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青海省青海师范大学附属第二中学高中数学人教版选修1-1导学案 3.3.3 导数的实际应用

3. 3. 3

导数的实际应用

学案编号:GEXX1-1T3-3-3

【学习要求】 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优 化问题. 【学法指导】 1.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想.2.感受导数知识在解决实际问 题中的作用,自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想,提高分析问题、解决问题的能 力. 1.在经济生活中,人们常常遇到最优化问题 .例如,为使经营利润最大、生产效率最高,或为 使用力最省、用料最少、消耗最省等,需要寻求相应的最佳方案或最佳策略,这些都 是 . 2.利用导数解决最优化问题的实质是 . 3.解决优化问题的基本思路是

上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程. 引言 数学源于生活,寓于生活,用于生活.在我们的生活中处处存在数学知识,只要你留意, 就会发现经常遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“利润最大”等问题,这些问题 通常称为最优化问题,在数学上就是最大值、最小值问题.导数可以解决这些问题吗?如何解 决呢? 探究点一 面积、体积的最值问题 问题 如何利用导数解决生活中的最优化问题? 例 1 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张 贴的海报,要求版心面积为 128 dm2,上、下两边各空 2 dm,左、右两边各空 1 dm.如何设计 海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?

跟踪训练 1 如图,四边形 ABCD 是一块边长为 4 km 的正方形地域,地域内有一条河流 MD, 其经过的路线是以 AB 的中点 M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计).新长城公司准 备投资建一个大型矩形游乐园 PQCN,问如何施工才能使游乐园的面积最大?并求出最大面 积.

探究点二 利润最大问题 例 2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 0.8πr2 分, 其中 r(单位: cm) 是瓶子的半径,已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最 大半径为 6 cm.

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(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小? 跟踪训练 2 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价 a 格 x(单位:元/千克)满足关系式 y= +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 x-3 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利 润最大. 探究点三 费用(用材)最省问题 例 3 已知 A、B 两地相距 200 km,一只船从 A 地逆水行驶到 B 地,水速为 8 km/h,船在静 水中的速度为 v km/h(8<v≤v0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比,当 v= 12 km/h 时,每小时的燃料费为 720 元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少?

跟踪训练 3 现有一批货物由海上从 A 地运往 B 地,已知轮船的最大航行速度为 35 海里/时, A 地至 B 地之间的航行距离约为 500 海里, 每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成, 轮船 每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为 0.6),其余费用为每小时 960 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(海里/时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶? 【达标检测】 1.方底无盖水箱的容积为 256,则最省材料时,它的高为( ) A.4 B.6 C.4.5 D.8 2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为 k(k>0).已知贷款的利率为 0.048 6,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为 x,x ∈(0,0.048 6),若使银行获得最大收益,则 x 的取值为 ( ) A.0.016 2 B.0.032 4 C.0.024 3 D.0.048 6 3.统计表明: 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/时)的函 数解析式可以表示为 y= 1 3 x3- x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 千米,当汽车 128 000 80

以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

【课堂小结】正确理解题意,建立数学模型,利用导数求解是解应用题的主要思路.另外需要 特别注意:(1)合理选择变量,正确给出函数表达式;(2)与实际问题相联系;(3)必要时注意分 类讨论思想的应用.

3. 3. 3
一、基础过关

导数的实际应用

练习题

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1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时,原油温度(单 1 位:℃)为 f(x)= x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) 3 20 A.8 B. C.-1 D.-8 3 2.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时底面边长为 3 A. V 则盒子容积的最大值为 A.24 cm3 B.72 cm3 C.144 cm3 3 B. 2V 3 C. 4V 3 D.2 V ( ) ( )

3. 从边长为 10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形, 作成一个无盖的盒子, D.288 cm3 (
3

4.用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把 四边翻转 90° 角,再焊接成水箱,则水箱最大容积为 A.120 000 cm
3

)

B.128 000 cm

C.150 000 cm3

D.158 000 cm3 ( )

5.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大,则其高为 20 3 A. cm B.100 cm 3 20 C.20 cm D. cm 3

6. 如图所示,某工厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙 壁,其他三边需要砌新的墙壁.当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为 ________.

二、能力提升 7.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运 费 y2 与到车站的距离成正比.如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别 为 2 万元和 8 万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________千米处. 8. 为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱,污水从 A 孔流入, 经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长为 a 米,高为 b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数 与 a,b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平方米,问当 a=______,b=______时,经 沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B 孔的面积忽略不计).

9. 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分), 这两栏的面积之和为 18 000 cm2,四周空白的宽度为 10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度 为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?

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10.某商场预计 2010 年从 1 月份起前 x 个月,顾客对某种商品的需求总量 p(x)件与月份 x 的 近似关系是 1 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N*,且 x≤12). 2 该商品的进价 q(x)元与月份 x 的近似关系是 q(x)=150+2x(x∈N*,且 x≤12), (1)写出今年第 x 月的需求量 f(x)件与月份 x 的函数关系式; (2)该商品每件的售价为 185 元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,则此商场今 年销售该商品的月利润预计最大是多少元?

11.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为 20 km/h 时, 每小时消耗的煤价值 40 元,其他费用每小时需 200 元,火车的最高速度为 100 km/h, 火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?

三、探究与拓展 12.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左 80π 右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为 立方米,且 l≥2r.假设该容器的建造 3 费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平 方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元.

(1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r.

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