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《随机变量及其分布测试题》单元测试题2


《随机变量及其分布测试题》单元测试题 2
一、选择题 1、设火箭发射失败的概率为 0.01,若发射 10 次,其中失败的次数为 X,则下列结论正确的是(
A. EX ? 0.01 C. DX ? 0.1 B. P( x ? k ) ? 0.01k ? 0.9910?k
k D. P( x ? k ) ? C10 · 0.01k ? 0.9910?k



2、给出下列四个命题:
①15 秒内,通过某十字路口的汽车的数量是随机变量; ②在一段时间内,某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量; ③一条河流每年的最大流量是随机变量; ④一个剧场共有三个出口,散场后某一出口退场的人数是随机变量. 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4
21 世纪教育网

3、某市期末教学质量检测,甲、乙、丙三
由如图曲线可得下列说法中正确的是 A.甲学科总体的方差最小 B.丙学科总体的均值最小 C.乙学科总体的方差及均值都居中

X P

1 1 6

2 1 3

3 1 6

4 p 科考试成绩近似服从正态分布,则 ( )

D.甲、乙、丙的总体的均值不相同

4、正态分布 N (?,? 2 ) 在下面几个区间内的取值概率依次为(
① ? ? ? 3?,? ? 3? ? A.① 68.3% B.① 99.7% C.① 68.3% ② 95.4% ② 95.4% ② 99.7% ② ? ? ? 2?,? ? 2? ? ③ 99.7% ③ 68.3% ③ 95.4%



③ ? ? ? ?,? ? ? ?

D.① 95.4%

② 68.3%

③ 99.7%

5、设随机变量 X ~ B(n,p) ,则
A. p2 B. (1 ? p)2

( DX ) 2 等于( ( EX ) 2



C. np

D. p 2 (1 ? p)

6、两台相互独立工作的电脑,产生故障的概率分别为 a,b,则产生故障的电脑台数的均值为(
A. ab B. a ? b C. 1 ? ab D. 1 ? a ? b



7、某厂大量生产一种小零件,经抽样检验知道其次品率是 1% ,现把这种零件中 6 件装成一盒,那么该盒
中恰好含一件次品的概率是(
? 99 ? A. ? ? ? 100 ?
1 C. C6 2

) B. 0.01

1 dy ? 1 ? · ?1 ? ? 100 dx ? 100 ?

5

1 ? ? 1 ? ? D. C62 ? ? · ?1 ? ? ? 100 ? ? 100 ?

2

4

8、甲、乙两人各进行一次射击,甲击中目标的概率是 0.8,乙击中目标的概率是 0.6,则两人都击中目标
的概率是( ) A.1.4 B.0.9 C.0.6 D.0.48

9、 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字, 只好任意去试拔, 他第一次失败, 第二次成功的概率是 (
A.
1 10



B.

2 10

C.

8 10

D.

9 10

[来源:21 世纪教育网]

10、设离散型随机变量 X 的分布列为:

11、.袋中有 3 个红球、2 个白球,从中任取 2 个,用 X 表示取到白球的个数,则 X 的分布列为(



[来源:21 世纪教育网]

? 12、设随机变量 X ~ B ? ? 6, ? ,则 P( X ? 3) 等于( ? 1 2?



A.

5 16

B.

3 16

C.

5 8

D.

7 16

二、填空题 13、两台独立在两地工作的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为 0.9 和 0.85,则恰有 1 台雷达发
现飞行目标的概率为 .

14、若 P( X ? 0) ? 1 ? p , P( X ? 1) ? p ,则 E (2 X ? 3) ?



15、某灯泡厂生产大批灯泡,其次品率为 1.5%,从中任意地陆续取出 100 个,则其中正品数 X 的均值为
个,方差为 .

, 3? 内取值的概率与在 ? 5, 7? 内取值的概率相等时, ? ? 16、设 X ~ N (?,? 2 ) ,当 x 在 ?1



三、解答题 17、在函数 f ( x) ?
1 2π? e
? x2 2? 2

? ∞) 的图象中,试指出曲线的位置,对称轴、渐近线以及函数 , x ? (?∞,

的奇偶性、单调性和最大值分别是什么;指出参数 ? 与曲线形状的关系,并运用指数函数的有关性质加以 说明.

18、一批产品分一、二、三级,其中一级品的数量是二级品的两倍,三级品的数量是二级品的一半,从这
批产品中随机抽取一个检查其品级,用随机变量描述检验的可能结果,写出它的分布列.

