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2011-2018高考数学三角函数与解三角分类汇编(理)

2011-2018 新课标三角函数分类汇编
一、选择题
【2011 新课标】5. 已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? =( (A) ? B )

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

【2011 新课标】 11. 设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 且 f (? x) ? f ( x) ,则( (A) f ( x) 在 ? 0, (C) f ( x) 在 ? 0, A ) (B) f ( x) 在 ?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,

? ?

?? ??

? 单调递减 2?

? ?

? 单调递增 2?

? ? 单调递减 ? ? ? 3? ? ( D) f ( x ) 在 ? , ? 单调递增 ?4 4 ?

? ? 3? , ?4 4

【2011 新课标】 12. 函数 y ? 标之和等于( D ) (A)2 (B) 4

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有焦点的横坐 x ?1
(D)8

(C) 6

【2012 新课标】9. 已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? 围是( A )

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减。则 ? 的取值范 4 2

?

1 3 1 (B) [ , ] (C ) (0, ] 2 2 4 ? 5? 9? ? ? 2 ? (? x ? ) ? [ , ] 不合题意 排除 ( D) 【解析】 4 4 4 意 排除 ( B )(C )

1 5 ( A) [ , ] 2 4

( D) (0, 2]

? 3? 5? ? ? 1 ? (? x ? ) ? [ , ] 合题
4 4 4

【2013 新课标 1】12、设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,… cn+an bn+an 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= 2 ,cn+1= 2 ,则( B ) A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 【答案】

b1 ? 2a1 ? c1 ? 0且b1 ? c1 ?2a1 ? c1 ? c1 ?a1 ? c1 ?b1 ? a1 ? 2a1 ? c1 ? a1 ? a1 ? c1 ? 0?b1 ? a1 ? c1
又b1 ? c1 ? a1 ? 2a1 ? c1 ? c1 ? a1 ? 2c1 ? a1 ? c1 ?
由题意,bn ?1 ? cn ?1 ?

a1 2

bn ? cn 1 ? a1 ? bn ?1 ? cn ?1 ? 2a1 ? (bn ? cn ? 2a1 ) 2 2 ?bn ? cn ? 2an ? 0?bn ? cn ? 2an ? 2a1 ?bn ? cn ? 2a1
1

cn ? bn 2a ? b ? b ? bn ?1 ? (2a1 ? bn ?1 ) ? 1 n n ? a1 ? bn 2 2 1 1 ? bn ?1 ? a1 ? (a1 ? bn ) ? bn ? a1 ? (b1 ? a1 )(? ) n ?1 2 2 1 1 ? bn ? a1 ? (b1 ? a1 )(? ) n ?1 , cn ? 2a1 ? bn ? a1 ? (b1 ? a1 )(? ) n ?1 2 2 又由题意,bn ?1 ? cn ?1 ?

? Sn 2 ?

3a1 3a1 1 ? ? 3a 1 ? ? 3a ( ? a1 ) ? 1 ? a1 ? (b1 ? a1 )(? )n?1 ? ? 1 ? a1 ? (b1 ? a1 )(? )n?1 ? 2 2 2 ?? 2 2 ? ? 2

? ?a 2 ? 3 ?a 2 1 ? a12 ? 1 ? ( )n?1 (b1 ? a1 )2 ? 单调递增(可证当n=1时 ? 1 ? (b1 ? a1 )2 ? ? 0) 4 ? 4 4 ? ? 4 ?
【2014 新课标 1】8.设 α∈(0, A. 3α﹣β= 【答案】由 tanα= B. 3α+β= ,得: ) ,β∈(0, C. 2α﹣β= ) ,且 tanα= D. 2α+β= ,则( C )

,即 sinαcosβ=cosαsinβ+cosα, sin(α﹣β)

=cosα. 由等式右边为单角 α,左边为角 α 与 β 的差,可知 β 与 2α 有关.排除选项 A,B 后验证 C, 当 时,sin(α﹣β)=sin( )=cosα 成立。

【2014 新课标 2】4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=( B )

2

A. 5

B.

5

C.

2

D.

1 ( (D) D )

【2015 新课标 1】2. sin 20? cos10? ? cos160? sin 10? ? (A) ?

3 2

(B )

3 2
)

(C) ?

1 2

1 2

【2015 新课标 1】8. 函数 f(x)= 则 f(x)的单调递减区间为( D

的部分图像如图所示,

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4
(A) ( k? ?

1 3 ,2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? ,2k ? ), k ? Z 4 4
(B) (2k? ?

