 (C)既不是等差数列,又不是等比数列 8、设数列{an}是等比数列, a1 ? A. (B)等比数列 (D)既是等差数列又是等比数列 (



1 4

B.

1 8

1 , q ? 2 ,则 a4 与 a10 的等比中项为 512 1 1 C. ? D. ? 8 4



(a1 ? a 2 ) 2 9、 x, a1 , a2 , y 成等差数列, , b1 , b2 , y 成等比数列, 设 则 的取值范围是____________. x b1b2
(答: (??,0] ? [4, ??) ) 。

10、设 x, a1 , a2 , a3 , y 成等差数列, x, b1 , b2 , b3 , y 成等比数列,则 ____________.(答: [4, ??) ) 。

(a1 ? a3 )2 的取值范围是 b1b3

11、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,公差 d ? 0 . 若存在正整数 m(m ? 3) ,使得 am ? Sm , 则当 n ? m ( n ? N * )时,有 Sn _____ an (填“>”“<”“=”. ? 、 、 ) 12、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S12>0,S13<0,则 是 B (A) S1 a1 (B) S6 a6 (C) S7 a7 (D) S12 a12 S1 S2 S12 , ,?, 中最大的 a1 a2 a12

13、已知数列 {an } 为等差数列,则“ m ? n ? p ? q ”是“ am ? an ? ap ? aq ”的(A) A.充分不必要条件 C.充要条件 易错原因:不注意 {an } 为常数列特殊情况. 14、 b ? a “ c ”是实数 a, b, c 成等比数列的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要的条件 (B) D. 17 (B) (D) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要的条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 易错原因:对等比数列的概念理解不全面.

15、等差数列 {an } 中,若 S9 ? 18, Sn ? 240, an?4 ? 30 ,则 n 的值为 A. 14 B. 15 C. 16 易错原因:找不到简捷的解法,用联立方程组求解时发生运算错误. 16、等差数列 {an } 中, a10 ? 0, a11 ?| a10 |, Sn 为其前 n 项的和,则

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A. S1 , S2 , ???, S10 都小于 0 , S11 , S12 , ??? 都大于 0 B. S1 , S2 , ???, S10 都小于 0 , S20 , S21 , ??? 都大于 0 C. S1 , S2 , ???, S5 都小于 0 , S6 , S7 , ??? 都大于 0 D. S1 , S2 , ???, S20 都小于 0 , S21 , S22 , ??? 都小于 0 易错原因:已知条件 a11 ?| a10 | 不会灵活运用. 17、在等差数列 {an } 中,若 a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? 0 ,则 a11 的值是 A. 1 B. ?1 C. 0 (C) D.不能确定

易错原因:找不到 a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? 0 与 a11 的关系. 18、若 {an } 为等比数列, a4 ? a7 ? ?512, a3 ? a8 ? 124 ,若公比 q 为整数,则 a10 ? (C) A. 256 B. ?256 C. 512 D. ?512

易错原因:①未考虑 q 为整数;②运算发生错误. 19、数列 {an } 中, a1 ? 2, an?1 ? 2an ?1 ,则 an 为 A. 2 ? 1 B. 2 ? 1 C. 2 ? 1 D. 2 易错原因:①对取特殊值排除有些选项的意识不强;②构造新数列有困难.
n n n?1 n?1

(C)

?1

20、数列 {xn } 满足 则首项 x1 等于 A. 2n ? 1

x xn x1 x ,且 x1 ? x2 ? ??? ? xn ? 8 , ? 2 ? 3 ? ??? ? x1 ? 1 x2 ? 3 x3 ? 5 xn ? 2n ? 1
(D) B. n C.

8 2n ? 1

D.