19、如图,电路由电池 A,B,C 并联组成.电池 A,B,C 损坏的概率分别是 0.3,0.2,0.2,求电路断

电的概率



20、在口袋中有不同编号的 3 个白球和 2 个黑球.如果不放回地依次取两个球,求在第 1 次取到白球的条
件下,第 2 次也取到白球的概率.

21、甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所出次品数分别为 X 1 , X 2 ,且 X 1 和
X 2 的分布列为: X1

P

0 6 10

1 1 10

2 3 10

X2

P

0 5 10

1 3 10

2 2 10

试比较两名工人谁的技术水平更高.

22、某公司“咨询热线”电话共有 8 路外线,经长期统计发现,在 8 点到 10 点这段时间内,外线电话同
时打入情况如下表所示:

电话同时 打入个数 x

0

1

2

3
世纪教育网

4

21

5

6

7

8

概率 P 0.13 0.35 0.27 0.14 0.08 0.02 0.01 0 0 (1)若这段时间内,公司只安排了 2 位接线员(一个接线员一次只能接一个电话) ①求至少一路电话不能一次接通的概率; ②在一周五个工作日中,如果有三个工作日的这段时间(8 点至 10 点)内至少一路电话不能一次接通,那 么公司的形象将受到损害,现用至少一路电话不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度” ,求上述情 况下公司形象的“损害度” . (2)求一周五个工作日的这段时间(8 点至 10 点)内,电话同时打入数 X 的均值.

四、选择题 23、在 4 次独立重复试验中事件 A 出现的概率相同,若事件 A 至少发生 1 次的 概率为 6581,则事件 A 在
1 次试验中出现的概率为( A.
1 3

) C.
5 6

B.

2 5

D.

2 3

, 2 , 3 , 1 , 3 , 4 12 24 、 已知 a ???1 ?,b ?? 0 ?,R ?? , ? ,则方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 所表示的不同的圆的个数有

( ) A.3×4×2=24
[来源: 学科网]

B.3×4+2=14

C.(3+4)×2=14

D.3+4+2=9

? 25、已知随机变量 ? ~ B ? ? 9, ? 则使 P(? ? k ) 取得最大值的 k 值为( ? 1 5?



A.2

B.3

C.4

D.5

26、春节期间,国人发短信拜年已成为一种时尚,若小李的 40 名同事中,给其发短信拜年的概率为 1,
0.8,0.5,0 的人数分别为 8,15,14,3(人) ,则通常情况下,小李应收到同事的拜年短信数为( A.27 B.37 C.38 D.8 )

27、若随机变量η 的分布列如下:

?
P

[来源:学。科。网]

1 2 3 ?2 ?1 0 0 0 0 0 0 0 .1 .2 .2 .3 .1 .1 ) D.1<x<2

则当 P(? ? x) ? 0.8 时,实数 x 的取值范围是( A.x≤2 B.1≤x≤2

C.1<x≤2

28、用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之
间的五位数的个数是( A.48 B.36 ) C.28 D.20

29、正态总体的概率密度函数为 f ( x) ?
A.0,8 B.0,4

1 8π

e

?

x2 ( x?R ) 8

,则总体的平均数和标准差分别为( D.0,2



C.0,2

30、在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球(各不相同) ,不放回地依次摸出 2 个球,在第一次摸出红球的条
件下,第 2 次也摸到红球的概率为( A.35 B.25 C.110 ) D.59

31、从标有 1,2,3,?,9 的 9 张纸片中任取 2 张,数字之积为偶数的概率为(
A.12 B.718 C.1318 D.1118



32、 ? ?x x ?
?

1 ? ? 的展开式中,第 3 项的二项式系数比第 2 项的二项式系数大 44,则展开式中的常数项是 x4 ?

n

( ) A.第 3 项

B.第 4 项

C.第 7 项

D.第 8 项

33、神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成,每两人为一组,若指定翟志刚、聂海胜两人一定同在一个
小组,则这六人的不同分组方法有( A.48 种 B.36 种 ) C.6 种 D.3 种

,, 2) B(2,, 3) C (3,, 4) D(4, 5) ,则 y 与 x 之间的回归直线 34、在一次试验中,测得 ( x,y) 的四组值分别是 A(1

方程为( A. ? y ? x ?1

) B. ? y? x?2 D. ? y ? x ?1

C. ? y ? 2x ? 1

五、填空题 35、已知平面上有 20 个不同的点,除去七个点在一条直线上以外,没有三个点共线,过这 20 个点中的每
两个点可以连 条直线.