? ? 【2016 新课标 1】 12.已知函数 f ( x) ? sin(? x + ? )(? ? 0,
为 y ? f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x) 在 ? (A)11 (B)9 (C)7

?
2

), x ? ?

?
4

x? 为 f ( x) 的零点,


?
4

? ? 5? ? , ? 单调,则 ? 的最大值为( B ? 18 36 ?

(D)5

【答案】由题意知 T ?

1 ? 5? 2? 2? ( ? )? ?9。 ,所以 ? ? 2 4 36 9 T

2

【2016 新课标 2】7. 若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移

π 个单位长度,则平移后图象的对称 12

轴为( B ) kπ π kπ π kπ π kπ π (A) x ? ? ? k ? Z? (B) x ? ? ? k ? Z? (C) x ? ? ? k ? Z ? (D) x ? ? ? k ? Z ? 2 6 2 6 2 12 2 12 【2016 新课标 2】9. 若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin 2? =( 4 5 (A)
7 25
?π ? ? ? 3

D



1 1 7 (C) ? (D) ? 5 25 5 7 ?? ? 3 ?π ? ? 2? π 【答案】∵ cos ? ? ? ? ? , sin 2? ? cos ? ? 2? ? ? 2cos ? ? ? ? ? 1 ? , 25 ?4 ? 5 ?2 ? ?4 ?

(B)

3 【2016 新课标 3】5. 若 tanα=4,则 cos2 α+2sin2α=( 64 (A)25 48 (B)25 (C)1 16 (D)25

A



π 1 【2016 新课标 3】(8)在△ABC 中,B=4,BC 边上的高等于3BC,则 cosA=( 3 10 (A) 10 10 (B) 10 10 (C)- 10 3 10 (D)- 10

C )

2π ),则下面结论正确的是( D ) 3 π A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2 6 π B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2 12 1 π C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2 2 6 1 π D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2 2 12
【2017 新课标 1】9.已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+
π 【2017新课标3】6.设函数 f ( x) ? cos( x ? ) ,则下列结论错误的是( D ) 3

A. f ( x) 的一个周期为 ?2π C. f ( x ? ? ) 的一个零点为 x ?
? ?

B. y ? f ( x) 的图像关于直线 x ?
π 6
?

8π 对称 3

π D. f ( x) 在 ( , π) 单调递减 2
y

【解析】函数 f ? x ? ? cos ? x ? ? 的图象可由 3
π 如图可知,f x y ? cos x 向左平移 个单位得到, 3

π?

()

?p ? 在 ? , p ÷ 上先递减后递增,D错误,选D。 è2 ?

p p - O 3 6

g

2p 3 5p 3
x

【2018 新课标 2】6.在 △ABC 中, cos A. 4 2 B. 30

C 5 ? , BC ? 1 , AC ? 5 ,则 AB ? ( 2 5



C. 29
3

D. 2 5

【答案】A 【2018 新课标 2】10.若 f ( x) ? cos x ? sin x 在 [?a, a] 是减函数,则 a 的最大值是( ) π π 3π A. B. C. D. π 4 2 4 【答案】A 1 【2018 新课标 3】4.若 sin ? ? ,则 cos 2? ? ( ) 3 8 7 7 8 A. B. C. ? D. ? 9 9 9 9 【答案】B 【2018 新课标 3】9. △ ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a , b , c ,若 ?ABC 的面积为
a 2 ? b2 ? c 2 ,则 C ? ( ) 4 π π A. B. 2 3 【答案】C

C.

π 4

D.

π 6

二、填空题
【2011 新课标】16. 在 △ ABC 中, B ? 60 , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为

2 7 。
2 5 ___ 5

【2013新课标1】15、设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=___ ? 【答案】∵ f ( x) = sin x ? 2 cos x = 5( 令 cos ? =

5 2 5 sin x ? cos x) 5 5

5 2 5 , sin ? ? ? ,则 f ( x) = 5(sin x cos ? ? sin ? cos x) = 5 sin( x ? ? ) , 5 5

当 x ? ? = 2 k? ?

?
2

, k ? z ,即 x = 2k? ?

?
2

? ? , k ? z 时, f ( x) 取最大值,此时

? = 2 k? ?

?
2

? ? , k ? z ,∴ cos ? = cos(2k? ?

?
2

? ? ) = sin ? = ?

2 5 . 5

【2013 新课标 2】15.设 θ 为第二象限角,若 tan ? ? ? 【答案】由 tan ? ? ?

? ?

10 π? 1 ____. ? ? ,则 sin θ+cos θ=___ ? 5 4? 2

? ?