8 n2

易错原因:①不能熟练地运用比的性质;②对连等式如何变换缺少办法. 1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n} )的 特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如

n 1 (n ? N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为__(答: ) ; n ? 156 25 an (2) 数列 {an } 的通项为 an ? , 其中 a , b 均为正数, an 与 an ?1 的大小关系为___ 则 (答: bn ? 1
(1)已知 an ?
2

an ? an?1 ) ;
2 (3)已知数列 {an } 中, an ? n ? ? n ,且 {an } 是递增数列,求实数 ? 的取值范围(答:

? ? ?3 ) ;

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( 4 ) 一 给 定 函 数 y ? f (x) 的 图 象 在 下 列 图 中 , 并 且 对 任 意 a1 ? (0,1) , 由 关 系 式

an?1 ? f (an ) 得到的数列 {an } 满足 an?1 ? an (n ? N * ) ,则该函数的图象是 () (答:A)

A

B

C

D

2.等差数列的有关概念: (1)等差数列的判断方法:定义法

an?1 ? an ? d (d为常数) an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) 。如 或

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? N * 为通项公式的数列 {bn } 为等差 n 设 {an } 是等差数列,求证:以 bn=
数列。 (2)等差数列的通项:

an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。如
(答: 2 n ? 10 ) ;

(1)等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ?

(2)首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______(答:

8 ?d ?3 3 ) Sn ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 2 , 。如

(3)等差数列的前 n 和:

1 3 15 an ? an ?1 ? (n ? 2, n ? N * ) an ? Sn ? ? 2 2 ,前 n 项和 2 ,则 a1 = (1)数列 {an } 中, ,
_, n =_(答:

a1 ? ?3 , n ? 10 ) ;

( 2 ) 已 知数 列 {an } 的 前 n 项 和

Sn ? 12n ? n2 , 求 数 列 {| an |}的 前 n 项 和 Tn ( 答 :

?12n ? n 2 (n ? 6, n ? N * ) ? Tn ? ? 2 * ?n ? 12n ? 72(n ? 6, n ? N ) ). ?
(4)等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且
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A?

a?b 2 。

提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: 其中

a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,

a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即

知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为?,

a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ? ( 公 差 为 d ); 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为 ? , a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(公差为 2 d )
3.等差数列的性质:

a ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函 (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 n

数,且斜率为公差 d ;前 n 和 且常数项为 0.

Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 2 是关于 n 的二次函数

(2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 , 则为常数列。

a ? an ? a p ? aq ( 3 ) 当 m ? n ? p ? q时 , 则 有 m ,特别地,当 m? n ? 2p 时,则有

am ? an ? 2ap
(答:27) ;

.如(1)等差数列

{an } 中, Sn ? 18, an ? an?1 ? an?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____

(2)在等差数列 {an } 中,

a10 ? 0, a11 ? 0 ,且 a11 ?| a10 | , S n 是其前 n 项和,则 A、
B、

S1 , S2 ?S10 都小于 0, S11 , S12 ? 都大于 0
0 C、

S1 , S2 ?S19 都小于 0, S20 , S21 ? 都大于
D、

S1 , S2 ? S5 都小于 0,S6 , S7 ? 都大于 0

S1 , S2 ?S20 都小于 0,S21 , S22 ?

都大于 0 (答:B) (4) 若 {an } 、

{bn } 是 等 差 数 列 , 则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是 非 零 常 数 ) 、

an {ap?nq }( p, q ? N * ) Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n {a } 、 , ?也成等差数列, {a } 成等比数列; 而 若 n

是等比数列,且

an ? 0 ,则 {lg an 是等差数列. 如等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 }
。 (答:225)

100,则它的前 3n 和为

(5)在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时,

S偶-S奇 ? nd


;项数为奇数 2n ? 1 时,

S奇 ? S偶 ? a中



S2n?1 ? (2n ?1) ? a中

(这里

a中



S an ) S奇 : ;

? )? k k 1 ( :

。如

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(1)在等差数列中,S11=22,则

a6 =______(答:2) ;

(2)项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项 与项数(答:5;31).