36、某仪表显示屏上一排有 7 个小孔,每个小孔可显示出 0 或 1,若每次显示其中三个孔,但相邻的两孔
不能同时显示,则这显示屏可以显示的不同信号的种数有 种.

37、某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 4 次,且各次射击是否击中目标相互之间没有
影响,有下列结论: ①他第 3 ②他恰好 产量(千 件) ③他至少 x 其中正确 79 88 100 120 生产 费用 (千 元) y 162 185 165 190 185 次击中目标的概率是 0.9; 击中目标 3 次的概率是 0.93×0.1; 击中目标 1 次的概率是 1 ? (0.1)4 . 结论的序号是 (写出所有正确结论的序号) .

38、口袋

内装有 10 个相同的球,其中 5 个球标有数字 0,5 个球标有数 字 1,若从袋中摸出 5 个球,那么摸出的 5 个球所标数字之和小于 2 或大于 3 的概率是 (以数值 作答) .

140

六、解答题 39、某工业部门进行一项研究,分析该部门的产量与生产费用之间的关系,从这个工业部门内随机抽选了
10 个企业作样本,有如下资料: 完成下列要求: (1)计算 x 与 y 的相关系数; (2)对这两个变量之 间是否线性相关进行相关性检验;
? ,b ? ? ?a ? ,求系数 a (3)设回归直线方程为 ? y ? bx

. 产量(千 件) x 40 42 48 55 65 生产 费用 (千 元) y 150 140 160 170 150

40、有 4 个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内.
(1)共有多少种放法? (2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法? (3)恰有一个盒内放 2 个球,有多少种放法? (4)恰有两个盒不放球,有多少种放法?

41、求 (1 ? x)2 (1 ? x)5 的展开式中 x 3 的系数.

42、为了调查胃病是否与生活规律有关,某地 540 名 40 岁以上的人的调查结果如下:
患 胃病 生活不 规律 生活有 规律 合计 60 20 80 未患 胃病 260 200 460 合 计 3 20 2 20 5 40

根据以上数据比较这两种情况,40 岁以上的人患胃病与生活规律有关吗?

43、一个医生已知某种病患者的痊愈率为 25%,为实验一种新药是否有效,把它给 10 个病人服用,且规
定若 10 个病人中至少有 4 个被治好,则认为这种药有效;反之,则认为无效,试求: (1)虽新药有效,且把痊愈率提高到 35%,但通过实验被否认的概率; (2)新药完全无效,但通过实验被认为有效的概率.

44、A,B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员, A 队队员是 A1,A2,A3 , B 队队员是 B1,B2,B3 ,
按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下:

对阵 队员 A1 对 B1 A2 对 B2 A3 对 B3

A 队队员胜的 概率
2 3 2 5 2 5

A 队队员负的 概率
1 3 3 5 3 5

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队,B 队最后所得总分分别为 ?,? . (1)求 ?,? 的概率分布列; (2)求 E? , E? .

以下是答案 一、选择题 1、D 2、D 3、A 4、B 5、B 6、B 7、C 8、D 9、A 10、C 11、D

12、A 二、填空题 13、答案:0.22

14、答案: 2 p ? 3

15、答案:98.5,1.4775

16、答案:4

三、解答题 17、解:由已知, f ( x) ?
?1? ·? ? 2 π? ? e ? 1
x2 2? 2

1 ,且 0 ? ? 1 . e

由指数函数的性质知 f ( x) ? 0 ,说明曲线在 x 轴的上方;又由 f (? x) ? f ( x) 知,函数 f ( x) 为偶函数,其图
? 1 ? 2? 2 象的对称轴为 y 轴;当 x2 趋向于无穷大时, ? ? 趋向于 0,即 f ( x) 趋向于 0,说明其渐近线为 x 轴;其 ?e? ? 1 ? 2? 2 中,x ? 0 时, (即在对称轴 x ? 0 的右侧) , 此时 f ( x) 单调递减; 同理 f ( x) 在 x ? 0 ? ? 随 x 的增大而减小, ?e?
x2 x2

时单调递增;由偶函数的对称性知, x ? 0 时, f ( x) 有最大值 曲线越“矮胖” ,反之则越“瘦高” .

1 2 π?

; ? 决定了曲线的“高矮” : ? 越大,

18、解:
设二级品有 1 4 7 2 2 7 3 1 7
4n 4 ? , 4n ? 2n ? n 7

X
P

2 n 个,则一级品有 4 n 个,三级品有 n 个.一级品占总数的

2n 2 1 ? ,三级品占总数的 . 4n ? 2n ? n 7 7 , 2, 3) , 又设 X ? k 表示取到的是 k 级品 (k ? 1

二级品占总数的

则 P( X ? 1) ?