1 1 π ? 1 ? tan ? 1 ? ,得 tan θ= ? ,即 sin θ= ? cos θ. ?? 3 3 4 ? 1 ? tan ? 2 10 3 10 cos 2? ? 1 .因为 θ 为第二象限角,所以 cos θ= ? ,sin θ 9 10

将其代入 sin2θ+cos2θ=1,得



10 10 ,sin θ+cos θ= ? . 10 5

4

【2014 新课标 1】16.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b) (sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则 ?ABC 面积的最大值为 .

【答案】 ?ABC 中,a=2,且(2+b) (sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,利用正弦定理可得 4﹣b2= (c﹣b)c,即 b2+c2﹣bc=4.再利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc,bc≤4,当且仅当 b=c=2 时,取等号, 此时, ?ABC 为等边三角形,它的面积为 = =

【2014 新课标 2】14.函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为______1___. 【2015 新课标 1】16. 在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75° ,BC=2,则 AB 的取值范围是







.

4 5 【2016 新课标 2】13. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A ? , cos C ? , 13 5

a ? 1 ,则 b ?

21 13



4 5 3 12 【答案】∵ cos A ? , cos C ? , sin A ? , sin C ? , 13 5 13 5
sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ? 63 b a 21 ? ,由正弦定理得: 解得 b ? . 65 sin B sin A 13

【2016 新课标 3】(14)函数 y=sinx- 3cosx 的图像可由函数 y=sinx+ 3cosx 图像至少向右 2π 平移_______ 3 ____个单位长度得到。 【2017 新课标 2】14.函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 3 cos x ?
3? ? ? ? π?? ??

3 ? ?? ( x ? ?0, ? )的最大值是 4 ? 2?
3 , 4

1



【解析】 f ? x ? ? sin 2 x ? 3 cos x ? ? x ? ?0 , ? ? , f ? x ? ? 1 ? cos2 x ? 3 cos x ? 4 2
2

? 3 1 3? 令 cos x ? t 且 t ? ?0 , ,则当 t ? 时, f ? x ? 取最大值 1。 1? , y ? ?t ? 3t ? ? ? ? t ? ? ? ? ?1 2 2 4 ? ?
2

【2018 新课标 1】16.已知函数 f ? x ? ? 2sin x ? sin 2 x ,则 f ? x ? 的最小值是________. 【答案】 ?

3 3 2
1 2
? ? π? ?

【2018 新课标 2】15.已知 sin α ? cos β ? 1 , cos α ? sin β ? 0 ,则 sin(α ? β ) ? __________. 【答案】 ?

【2018 新课标 3】15.函数 f ? x ? ? cos ? 3x ? ? 在 ?0 ,π? 的零点个数为________. 6 【答案】3
5

三、解答题
【2012 新课标】已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边,

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A
【答案】 (1)由正弦定理得:

(2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin( a ? C) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30 ? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60? 1 (2) S ? bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2 1 2

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4 , 解得: b ? c ? 2

【2013 新课标 1】17、如图,在△ABC 中,∠ABC=90° , AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90° 1 (1)若 PB=2,求 PA; (2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA 【解析】 (1)由已知得,∠PBC= 60 o ,∴∠PBA=30o,在△PBA 中, 由余弦定理得 PA2 = 3 ?

C

P A B

1 1 7 7 ? 2 ? 3 ? cos 30o = ,∴PA= ; 4 2 4 2

(2) 设∠PBA= ? , 由已知得, PB= sin ? , 在△PBA 中, 由正弦定理得, 化简得, 3 cos ? ? 4sin ? ,∴ tan ? =

3 sin ? , ? o sin150 sin(30o ? ? )

3 3 ,∴ tan ?PBA = . 4 4

【2013 新课标 2】17.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B;(2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 【答案】 (1)由已知及正弦定理得: sin A=sin Bcos C+sin Csin B.① 又 A=π-(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B, 又 B∈(0,π),所以 B ? (2)△ABC 的面积 S ?

π . 4

π 1 2 ac sin B ? ac . 由已知及余弦定理得 4=a2+c2- 2ac cos . 4 2 4 4 又 a2+c2≥2ac, 故 ac ? , 当且仅当 a=c 时, 等号成立.因此△ABC 面积的最大值为 2+1 . 2? 2
6

【2015 新课标 2】 (17)?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,?ABD 是?ADC 面积的 2 倍。(1)求 【解析】

sin ?B ; sin ?C

(2) 若 AD =1, DC =

2 求 BD 和 AC 的长。 2

【2016 新课标 1】17. △ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别别为 a,b,c,已知

2cos C (a cos B+b cos A) ? c. (1)求 C; (2)若 c = 7,△ ABC 的面积为
长. 【答案】

3 3 ,求 △ ABC 的周 2

o s (Cc o a s (1) 由 2c

B+b c o s ) A

o s C? c ? 得 2cos C (sinA cos B+ sinB cos A) ? sin C , 即c

1 , 2

又 C ? (0, ? ) ,? C ? (2) cos C ?