An ? f ( n) {b } A B B (6)若等差数列 {an } 、 n 的前 n 和分别为 n 、 n ,且 n ,则 an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) b bn (2n ? 1)bn B2 n ?1 .如设 {an } 与{ n }是两个等差数列,它们的前 n 项和分

an Sn 3n ? 1 6n ? 2 ? ? S T T 4n ? 3 ,那么 bn ___________(答: 8n ? 7 ) 别为 n 和 n ,若 n
(7)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差
?an ? 0 ? ?an ? 0 ? ? 或? ? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ?an ?1 ? 0 ? 确 n 项和的最小值是所有非正项之和。 数列中,前 法一: 由不等式组

定出前多少项为非负(或非正) ;法二:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化 为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N 。上述两种方法是运用了哪种数学思
*

想?(函数思想) ,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?如 (1)等差数列 {an } 中,a1 ? 25 ,S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。 (答: 前 13 项和最大,最大值为 169) ; (2)若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 ,

a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是

(答:4006)

(8)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新 等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不 一定相同,即研究

an ? bm .

4.等比数列的有关概念:

an ?1 an?1 an ? q(q为常数) ? q ? 0, an ? 0 或 an an?1 (1)等比数列的判断方法:定义法 an ,其中
(n ? 2) 。如
(1) 一个等比数列 {an } 共有 2n ? 1 项, 奇数项之积为 100, 偶数项之积为 120, 则

an ?1 为____

5 (答: 6 ) ;
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(2)数列 {an } 中, 是等比数列。

Sn =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1,若 bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列{ bn }

n ?1 n ?m a ? an ? 66 , (2)等比数列的通项: an ? a1q 或 an ? amq 。如设等比数列 {an } 中, 1

a2 an?1 ? 128 ,前 n 项和 Sn =126,求 n 和公比 q . (答: n ? 6 ,
(3)等比数列的前 n 和:当 q ? 1 时,

q?

1 2 或 2)

Sn ? na1 ;当 q ? 1 时,

Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q

?
10

a1 ? an q 1 ? q 。如(1)等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 (答:44)(2) ;
n

? (? Cnk )
n ?1 k ?0

的值为__________(答:2046) ;

特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要判断 公比 是否为 1,再由 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 是否为 1 时,要对

q

q

q

q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。
(4)等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。提醒:不是任何两 数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ? ab 。如已知两个正数

a, b( a ? b)的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为______(答:A>B)
提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: 其中

a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,

a1 、 q 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即

知 3 求 2;

a a , , a, aq, aq 2 2 (2) 为减少运算量, 要注意设元的技巧, 如奇数个数成等比, 可设为?,q q ?

a a , , aq, aq3 q3 q q) (公比为 ;但偶数个数成等比时,不能设为? ,?,因公比不一定为正
数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 q 。如有四个数,其中前三个数成等差数列, 后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求 此四个数。 (答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16)
2

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5.等比数列的性质: (1) m ?n ?p ?q 当 如 (1)在等比数列 {an } 中, 512) ; (2)各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a 2 ?? ? log3 a 10 ? (答:10) 。 (2) 若 {an } 是等比数列,则
* {| an |} 、 {ap?nq }( p, q ? N ) 、 {kan } 成等比数列;若 {an }、 n } {b

时, 则有

am ? n ? a p ? q a a

, 特别地, m ? n ? 2 p 时, 当 则有

am ? n ? ap 2 a

.

a3 ? a8 ? 124, a4a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 =___(答:

a { n} {a b } b 成等比数列,则 n n 、 n 成等比数列; 若 {an } 是等比数列,且公比 q ? ?1 ,则数列

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n

, ? 也 是 等 比 数 列 。 当 q ? ?1 , 且 n 为 偶 数 时 , 数 列

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?是常数数列 0,它不是等比数列. 如
( 1 ) 已 知 a ? 0 且 a ? 1 , 设 数 列 {xn } 满 足 l o agx
?1 n

? ?1

l x g (n ? N * ), 且 o n a
100

x1 ? x 2? ? ? x

1 0 0

? 100 ,则 x101 ? x102 ? ? ? x200 ?

. (答: 100a

) ;

(2)在等比数列 {an } 中, 为______(答:40) (3) 若

S n 为其前 n 项和,若 S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,则 S 20 的值

a1 ? 0, q ? 1 , 则 {a } 为 递 增 数 列 ; 若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {a } 为 递 减 数 列 ; 若 n n

a1 ? 0,0 ? q ? 1 ,则 {a } 为递减数列;若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {a } 为递增数列;若 q ? 0 , n n
则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则

{an } 为常数列.