4 2 1 , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? , 7 7 7

∴X 的分布列为:

19、解:设 A ? “电池 A 损坏” , B ? “电池 B 损坏” ,
C ? “电池 C 损坏” ·B ·C , ,则“电路断电” ? A ∴ P( A) ? 0.3,P( B) ? 0.2,P(C ) ? 0.2 ,

∴ P( A ·B · C ) ? P( A· ) P( B· ) P(C ) ? 0.3 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.012 .

故电路断电的概率为 0.012.

20、解:设“第 1 次取到白球”为事件 A, “第 2 次取到白球”为事件 B,
则 P( A) ?
1 1 A32 A3 · A4 3 6 3 , ? P ( AB ) ? ? ? , 2 2 A5 20 10 A5 5

3 P( AB) 10 1 ∴ P( B | A) ? ? ? . 3 2 P( A) 5
即在第 1 次取到白球的条件下,第 2 次也取到白球的概率为
1 . 2

21、解:∵ EX1 ? 0 ?

6 1 3 5 3 2 ? 1? ? 2 ? ? 0.7 , EX 2 ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 0.7 . 10 10 10 10 10 10 ∴ EX 1 ? EX 2 ,说明两人出的次品数相同,可以认为他们技术水平相当. 6 1 3 ? (1 ? 0.7)2 ? ? (2 ? 0.7)2 ? ? 0.81 , 10 10 10

又∵ DX1 ? (0 ? 0.7)2 ?
DX 2 ? (0 ? 0.7)2 ?

5 3 2 ? (1 ? 0.7)2 ? ? (2 ? 0.7)2 ? ? 0.61 . 10 10 10 ∴ DX 1 ? DX 2 ,∴工人乙的技术比较稳定.

∴可以认为工人乙的技术水平更高.

22、解: (1)① P 1 ? 0.14 ? 0.08 ? 0.02 ? 0.01 ? 0.25 ;
45 3 ?1? ? 3? · ? ?· ? ? ? ② P ? C5 . 512 ?4? ?4?
3 2

(2) EX ? 0 ? 0.13 ? 1 ? 0.35 ? 2 ? 0.27 ? 3 ? 0.14 ? 4 ? 0.08 ? 5 ? 0.02 ? 6 ? 0.01 ? 1.79 , ∴ 5 EX ? 5 ? 1.79 ? 8.95 .

四、选择题 23、A 24、A

25、A 26、C 27、C 28、C 29、D 30、D 31、C 32、B 33、D 34、A 五、填空题 35、170 36、80 37、答案:①③

38、答案:

13 63

六、解答题 39、解:利用回归分析检验的步骤,先求相关系数,再确定 r0.05 .
(1)制表

i
1 0 2 3

xi

yi

xi2
1 600 1 764 2

yi2
22 500 19 600 25 00

xi yi

4 50 4 2 4 40

1 1 1

60 58 80 76

8 4 5 6 7 8 9 1 0 合 计 77
x?

60 5 1 70 6 1 50 7 1 62 8 1 85 1 1 65 1 1 90 1 1 85 7 657 1

304 3 025 4 225 6 241 7 744 1 0000 1 4400 1 9600 7 0903

600 28 900 22 500 26 244 34 225 27 225 36 100 34 225 27 7119

80 93 50 97 50 12 798 16 28 0 16 500 22 800 25 900 13 2938

5 5 9 8 00 20 40

777 1657 ? 77.7 , y ? ? 165.7 10 10
2 i

?x

? 70903 , ? yi2 ? 277119 ,

?x y
i

i

? 132938

r?

132938 ? 10 ? 77.7 ? 165.7 (70903 ? 10 ? 77.72 )(27719 ? 10 ? 165.7 2 )

? 0.808 .

即 x 与 Y 的相关关系 r ? 0.808 . (2)因为 r ? 0.75 . 所以 x 与 Y 之间具有很强的线性相关关系. (3) b ?
132938 ? 10 ? 77.7 ? 165.7 ? 0.398 , a ? 165.7 ? 0.398 ? 77.7 ? 134.9 . 70903 ? 10 ? 77.7

40、解: (1)一个球一个球地放到盒子里去,每只球都可有 4 种独立的放法,由分步乘法计数原理,放法
共有: 44 ? 256 种. (2)为保证“恰有一个盒子不放球” ,先从四个盒子中任意拿出去 1 个,即将 4 个球分 成 2,1,1 的三组,

2 有 C4 种分法;然后再从三个盒子中选一个放两个球,其余两个球,两个盒子,全排列即可.由分步乘法计

1 2 1 2 数原理,共有放法: C4 · C4 · C3 · A2 ? 144 种.

