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圆锥曲线定点定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值问题 1、已知平面内的动点 P 到定直线 l : x ? 2 2 的距离与点 P 到定点 F (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若点N为轨迹 C 上任意一点(不在x轴上) ,过原点O作直线AB交(1)中轨迹 C 于点A、B, 且直线AN、BN的斜率都存在,分别为 k 1 、 k 2 ,问 k1 ? k 2 是否为定值? (3)若点M为圆O: x ? y ? 4 上任意一点(不在x轴上) ,过M作圆O的切线,交直线 l 于点Q, 2 2 ? 2, 0 之比为 2 . ? 3、已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 9 ,点 A(?5, 0) ,直线 l : x ? 2 y ? 0 . ⑴求与圆 C 相切,且与直线 l 垂直的直线方程; ⑵在直线 OA 上( O 为坐标原点) ,存在定点 B (不同于点 A ) , 满足:对于圆 C 上任一点 P ,都有 足条件的点 B 的坐标. P y PB 为一常数,试求所有满 PA A B O x 问MF与OQ是否始终保持垂直关系? 1 x2 y 2 2、已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , 一条准线为 l : x ? 4 , 若椭圆 C 与 x 轴交于 A, B 两 2 a b 4、已知椭圆 E: 点, P 是椭圆 C 上异于 A, B 的任意一点,直线 PA 交直线 l 于点 M ,直线 PB 交直线 l 于点 N ,记直线 x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心,圆 C 恰好经过坐标原 8 4 点 O,设 G 是圆 C 上任意一点. PA, PB 的斜率分别为 k1 , k2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 k1 , k2 的值; (3)求证:以 MN 为直径的圆过 x 轴上的定点,并 求出定点的坐标. y M P A (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 FG 与直线 l 交于点 T,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长; (3)在平面上是否存在定点 P,使得 GF 1 ? ?若存在,求出点 P 坐标;若不存在,请说明理由. GP 2 B O x N (第 2 题图) 5、已知 ? C1 : x2 ? ( y ? 5)2 ? 5 ,点A(1, ? 3) . (Ⅰ)求过点 A 与 ? C1 相切的直线 l 的方程; (Ⅱ)设 ? C2为 ? C1 关于直线 l 对称的圆,则在 x 轴上是否存在点 P,使得 P 到两圆的切 线长之比为 2 ?荐存在,求出点 P 的坐标;若不存在,试说明理由. x2 y2 7、已知椭圆 E: ? ? 1 的左焦点为 F,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心, 8 4 圆 C 恰好经过坐标原点 O,设 G 是圆 C 上任意一点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 FG 与直线 l 交于点 T,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长; (Ⅲ)在平面上是否存在一点 P,使得 GF 1 ? ?若存在,求出点 P 坐标;若不存在,请说明理由. GP 2 x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1、F2 , 其 半 焦 距 为 c , 圆 M 的 方 程 为 a2 b2 5c 16 (x ? )2 ? y 2 ? c 2 . 3 9 (Ⅰ)若 P 是圆 M 上的任意一点,求证: PF1 为定值; PF2 6、已知椭圆 (Ⅱ)若椭圆经过圆上一点 Q ,且 cos ?F1QF 2 ? 11 ,求椭圆的离心率; 16 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若 OQ ? 31 (O 为坐标原点) ,求圆 M 的方程。 3 8、已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,准线 l 的方程为 x ? ?2 ,点 P 在准线 l 上, 纵坐标为 3t ? 1 (t ? R , t ? 0) ,点 Q 在 y 轴上,纵坐标为 2t . t (1)求抛物线 C 的方程; (2)求证:直线 PQ 恒与一个圆心在 x 轴上的定圆 M 相切,并求出圆 M 的方程。 9、设圆 C1 : x2 ? y 2 ?10x ? 6 y ? 32 ? 0 ,动圆 C2 : x2 ? y 2 ? 2ax ? 2(8 ? a) y ? 4a ? 12 ? 0 (1)求证:圆 C1 、圆 C2 相交于两个定点; (1) 若直线 l 过点 A(4, ?1) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2) 是否存在一个定点 P ,使过 P 点有无数条直线 l 与圆 C1 和圆 C2 都相交,且 l 被两圆截得的弦长相等, 若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. x2 ? y 2 ? 1上的点,过点 P 作圆 C1 的一条切线,切点为 T1 ,过点 P 作圆 C2 的一条 (2)设点 P 是椭圆 4 切线,切点为 T2 ,问:是否存在点 P,使无穷多个圆 C2 ,满足 PT1 ? PT2 ?如果存在,求出所有 这样的点 P;如果不存在,说明理由. 解析几何的定点、定值问题 10、在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? y2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 1、已知平面内的动点 P 到定直线 l : x ? 2 2 的距离与点 P 到定点 F ? 2, 0 之比为 2 . ? (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若点N为轨迹 C 上任意一点(不在x轴上) ,过原点O作直线AB交(1)中轨迹 C 于点A、B, 且直线AN、BN的斜率都存在,分别为 k 1 、 k 2 ,问 k1 ? k 2 是否为定值? (3)若点M为圆O: x 2 ? y 2 ? 4 上任意一点(不在x轴上) ,过M作圆

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