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指数对数幂函数知识点汇总


指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固 指数函数、对数函数、
撰稿:刘杨 审稿:严春梅 责编:丁会敏

一、知识框图

二、目标认知 学习目标
1.指数函数 1.指数函数 (1)通过具体实例,了解指数函数模型的实际背景; (2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探 索并理解指数函 数的单调性与特殊点; (4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。

2.对数函数 2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常 用对数;通过阅 读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用; (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概 念,体会对数函 数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索 并了解对数函数 的单调性与特殊点;

3.反函数 3.反函数 知道指数函数 与对数函数 互为反函数(a>0,a≠1).

4.幂函数 4.幂函数 (1)了解幂函数的概念;

(2)结合函数

的图象,了解它们的变化情况.

重点
指数函数、对数函数、幂函数的性质,熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对 常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.

难点
指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质.

三、知识要点梳理 知识点一: 知识点一:指数及指数幂的运算
1.根式的概念 1.根式的概念 的 次方根的定义:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中

当 为奇数时,正数的 次方根为正数,负数的 次方根是负数,表示为 偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0. 式子 叫做根式, 叫做根指数, 叫做被开方数. .

;当 为

次方根的性质: 2.n 次方根的性质:

(1)当 为奇数时, (2)

;当 为偶数时,

3.分数指数幂的意义: 3.分数指数幂的意义: 分数指数幂的意义

; 注意: 注意:0 的正分数指数幂等与 0,负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质: 4.有理数指数幂的运算性质: 有理数指数幂的运算性质

(1)

(2)

(3)

知识点二: 知识点二:指数函数及其性质
1.指数函数概念 1.指数函数概念 一般地,函数 为 . 叫做指数函数,其中 是自变量,函数的定义域

2.指数函数函数性质: 2.指数函数函数性质: 指数函数函数性质 函数 名称 定义 函数 指数函数



叫做指数函数

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 上是增函数 图象过定点 ,即当 非奇非偶 在 上是减函数 时, .

函数值的 变化情况

变化对图 象的影响

在第一象限内,从逆时针方向看图象, 逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方向 看图象, 逐渐减小.

知识点三: 知识点三:对数与对数运算
1.对数的定义 1.对数的定义 (1)若 叫做底数, 叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化: . ,则 叫做以 为底 的对数,记作 ,其中

2.几个重要的对数恒等式 2.几个重要的对数恒等式 , , .

3.常用对数与自然对数 3.常用对数与自然对数 常用对数: ,即 ;自然对数: ,即 (其中 …).

4.对数的运算性质 4.对数的运算性质 如果 ①加法: ,那么

②减法: ③数乘: ④



⑥换底公式:

知识点四: 知识点四:对数函数及其性质
1.对数函数定义 1.对数函数定义 一般地,函数 域 . 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义

2.对数函数性质: 2.对数函数性质: 对数函数性质 函数 名称 定义 函数 对数函数



叫做对数函数

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 上是增函数 图象过定点 ,即当 非奇非偶 在 上是减函数 时, .

函数值的 变化情况

变化对图 象的影响

在第一象限内,从顺时针方向看图象, 逐渐增大;在第四象限内,从顺时针方向 看图象, 逐渐减小.

知识点六: 知识点六:幂函数
1.幂函数概念 1.幂函数概念 形如 的函数,叫做幂函数,其中 为常数.

2.幂函数的性质 2.幂函数的性质 (1)图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限 无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象 关于 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图

象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象 限. (2)过定点:所有的幂函数在 点 . ,则幂函数的图象过原点,并且在 ,则幂函数的图象在 轴. 都有定义,并且图象都通过

(3)单调性:如果

上为增函数.如果

上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 轴与

(4)奇偶性: 当 (其中

为奇数时, 幂函数为奇函数, 当

为偶数时, 幂函数为偶函数.当

互质, 和 偶数时,则

), 若

为奇数 为奇数时, 则

是奇函数, 若

为奇数 为

是偶函数,若 (5)图象特征:幂函数 下方,若 ,其图象在直线 方,若 ,其图象在直线

为偶数 为奇数时,则 ,当

是非奇非偶函数. 时,若 ,其图象在直线

上方,当

时,若

,其图象在直线



下方.


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