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高中数学集合与函数概念知识点

第一章 集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集, N ? 或 N ? 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表 示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 a ? M ,或者 a ? M ,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{ x | x 具有的性质},其中 x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集 .③不含有 任何元素的集合叫做空集( ? ). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 (1)A ? A A 中的任一元素都 属于 B (2) ? ? A (3)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C (4)若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B (1) ?? A (A 为非空子集) ? 性质 示意图 A? B 子集 (或 A(B) B A B ? A) A?B ? 或 A? B, 且 B 中至 少有一元素不属于 A 真子集 (或 B ? A) ? (2)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C ? ? ? B A 集合 相等 A? B A 中的任一元素都 (1)A ? B 属于 B,B 中的任 (2)B ? A 一元素都属于 A n A(B) n n (7)已知集合 A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2 个子集,它有 2 ? 1 个真子集,它有 2 ? 1 个 n 非空子集,它有 2 ? 2 非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 (1) A (2) A (3) A 示意图 交集 A B {x | x ? A, 且 x ? B} 并集 A B {x | x ? A, 或 x ? B} A (1) A (2) A (3) A A A? A ??? B? A B?B A? A ?? A B?A B?B A (? U A) ? ? A B A B 补集 ?U A {x | x ?U , 且x ? A} 2 A (?U A) ? U 痧 B) ? ( U A) (? U (A U B) 痧 B) ? ( U A) (? U (A U B) 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 | x |? a(a ? 0) | x |? a(a ? 0) {x | ?a ? x ? a} x | x ? ?a 或 x ? a} 把 ax ? b 看 成 一 个 整 体 , 化 成 | x |? a , | ax ? b |? c,| ax ? b |? c(c ? 0) | x |? a(a ? 0) 型不等式来求解 (2)一元二次不等式的解法 判别式 ? ? b2 ? 4ac 二次函数 ??0 ??0 ??0 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象 一元二次方程 O ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根 x1,2 ? ?b ? b2 ? 4ac 2a x1 ? x2 ? ? (其中 x1 ? x2 ) b 2a 无实根 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集 {x | x ? x1 或 x ? x2 } {x | x ? ? b } 2a R ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集 {x | x1 ? x ? x2} ? ? 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念 ①设 A 、B 是两个非空的数集, 如果按照某种对应法则 f , 对于集合 A 中任何一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A ? B . ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数, 且a ? b , 满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间, 记做 [ a, b] ; 满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足 a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的 实 数 x 的 集 合 叫 做 半 开 半 闭 区 间 , 分 别 记 做 [ a, b) , ( a, b] ; 满 足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别记做 [a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) . 注意:对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 ( a , b ) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须 a?b. (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① f ( x) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等 于 1. ⑤ y ? tan x 中, x ? k? ? ? 2 (k ? Z ) . ⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若 f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运

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