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浙江省嘉兴市2014届高三3月教学测试(一)(即一模)数学(文)试题(扫描版)


2014 年高三教学测试(一) 文科数学 参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.B; 6.C; 第 9 题提示: 2.A; 7.C; 3.D; 8.D; 4.A; 9.A; 5.B; 10.B.

e?

y2 x2 c ? 2 , b ? 3a ,设 P ( x , y ) ,则 2 ? 2 ? 1 , a a b y y y2 b2 ? ? 2 ? ? 3 ,又双曲线渐近线为 y ? ? 3 x , x ? a x ? a x ? a2 a2

k1 k 2 ?

所以 0 ? k 3 ? 3 ,故 0 ? m ? 3 3 ,选 A. 第 10 题提示:
f (x ? a?4 3a ? 4 4?a a?4 ) ? (x ? )( x ? ? x? ), 2 2 2 2 4?a a?4 3a ? 4 4 a?4 ? x? 为偶函数,所以当且仅当 ? 0 ,即 a ? ? 时, f ( x ? )为 2 2 2 3 2

因为 g ( x ) ? x ?

奇函数,图像关于原点对称.选 B.

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11. ?

7 ; 8

12.12.5;13; 16. 2 ? 3 ;

13. ?

7 ; 4

14.

1 ; 3

15.49; 第 17 题提示:

17. (?3, 21) .

? ? 1 ? a1 ? 2d ? 1 解 1: S9 ? 9a1 ? 36d ,又 ? ,依据线性规划知识,得 ? 3 ? S9 ? 21 . ?0 ? a1 ? 5d ? 3

解 2 : S9 ? 9a1 ? 36d ? x(a1 ? 2d ) ? y(a1 ? 5d ) ,由待定 系数法得 x ? 3, y ? 6 .因为 ? 3 ? 3a 3 ? 3 ,
0 ? 6a 6 ? 18 ,两式相加即得 ? 3 ? S9 ? 21 . a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? 5a 3 , a 6 ? a 7 ? a 8 ? a 9 ? 2a 6 ? 2a 9 , 解 3: 而 a 3 ? a 9 ? 2a 6 , 所以 S 9 ? 3a 3 ? 6a 6 ,

又 ?1 ? a3 ? 1 , 0 ? a6 ? 3 ,依据线性规划知识, ? 3 ? S 9 ? 21 .

三、解答题(本大题共 5 小题, 共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin( x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分 别为 a、b、c,已知 A 为锐角, f ( A) ? 求 cos( A ? B ) 的值. 解: (Ⅰ) f ( x) ? (sin x ? 3 cos x) cos x ? sin x cos x ? 3 cos 2 x
? 1 3 3 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? . 2 2 2 3 2 3?2 3?2 , ]. 2 2 3 ,b ? 2 ,c ? 3 , 2

?
3

) cos x .

….4 分 …7 分

所以函数 f ( x ) 的值域是 [ (Ⅱ)由 f ( A) ? sin(2 A ?

?
3

)?

3 3 ? ? ,得 sin(2 A ? ) ? 0 , 2 2 3

又 A 为锐角, 所以 A ?

?
3

,又 b ? 2 , c ? 3 ,

所以 a 2 ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ? cos 由

?
3
3 7

? 7,a ? 7 .

….10 分
2 7

a b ,得 sin B ? ? sin A sin B

,又 b ? a ,从而 B ? A , cos B ?



所以, cos( A ? B ) ? cos A cos B ? sin A sin B ?

1 2 3 3 5 7 ? ? ? ? 2 7 2 14 7

…1 4 分

19. (本题满分 14 分) 已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,4S n ? a n ? 2a n ? 3 ,若 a1 , a 2 , a 3 成等比数列,且 n ? 3 时,a n ? 0 .
2
源:学 #科 #网 ] [来

(Ⅰ)求证:当 n ? 3 时, {a n } 成等差数列; (Ⅱ)求 ? a n ? 的前 n 项和 Sn . 解: (Ⅰ) 由 4S n ? a n ? 2a n ? 3 , 4S n?1 ? a n?1 ? 2a n?1 ? 3 ,
2 2 得 4a n?1 ? a n ?1 ? a n ? 2a n?1 ? 2a n , (a n?1 ? a n )(a n?1 ? a n ? 2) ? 0 .