(4) 当 q ? 1 时,

Sn ?

? a1 n a q ? 1 ? aqn ? b 1? q 1? q ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ?0 ,这是等

比数列前 n 项和公式的一个特征,据此很容易根据
n 若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 ? r ,则 r =

Sn ,判断数列 {a } 是否为等比数列。如 n

(答:-1)

(5)

Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm .如设等比数列 {a } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 n

Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列,则 q 的值为_____(答:-2)

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(6) 在 等 比 数 列 {an } 中 , 当 项 数 为 偶 数 2n 时 ,

S偶 ? qS 奇

; 项 数 为 奇 数 2n ? 1 时 ,

S奇 ? a ? qS 1 偶

.

(7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数数列

{an } 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列 {an } 的前 n 项和
为 S n ( n ? N ) 关于数列 {an } 有下列三个命题:① a n ? a n?1 , 若

(n ? N) ,则 ? an ? 既是等

2 b 差 数 列 又 是 等 比 数 列 ; ②若 S n ? a n ? b n ? a 、 ? R ? , 则 {an } 是 等 差 数 列 ; ③若

S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 {a } 是等比数列。这些命题中,真命题的序号是 n
n

(答:② ) ③

6.数列的通项的求法:

1 1 1 1 3 ,5 ,7 ,9 , ? ⑴ 公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。如已知数列 4 8 16 32 an ? 2n ? 1 ? 1 2n ?1 )

试写出其一个通项公式:__________(答:

a ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: S ⑵ 已知 n (即 1 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an (答:

an ?
an ?

?S ,(?nS? 1),(n ? 2) S
1 n n ?1

。如

已知 {an } 的前 n 项和满足

?

3, n ? 1 2n , n ? 2

) ;

1 1 1 14, n ? 1 a ? a1 ? 2 a2 ? ? ? n an ? 2n ? 5 an (答: n 2n ?1 , n ? 2 ) 2 2 ② 数列 {an } 满足 2 ,求

?

? f (1),(n ? 1) ? an ? ? f (n) ,(n ? 2) ? f (n ? 1) a ? ? an ? f (n) 求 an ,用作商法: a ?? ? ⑶已知 1 2 。如数列 {an } 中,
61 a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n ,则 a3 ? a5 ? ______(答: 16 )
2

⑷ 若

an?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 )
a n ? a n ?1 ? 1 n ? 1 ? n (n ? 2) , 则

? a1 (n ? 2) 。 如 已 知 数 列 {a } 满 足 a1 ? 1 , n

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an =________(答: an ? n ? 1 ? 2 ? 1)
an?1 a a a ? f ( n) an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 a 用累乘法: {a } a an ?1 an ? 2 a1 (n ? 2) 。 ⑸ 已知 n 求 n, 如已知数列 n

S S ? n an ,求 an (答: 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 n ,若 n
2

an ?

4 n(n ? 1) )

⑹ 已知递推关系求 (1)形如

an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。特别地,

an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法

转化为公比为 k 的等比数列后,再求 ① 已知 ② 已知

an 。如

a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an (答: an ? 2? n?1 ?1 ) 3 ;

a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an (答: an ? 5? n?1 ? 2n?1 ) 3 ;
an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。如 kan ?1 ? b

(2)形如 an ?

1 an ? an ?1 a 3n ? 2 ) ① 已知 a1 ? 1, an ? ,求 n (答: ; 3an ?1 ? 1 1 a ? a1 =1, an?1 ? an ? an an?1 ,求 an (答: n n 2 ) ② 已知数列满足
注意: (1)用

an ? S n ? S n?1 求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗?

a S ( n ? 2 ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 )(2)一般地当已知条件中含有 n 与 n 的混合关系时,常 ;
需运用关系式

an ? S n ? S n?1 ,先将已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式,然后再求解。

?4, n ? 1 5 an ? ? a1 ? 4, S n ? S n ?1 ? an ?1 n ?1 {a } a 3 ?3 ? 4 , n ? 2 ) 如数列 n 满足 ,求 n (答:
7.数列求和的常用方法: (1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列求和 公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式:

