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高二下学期文科数学试卷及答案

新侨中学 10 届高二下数学期末试卷(文)(集合简易逻辑函数)

一、选择题(每题 5 分,共 60 分)

1









A?{

1 , , 则2

}

-----------------------------------------------------------------------------------( )

A.1 ? A

B.1? A

C.{1}? A

D.1? A

3
2.将 52 写为根式,则正确的是--------------------------------------------------------------------------

()

3
A. 52

B.

3
5

5
C. 3 2

D. 53

3.如图,U 是全集,M 、 P 是U 的子集,则阴影部分所表示的集合是-------------------------

()

A. M ? (CU P)

B. M P

C. (CU M ) ? P

D. (CU M ) ? (CU P)

4.下列各组函数中,表示同一函数的是----------------------------------------------------------------

()

A. y ? 1, y ? x0

B. y ? x , y ? x2 x

C. y ? x , y ? ln ex

D. y ?| x | , y ? ( x )2

5.函数 y ? a x?1 ( a ? 0且a ? 1 a ? 1) 的图象必经过定点---------------------------------------

()
A. (1,1)

B. (0,1)

C. (2,1)

D.1,0

6.下列函数在 (0, ??) 上是增函数的是----------------------------------------------------------------

()
A. y ? 3?x

1
B. y ? x2

7.给出以下四个命题:

C. y ? ?2x ? 5

D. y ? 3 x

①“正方形的四个内角相等”的逆命题;

② “若 x2 ? 9, 则 x ? 3”的否命题;

③“若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题;④“不等边三角形的三边相等”的逆否

命题.

其 中 真 命 题 是 ------------------------------------------------------------------------------------------------

()

A.①②

B.①③

C.②③

D.③④

8.“ p ? q 为真”是“ ?p 为假”的--------------------------------------------------------------------------

() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9 . 函 数 f (x) ? ax 在 [0,1] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为 3 , 则 a 的 值 是

--------------------------( )

A. 1 2

B.2

C.3

D. 3 2

10 . 已 知 命 题

p : ?x ? R,

sin x ? 1 , 则

-----------------------------------------------------------------( )

A. ?p : ?x ? R, sin x ? 1

B. ?p : ?x ? R, sin x ? 1

C. ?p : ?x0 ? R, sin x0 ? 1

D. ?p : ?x0 ? R, sin x0 ? 1

11.如图的曲线是幂函数 y ? xn 在第一象限内的图象。已知 n 分别取 ?1,l, 1 ,2 四个值, 2

与曲线 C1 、 C2 、 C3 、 C4 相应的 n 依次为---------------------------------------------------------------

()

A.2,1, 1 , ?1 2
C. 1 ,1,2, ?1 2
12.若 0 ? a ? 1, x ? loga

B.2, ?1,1, 1 2

D. ?1,1,2, 1 2

2 ? loga

3



y

?

1 2

log a

5

,z

?

loga

21 ? log

3 ,则---

()

A. z ? y ? x B. x ? y ? z
二、填空题(每题 4 分,共 16 分)

C. z ? x ? y

D. y ? x ? z

?x ? 5, (x ? 1)

13.已知

f

(x)

?

? ?2

x

2

? 1, (x

?

1)

,则

f

[

f

(1)]

?



14.函数 y ? x2 ? 2x ?1, x ?[?3, 2] 的值域是



15.若 ( 1 )2a?1 ? ( 1 )3?2a ,则实数 a 的取值范围是

2

2

16.下列说法中,正确的是

。 。(请写出所有正确命题的序号).



指数函数 y

? ( 1 )x 的定义域为 (0, ??) ;② 2

函数 y

? 2x 与函数 y

? log3

x 互为反函数;

③ 空集是任何一个集合的真子集;

④ 函数 f (x) ? x ? 1 有且只有 1 个零点; x

⑤ 函数 f (x) ? 3|x| 的值域为[1, ??) .

三、解答题(第 17-21 每题 12 分,第 22 题 14 分,共 74 分)

17.已知全集U ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8}, M ? {x / x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,

N ? {x /1 ? x ? 5, x ? Z}, P ? {x / 2 ? x ? 9, x ? Z}.

求:(1) M ? (N ? P) ;(2)求 (CU N ) ? (CU P) . 18.已知函数 f (x) ? log2 (x ? 3)
(1)求 f (51) ? f (6) 的值; (2)若 f (x) ? 0 ,求 x 的取值范围。

19.(1)已知 lg 2 ? a, lg 3 ? b ,试用 a, b 表示 log2 15 ;

(2)化简求值:

61 ?3

82

?2
? 0.027 3

? (? 1)?2 .

4

3

20.已知函数 f (x) ? 1 ? 1 ,( a ? 0, x ? 0 ) ax

(1)求证: f (x) 在 (0,??) 上是增函数;

(2)若 f (x) 在 [ 1 ,2] 上的值域是[ 1 ,2] ,求 a 的值.