2

2

………4 分

因为 n ? 3 , a n ? 0 ,所以 a n?1 ? a n ? 2 .

所以,当 n ? 3 时, {a n } 成等差 数列. (Ⅱ)由 4a1 ? a1 ? 2a1 ? 3 ,得 a1 ? 3 或 a1 ? ?1 .
2

……7 分

又 a1 , a 2 , a 3 成等比数列,所以 a n?1 ? a n ? 0 ( n ? 1,2 ) ,q ? ?1, 而 a 3 ? 0 ,所以 a1 ? 0 ,从而 a1 ? 3 .

?3(?1) n?1 所以 a n ? ? ? 2n ? 3

( n ? 1,2) , (n ? 3)

……11 分

?3 ? [1 ? ( ?1) n ] ( n ? 1,2) 所以 S n ? ? 2 . 2 ? n ? 2 n ( n ? 3 ) ?

………. 14 分

20. (本题满分 15 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是平行四边形,AD ? 2AB, ?ABC ? 60? ,PA ? 面 ABCD , 且 PA ? AD. 若 E 为 PC 中点, F 为线段 PD 上的点,且 PF ? 2FD. (Ⅰ)求证: BE // 平面 ACF ; (Ⅱ)求 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值.

(Ⅰ)证明:连接 BD 交 AC 于点 O, 取 PF 中点 G ,连接 OF 、 BG 、 EG . 因为 O 、 F 分别是 DB 、 DG 的中点, 所以 OF // BG , 因为 E 、 G 分别是 PC 、 PF 的中点, 所以 EG // CF , 所以,平面 BEG // 平面 ACF . 又因为 BE ? 平面 BEG , 故, BE // 平面 ACF . ……9 分
O

P
G

……3 分

……6 分

E
A

F H
D

B

(第 20 题)

C

(Ⅱ)解:因为 BC ? 2 AB , ?ABC ? 60? ,所以 ?BAC ? 90? . 过 C 作 AD 的垂线,垂足为 H,则 CH ? AD , CH ? PA ,所以 CH ? 平面 PAD. 故 ? CPH 为 PC 与平面 PAD 所成的角. ……………………12 分 设 AB ? 1 ,则 BC ? 2 , AC ? 3 , PC ? 7 , CH ? 所以 sin ?CPH ?
CH 21 ? ,即为所求. PC 14 3 2
[来源:学科网 ZXXK]

……………………15 分

21. (本题满分 15 分)

设函数 f ( x ) ?

1 3 1 2 ax ? bx ? (1 ? 2a) x , a , b ? R , a ? 0 . 3 2

(Ⅰ)若 b ? 4a ,求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x ) 与 x 轴相切于异于原点的一点,且 f ( x ) 的极小值为 ?

4 a ,求 a , b 的值. 3

1 解: (Ⅰ) f ( x ) ? ax 3 ? 2ax 2 ? (1 ? 2a) x , f ?( x ) ? ax 2 ? 4ax ? (1 ? 2a ) . 3
令 f ?( x ) ? ax 2 ? 4ax ? (1 ? 2a ) ? 0 , a ? 0 , ? ? 4a(6a ? 1)
6a 2 ? a 1 时,由 f ?( x ) ? ax 2 ? 4ax ? (1 ? 2a ) ? 0 得 x ? ?2 ? . a 6 6a 2 ? a 6a 2 ? a , ?2 ? ) ;………3 分 a a

当 a ? 0或a ?

①当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 ( ?2 ? ②当 0 ? a ?

1 时, f ( x ) 的单调递增区间为 ( ??, ?? ) ;……………………………5 分 6

③当 a ?

