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2013高三数学第二轮复习专题 集合、常用逻辑用语


第一讲 集合、常用逻辑用语

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【考情快报】 (1)本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、

含有一个量词的命题的真假判断与否定,常与函数、不等式、
三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.

(2)试题以选择题、填空题方式呈现,考查学生的基础知识
和基本技能,题目难度中等偏下.

【核心自查】

一、主干构建

二、概念理解 1.集合的基本运算

(1)A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(2)A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

(3) ?U A={x|x∈U,且x ? A}.
2.充分条件、必要条件与充要条件 充分条件 必要条件 (1)若p?q,则p是q的_________,q是p的_________. 充要条件 (2)若p?q,则p与q互为_________.

3.含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题的否定 ﹁ 0 ? 0 ? x∈M,p(x)的否定为________________. (2)特称命题的否定 x ∈M, p(x )

﹁ ? ? x0∈M,p(x0)的否定为_____________.

x∈M,

p(x)

三、重要公式 1.集合的子集个数

2n 若集合A的元素有n个,则A的子集个数是___,真子集个数是
2n-1 2n-2 _____,非空真子集的个数是_____.

提醒:空集?和集合A本身都是集合A的子集.
2.两个重要结论 A?B (1)A∩B=A?_____. B?A (2)A∪B=A?_____. 提醒:在遇到条件A?B时,不要忘记研究A=?的情况.

热点考向 一

集合的概念及运算

【典例】1.(2012·北京高考)已知集合A={x∈R|3x+2>

0},B={x∈R|(x+1)(x-3)>0} ,则A∩B=(
(A)(-∞,-1) (B)(-1,? 2 )
3

)

(C)( ? 2 ,3)
3

(D)(3,+∞)

?U

2.(2012·辽宁高考)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则( ?U A)∩( ?U B)=( )

(A){5,8}
(C){0,1,3}

(B){7,9}
(D){2,4,6}
1 x ) ,x<0}, 3

3.(2012·扬州模拟)已知集合M={y|y=(

N={x|y=lg(2x-x2)},则M∪N=___________.

【解题指导】1.通过解不等式先求出A,B两个集合,再取交集. 2.根据集合的补集概念,分别求出 ?U A, ?U B,然后求交集. 3.弄清集合M,N中的元素是什么,把集合M,N具体化后,再求 并集.
2 3

【解析】1.选D.集合A={x|x> ? },B={x|x<-1或x>3},所以
A∩B={x|x>3}.

2.选B.由已知 ?U A={2,4,6,7,9}, ?U B={0,1,3,7,9}, 则( ?U A)∩( ?U B)={2,4,6,7,9}∩{0,1,3,7,9}={7,9}. 3.∵M={y|y>1},N={x|0<x<2}. ∴M∪N={x|x>0}. 答案:{x|x>0}

【拓展提升】 解答集合的概念及运算问题的一般思路 (1)正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性和代表的意

义.
(2)根据集合中元素的性质化简集合.

(3)依据元素的不同属性采用不同的方法求解,此时常用到以下
技巧: ①若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解;

②若已知的集合是点集,用数形结合法求解; ③若已知的集合是抽象集合,用Venn图求解.

提醒:在解答过程中应注意元素的互异性及空集的特殊性.

热点考向 二

充分条件、必要条件、充要条件的判定

【典例】1.(2012·青岛模拟)设x,y∈R,则“x2+y2≥9”是 “x>3且y≥3”的( )

(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件

2.(2012·福州模拟)若集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-2<x<a},则

“A∩B≠?”的充要条件是(
(A)a>-2 (C)a>-1 (B)a≤-2 (D)a≥-1

)

3.(2012·济南模拟)设p:|4x-3|≤1,q: x2-(2a+1)x+ a(a+1)≤0,若非p是非q的必要而不充分条件,则实数a的取值范 围是( )
1 ] 2

(A)[0,

(B)(0,

1 (C)(-∞,0]∪[ ,+∞) 2

1 (D)(-∞,0)∪( ,+∞) 2

1 ) 2

【解题指导】1.数形结合进行判断; 可画出x2+y2≥9和x>3且y≥3表示的图形, 再判断它们之间的 关系. 2.借助数轴进行判断. 3.求出p,q,把非p与非q的关系转化为p与q的关系,再转化为 集合之间的关系,然后列不等式求解.

【解析】 1.选B.如图:

x2+y2≥9表示以原点为圆心,3为半径的圆上及圆外的点,当 x2+y2≥9时,x>3且y≥3并不一定成立, 当x=2,y=3时, x2+y2≥9,但x>3且y≥3不成立;而x>3且y≥3时,x2+y2≥9一定 成立,故选B.