2

2

21.设命题 p : 实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 ( a ? 0 ),命题 q : 实数 x 满足 x ? 3 ? 0 , x?2

(1)若 a ? 1,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围;

(2)若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围。

22.已知函数 f (x) ? log2 (1? x) ? log2 (1? x) ,

(1)求函数 f (x) 的定义域;

(2)判断 f (x) 的奇偶性;

(3)方程

f

(x)

?

x ?1是否有根?如果有根

x0

,请求出一个长度为

1 4

的区间 (a,b) ,

使 x0 ? (a,b) ;如果没有,请说明理由?(注:区间 (a, b) 的长度 ? b ? a ).

参考答案

一、选择题: 二、填空题: 三、解答题:

DDACA

BCBBC

13.8

14.[?2, 7]

AD
15. (1 , ??) 2

16. ⑤

17.解:(1)依题意有: M ? {1,2}, N ? {1,2,3,4,5}, P ? {3,4,5,6,7,8}

∴ N ? P ? {3,4,5} ,故有 M ? (N ? P) ? {1,2,3,4,5}………6 分

(2)由 CU N ? {6,7,8} , CU P ? {1,2} ; 故有 (CU N ) ? (CU P) ? {1,2,6,7,8} ………………………12 分
18.解:(1) f (51) ? f (6) = log2 48 ? log2 3 ? log2 16 ? 4 …………6 分 (2)由已知得: log2 (x ? 3) ? log2 1,? x ? 3 ? 1,? x ? 4 ……………11 分
综上:(1)4(2)所求 x 的取值范围是{x / x ? 4} ………………12 分

19.解:(1) log2 15

?

lg 15 lg 2

?

lg

3 ? lg lg 2

5

?

lg

3?1? lg 2

lg

2

?

1?

b? a

a

…………6 分

(2)原式=

(

25

)

1 2

?

2
(8) 3

?

100

?9

? 106.5

……………………………………12 分

4

9

20.(1)证法(一):设 0

?

x1

?

x2 ,又

f

( x1) ?

f

(x2 )

?

(?

1 ) ? (? x1

1 x2

)

?

x1 ? x2 x1 x2

? f (x) 是 (0,??) 上的增函数。 ……………………………………6 分

证法(二):

?

f

、( x)

?

(1 a

?

1 )、? x

(?x?1 )、?

? x ?2

?

?

1 x2

…………6 分

?x

? 0?x2

? 0,??

1 x2

? 0,即f 、(x) ? 0

? f (x)在(0,??)上是增函数。…12 分

(2)由(1)知: f (x)是(0,??)上的增函数 ,? f (x)在[1 ,2]上是增函数…7 分 2

?当x

?

1 2

时,f

( x)min

?

1 a

?

2;

当x

?

2时,f

( x)max

?

1 a

?

1 2

,…………9



?

f

(x)的值域是[ 1 a

?

2,

1 a

?

?1

1 2

]

,由已知得:

?? ? ?

a 1

?? a

? ?

2
1 2

? ?

1 2
2

,解得: a

?

2 5

即为所求。12



21. 解:(1)若 a ? 1, p : x2 ? 4x ? 3 ? 0 ,解得:1 ? x ? 3 ;………2 分

q : x ? 3 ? 0 ,解得: 2 ? x ? 3 ………4 分 x?2



p

?

q

为真,则

?1 ??2

? ?

x x

?3 ?3

,?2

?

x

?

3

?{x

/

2

?

x

?

3} 即为所求………6



(2) p : x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0,?(x ? a)( x ? 3a) ? 0,? a ? 0?a ? 3a ? q : a ? x ? 3a ,

………………………………………………8 分

q : 2 ? x ? 3,若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,则 q 是 p 的充分不必要条件…9 分

则 {x

/

2

?

x

?

3}?{x ?

/

a

?

x

?

3a},?

???3aa??23?1

?

a

?

2

? a 的取值范围是{a /1 ? a ? 2}

…………………………12 分

22.解:(1)要使函数有意义,则

?1? ??1?

x x

? ?

0 0

,∴

?1

?

x

?

1

,故函数的定义域为

(?1,1)

……………3 分

(2)由(1)知定义域关于原点对称,

又∵ f (?x) ? log2 (1? x) ? log2 (1? x) ? ? f (x) ,∴ f (x) 为奇函数.………6 分

(3)由题意知方程 f (x) ? x ?1等价于 log2 (1? x) ? log2 (1? x) ? x ?1,

可化为 (x ?1)2x?1 ? x ?1 ? 0

设 g(x) ? (x ?1)2x?1 ? x ?1, x ?(?1,1) ………………………………………9 分



g(?

1)

?

1

?

1
22

?

1

?1

?

2 ? 3 ? 0 , g(0) ? 2 ?1 ? 1 ? 0 ,

22

2

2

所以 g(? 1)g(0) ? 0 ,故方程在 (? 1 , 0) 上必有根;…………………………11 分

2

2

又因为

g(?

1)

?

3

?

3
24

?

1

?1

?

4
3

4
8?5 ?

4
648 ?

625 ? 0 ,

44

4

4

4

所以 g(? 1)g(? 1) ? 0 ,故方程在 (? 1 , ? 1) 上必有一根.

24

24

所以满足题意的一个区间为 (? 1 , ? 1) . ……………………………………14 分 24


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