(3) “恰有一个盒内放 2 个球” ,即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此, “恰有一个盒内放 2 球”与“恰 有一个盒子不放球”是一回事.故也有 144 种放法.
2 (4) 先从四个盒子中任意拿走两个有 C4 种, 问题转化为: “4 个球, 两个盒子, 每盒必放球, 有几种放法?”

从放球数目看,可分为(3,1) , (2,2)两类.第一类:可从 4 个球中先选 3 个,然后放入指定的一个盒
3 1 2 3 1 3 子中即可, 有 C4 种放法; 第二类: 有 C4 种放法.因此共有 C4 “恰 · C2 · C2 ? C4 ? 14 种.由分步乘法计数原理得

2 有两个盒子不放球”的放法有: C4 · 14 ? 84 种.

41、解:解法一:先变形,再部分展开,确定系数.
(1 ? x)2 (1 ? x)5 ? (1 ? x2 )2 (1 ? x)3 ? (1 ? 2 x2 ? x4 )(1 ? 3x ? 3x2 ? x3 ) .
所以 x 3 是由第一个括号内的 1 与第二括号内的 ? x 3 的相乘和第一个括号内的 ?2 x 2 与第二个括号内的 ? 3 x 相 乘后再相加而得到,故 x 3 的系数为 1 ? (?1) ? (?2) ? (?3) ? 5 .
r · xr , 解法二:利用通项公式,因 (1 ? x)2 的通项公式为 Tr ?1 ? C2

(1 ? x)5 的通项公式为 Tk ?1 ? (?1)k C5k· xk , 1 , 2?,k ??0, 1 , 2, 3, 4, 5? ,令 k ? r ? 3 , 其中 r ??0,
, ?k ? 2, ?k ? 3, ?k ? 1 则? 或? 或? r ? 2 , ?r ? 1 , ?r ? 0. ?
1 1 3 ? C2 · C52 ? C5 ?5. 故 x 3 的系数为 ?C5

42、解:由公式得
540 ? (60 ? 200 ? 260 ? 20)2 320 ? 220 ? 80 ? 460 540 ? (12000 ? 5200)2 2496960 ? ? ? 9.638 . 2590720000 259072 ∵ 9.638 ? 7.879 , ∴我们有 99.5%的把握认为 40 岁以上的人患胃病 与生活是否有规律有关,即生活不规律的人易患胃病. k?

43、解:记一个病人服用该药痊愈率为事件 A,且其概率为 p,那么 10 个病人服用该药相当于 10 次独立
重复实验. (1) 因新药有效且 p=0.35,故由 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率公式知,实验被否定(即新药 无效)的概率为:

0 0 10 1 1 9 2 2 x 3 3 7 P 10 (0) ? P 10 (1) ? P 10 (2) ? P 10 (3) ? C10 p (1 ? p) ? C10 p (1 ? p) ? C10 p (1 ? p) ? C10 p (1 ? p) ? 0.514 .

(2)因新药无效,故 p=0.25,实验被认为有效的概率为: P 10 (4) ? P 10 (5) ? ? ? P 10 (10) ? 1 ? ( P 10 (0) ? P 10 (1) ? P 10 (2) ? P 10 (3)) ? 0.224 . 即新药有效,但被否定的概率约为 0.514; 新药无效,但被认为有效的概率约为 0.224.

44、解: (1) ?,? 的可能取值分别为 3,2,1,0.
2 2 2 8 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 ; P(? ? 3) ? ? ? ? ; P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 75 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 1 3 3 3 P(? ? 0) ? ? ? ? . 3 5 5 25 由题意知 ? ? ? ? 3 ,

所以 P(? ? 0) ? P(? ? 3) ?
P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 2) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? P(? ? 0) ?
?

8 ; 75

28 ; 75 2 ; 5
[来源:学科网 ZXXK]

3 . 25

的分布列为

?

3
8 75

2
28 75

1
2 5

0
3 25

P

? 的分布列为
?
0
8 75

1
28 75

2
2 5

3
3 25

P

(2) E? ? 3 ?

8 28 2 3 22 , ? 2 ? ? 1? ? 0 ? ? 75 75 5 25 15 23 . 15

因为 ? ? ? ? 3 ,所以 E? ? 3 ? E? ?


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