6a 2 ? a 6a 2 ? a 1 ),( ?2 ? , ?? ) . 时, f ( x ) 的单调递增区间为 ( ??, ?2 ? a a 6

……………………………7 分 (Ⅱ) f ( x) ?

a 3b 3( 1 ? 2a ) x[ x 2 ? x? ], 3 2a a
① ……9 分 .……11 分

依据题意得: f ( x ) ?

9b 2 3(1 ? 2a ) a 3b ? ?0 x ( x ? ) 2 ,且 2 a 16a 3 4a 3b b 3b b 或x?? f ?( x ) ? a( x ? )( x ? ) ? 0 ,得 x ? ? 4a 4a 4a 4a

因为 f (?

3b b 4 ) ? 0 ,所以极小值为 f (? ) ? ? a ? 0 , 4a 4a 3

b ? 3b ? ?? ? ? 4a 4 a ∴a ? 0且? ,得 b ? 4a ,…13 分 ? a ( ? b )( b )2 ? ? 4 a ? 3 ? 3 4a 2 a

代入①式得 a ?

1 4 ,b ? . 5 5

…………15 分

22. (本题满分 14 分) 如图,两条相交线段 AB 、 PQ 的四个端点都在抛物线 y 2 ? x 上, 其中,直线 AB 的方程为 x ? m ,直 线 PQ 的方程为 y ?

1 x ? n. 2

(Ⅰ )若 n ? 0 , ?BAP ? ?BAQ ,求 m 的值; (Ⅱ )探究:是否存在常数 m ,当 n 变化时,恒有 ?BAP ? ?BAQ ?

? y2 ? x ? 解: (Ⅰ)由 ? 1 , y? x ? 2 ?

y
Q

B
[来源 :Zxxk.Com]

解得 P (0,0) , Q(4,2) .……2 分

P
O

因为 ?BAP ? ?BAQ ,所以 k AP ? k AQ ? 0 . 设 A( m , y 0 ) ,则

x

y0 y0 ? 2 ? ?0, m m?4

A

化简得 my 0 ? 2 y 0 ? m ,……5 分
2 又 y0 ? m ,联立方程组,解得 m ? 1 ,或 m ? 4 .

(第 22 题)

(也可以从 k AP ?

1 1 1 1 ? ? , k AQ ? 来解得) y1 ? y 0 y0 y 2 ? y0 2 ? y0

因为 AB 平分 ?PAQ ,所以 m ? 4 不合,故 m ? 1 .……7 分
? y2 ? x ? (Ⅱ) 设 P ( x 1 , y1 ) , Q( x 2 , y 2 ) ,由 ? ,得 y 2 ? 2 y ? 2n ? 0 . 1 y ? x ? n ? 2 ?
? ? 4(1 ? 2n) , y1 ? y 2 ? 2 , y1 y 2 ? 2n .……9 分
[来源:学.科.网]

若存在常数 m ,当 n 变化时,恒有 ?BAP ? ?BAQ ,则由(Ⅰ)知只可能 m ? 1 . 当 m ? 1 时, A(1,?1) , ?BAP ? ?BAQ 等价于
y1 ? 1 y 2 ? 1 ? ?0, x1 ? 1 x 2 ? 1

即 ( y1 ? 1)(2 y 2 ? 2n ? 1) ? ( y 2 ? 1)(2 y1 ? 2n ? 1) ? 0 , 即 4 y1 y 2 ? (2n ? 1)( y1 ? y 2 ) ? 2(2n ? 1) , 即 8n ? 2(2n ? 1) ? 2(2n ? 1) ,此式恒成立. (也可以从 k AP ? k AQ ?
y1 ? y 2 ? 2 1 1 ? ? ? 0 恒成立来说明) y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)( y 2 ? 1)
[来源:学&科 &网]

所以,存在常数 m ? 1 ,当 n 变化时,恒有 ?BAP ? ?BAQ .……14 分


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