2.选C.A={x|-1<x<2},B={x|-2<x<a},

如图所示:

∵A∩B≠?,∴a>-1.
3.选A.由|4x-3|≤1解得
1 ≤x≤1, 2

由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得(x-a)(x-a-1)≤0,即a≤x≤a+1.若 非p是非q的必要而不充分条件,

则q是p的必要而不充分条件,

a≤ 由图中数轴可知 所以0≤a≤
1 ,故选A. 2

a+1≥1,

1 , 2 即

a≤

1 , 2

a≥0,

【拓展提升】 1.充分、必要条件的判断方法 先判断p?q与q?p是否成立,然后再确定p是q的什么条件. 2.判断充分、必要条件时的关注点 (1)要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A, 且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B, 且B不能推出A;

(2)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或

错误不易进行时,可以尝试通过举出恰当的反例来说明;
(3)要注意转化:若﹁p是﹁q的必要不充分条件,则p是q的充分

不必要条件;若﹁p是﹁q的充要条件,那么p是q的充要条件.

【思想诠释】 与集合有关的问题中的数形结合思想

(1)本例中数形结合思想
①本例中题1可画出不等式所满足的区域来判断关系;

②本例中题2、题3可根据数轴寻找a满足的关系.
(2)与集合有关的问题中数形结合思想的常见类型 ①若集合表示几何图形,则可通过画图来分析;

②与集合有关的实际问题,常用Venn图求解; ③条件和结论与集合有关的充要条件的判断问题,常用数形结 合求解.

热点考向 三

利用命题的真假求参数的取值范围

【典例】1.已知命题p: ? x∈[1,2],x2-a≥0,命题
q: ? x∈R,x2+2ax+2-a=0,若“p且q”为真命题,则实数a的 取值范围是( (A)-1≤a≤1 (B)a≤-2或1≤a≤2 (C)a≥1 (D)a=1或a≤-2 )

2.设命题p:函数f(x)=(a-

3 x ) 是R上的减函数;命题q:函数 2

f(x)=x2-4x+3在[0,a]上的值域为[-1,3],若“p且q”为 假命题,“p或q”为真命题,则a的取值范围是_____________. 【解题指导】1.命题p: ? x∈[1,2],x2-a≥0,可得a≤x2, 求出a的范围,已知命题q: ? x∈R,x2+2ax+2-a=0,可得Δ≥0, 求出a的范围,从而求解.

2.将命题的真假等价转化成关于参数的不等式.

【解析】1.选D.∵命题p: ? x∈[1,2],x2-a≥0, ∴1≤x2≤4, 由a≤x2,∴a≤1. ∵命题q: ? x∈R,x2+2ax+2-a=0, ①

∴Δ=4a2-4(2-a)≥0,
∴a≥1或a≤-2. ∵“p且q”为真命题, ∴p与q都为真命题, ∴由①②可得a=1或a≤-2,故选D. ②

2.∵函数f(x)=(a- )x是R上的减函数, ∴0<a3 <1,∴ 3 ? a ? 5 . 2 2 2

3 2

∵f(x)=(x-2)2-1在[0,a]上的值域为[-1,3],则2≤a≤4. ∵p且q为假,p或q为真, ∴p,q为一真一假,
5 3 <a<2,若p假q真,得 ≤a≤4, 2 2 5 3 综上可知:a的取值范围是 <a<2或 ≤a≤4. 2 2 5 3 答案: <a<2或 ≤a≤4 2 2

若p真q假,得

【拓展提升】
利用命题的真假求参数的取值范围的“三个”关注点 (1)对命题进行合理转化,求出命题为真时参数的范围. (2)根据真值表确定命题的真假,从而确定相应参数的范围. (3)参数范围的确定最终归结到集合的交、并、补运算,应注意 区别.

1.(角度新)已知集合P={0,m},Q={x|2x2-5x<0,x∈Z},若 P∩Q≠?,则m等于( (A)1 (C)1或 5
2

)

(B)2 (D)1或2

【解析】选D.Q={1,2}, 若P∩Q≠?,则m=1或2.

2.(交汇新)已知命题p: ? x∈R,使sin x= 5 ;命题q: ? x∈R,都有
2

x2+x+1>0.给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题 ②命题“p∧ ? q”是假命题 ③命题“ ? p∨q”是真命题 ④命题“ ? p∨ ? q”是假命题

其中正确的是(
(A)②④

)
(C)③④ (D)①②③

(B)②③

【解析】选B.命题p是假命题,命题q是真命题,从而 ? p是真命题,
? q是假命题,故② ③正确.

3.(交汇新)下列有关命题的说法正确的是(

)

(A)命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x≠1” (B)“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 (C)命题“ ? x∈R,使得:x2+x+1<0”的否定是:“ ? x∈R, 均有x2+x+1<0”

(D)命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题

【解析】选D.对于A:命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若 x2≠1,则x≠1”,故错误. 对于B:“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件.故错误. 对于C:命题“ ? x∈R,使得x2+x+1<0”的否定为“ ? x∈R, 均有x2+x+1≥0”,故错误. 因为原命题为真,所以逆否命题为真,故D正确.

4.(交汇新)设集合A={5,log2(a+3)},B={a,b},若A∩B={2}, 则A∪B=_________. 【解析】由A∩B={2}可得: log2(a+3)=2,∴a=1, ∴b=2,∴A∪B={1,2,5}. 答案: {1,2,5}


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