1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) 2



12 ? 22 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) 6



13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [

n(n ? 1) 2 ] 2 .如

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(1)等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn=2n-1,则

2 2 2 a12 ? a2 ? a3 ? ? ? an =_____(答:

4n ? 1 3 ) ;

) (2)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢 2 进 1” ,如 (1101 2 表示
3 2 1 0 二 进 制 数 , 将 它 转 换 成 十 进 制 形 式 是 1? 2 ? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 1? 2 ? 13 , 那 么 将 二 进 制

(111?11) 2 ?? ? ? ?
2 0 0 个1 5

转换成十进制数是_______(答: 2

2005

?1 )

(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在 一起,再运用公式法求和. 如求: Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ??? (?1)n (2n ?1) (答: (?1) ? n )
n

(3)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关 联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推 导方法). 如
0 1 2 n ①求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ?? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)? n ; 2

②已知 f ( x) ?

1 1 1 7 x2 , f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =___ 则 (答: ) 2 2 3 4 2 1? x

(4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构 成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 如 (1)设 {an } 为等比数列, Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1 , T2 ? 4 ,① 求数 列 {an } 的首项和公比; 求数列 {Tn } 的通项公式. ② (答: ①
2

a1 ? 1 , ? 2 ; Tn ? 2n?1 ? n ? 2 ) q ② ;

(2)设函数 f ( x) ? ( x ?1) ,g ( x) ? 4( x ?1) ,数列 {an } 满足: a1 ? 2, f (an ) ? (an ?

an?1 ) g (an )(n ? N? ) ,①求证:数列 {an ?1} 是等比数列;②令 h( x) ? (a1 ?1) x ? (a2 ?1) x2
2 8 8 8 求函数 h(x) 在点 x ? 处的导数 h?( ) , 并比较 h?( ) 与 2n ? n 的大小。 ?? ? (an ?1) xn , 3 3 3 2 8 8 2n ( 答 : ①略 ; ② h?( ) ? (n ? 1)? ? 1 , 当 n ? 1 时 , h?( ) = 2n ? n ; 当 n ? 2 时 , 3 3 2 2 8 8 h?( ) < 2n ? n ;当 n ? 3 时, h?( ) > 2n ? n ) 3 3

(5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联, 那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有: ①

1 ?1? 1 ; n(n ? 1) n n ? 1

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1 ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? k ) k n n ? k
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ), ? ? ? 2? ? ? ; 2 k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k





1 1 1 1 ? [ ? ]; n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n 1 1 ; ? ? (n ? 1)! n ! (n ? 1)!
? 1 ? n ? n ?1 n 2 2 n ? n ?1 ? 2( n ? n ? 1) .
(答:



⑥ 2( n ? 1 ? n ) ?

如(1)求和:

1 1 1 ? ??? ? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1)

n ) ; 3n ? 1

(2)在数列 {an } 中, an ?

1 n ? n ?1

,且 Sn=9,则 n=_____(答:99) ;

(6)通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。如 ①求数列 1×4, 2×5, 3×6, ?,n ? (n ? 3) , ?前 n 项和 Sn = ②求和: 1 ? (答: (答:

n(n ? 1)(n ? 5) ) ; 3

1 1 1 ? ??? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

2n ) n ?1

8. “分期付款”“森林木材”型应用问题 、 (1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手指” ,细 心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最 后”解决. (2)利率问题: 单利问题: ① 如零存整取储蓄 (单利) 本利和计算模型: 若每期存入本金 每期利率为 r ,则 n 期后本利和为: Sn ? p(1 ? r ) ? p(1 ? 2r ) ? ? p(1 ? nr )

p 元,

? p (n ?

n(n ? 1) r ) (等差数列问题) 复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模 ;② 2
p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)

型:若贷款(向银行借款)

后为第一次还款日,如此下去,分 n 期还清。如果每期利率为 r (按复利) ,那么每期等额 还款 x 元应满足: p(1 ? r ) ? x(1 ? r )
n n?1

? x(1 ? r )n?2 ? ?? x(1 ? r ) ? x (等比数列问题).

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