?
3



1 3 3 a 2 ? b2 ? 7 1 ,? ab ? 6 , a 2 ? b2 ? 13 ? , S△ ABC = ab sin C = 2ab 2 2 2

?a ? b ? a2 ? b2 ? 2ab ? 5 ,所以 △ ABC 的周长为 5 ? 7 .
【2017 新课标 1】 17. △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知△ABC 的面积为 (1)求 sinBsinC; (2)若 6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长。

a2 。 3sin A

1 a 1 a2 ac sin B ? ,即 c sin B ? . 2 3sin A 2 3sin A 1 sin A 2 由正弦定理得 sin C sin B ? ,故 sin B sin C ? . 2 3sin A 3 1 1 (2)由题设及(1)得 cos B cos C ? sin B sin C ? ? , ,即 cos( B ? C) ? ? 。 2 2
【答案】 (1)由题设得 所以 B ? C ?

2π π 1 a2 ,故 A ? ,由题设得 bc sin A ? ,即 bc ? 8 . 3 3 2 3sin A

由余弦定理得 b2 ? c 2 ? bc ? 9 ,即 (b ? c)2 ? 3bc ? 9 ,得 b ? c ? 33 , 故 △ABC 的周长为 3 ? 33 。
7

【2017 新课标 2】17. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 sin( A ? C ) ? 8sin 2 (1)求 cos B (2)若 a ? c ? 6 , ?ABC 面积为 2,求 b。 【答案】 1 ? cos B 2 B ? 8? ? 4(1 ? cos B) . (1)依题得: sin B ? 8sin 2 2 ∵ sin 2 B ? cos2 B ? 1 ,∴ 16(1 ? cos B)2 ? cos2 B ? 1 ,∴ (17 cos B ? 15)(cos B ? 1) ? 0 ,∴ cos B ? (2)由⑴可知 sin B ? ∵ cos B ?
8 1 1 8 17 . ∵ S△ ABC ? 2 , ∴ ac ? sin B ? 2 ,∴ ac ? ? 2 ,∴ ac ? , 17 2 2 17 2 15 , 17

B 2

15 a2 ? c2 ? b2 15 ? , ∴ a 2 ? c2 ? b2 ? 15 ,∴ (a ? c)2 ? 2ac ? b2 ? 15 , ,∴ 17 2ac 17 2 b ? 2 . ∴ 36 ? 17 ? b ? 15 ,∴

【2017新课标3】 已知 sin A ? 3 cos A ? 0 , 17. ?ABC 的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, a?2 7 , b?2. (1)求c; (2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD ? AC ,求 △ABD 的面积。 【答案】
π? ? π (1)由 sin A ? 3 cos A ? 0 得 2sin ? A ? ? ? 0 ,即 A ? ? kπ ? k ? Z? ,又 A ? ? 0, π ? , 3? ? 3

π 2π ? π ,得 A ? ,由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? cos A , 3 3 1 2 又∵ a ? 2 7, b ? 2,cos A ? ? 代入并整理得 ? c ? 1? ? 25 ,故 c ? 4 . 2

∴ A?

(2)∵ AC ? 2, BC ? 2 7, AB ? 4 ,由余弦定理 cos C ?

a 2 ? b2 ? c2 2 7 ? . 2ab 7

∵ AC ? AD ,即 △ ACD 为直角三角形,则 AC ? CD ? cos C ,得 CD ? 7 . 2π 2π π π 2 2 ? ? , 由勾股定理 AD ? CD ? AC ? 3 ,又 A ? ,则 ?DAB ? 3 3 2 6 1 π S△ABD ? AD ? AB ? sin ? 3 . 2 6

【2018 新课标 1】17. 在平面四边形 ABCD 中, ∠ADC ? 90? , ∠ A ? 45? , AB ? 2 , BD ? 5 . (1)求 cos∠ADB ; (2)若 DC ? 2 2 ,求 BC . 【解析】 (1)在 △ABD 中,由正弦定理得

BD AB ? . sin ?A sin ?ADB
8

由题设知,

5 2 2 ? ,所以 sin ?ADB ? . sin 45? sin ?ADB 5

由题设知, ?ADB ? 90? ,所以 cos ?ADB ? 1 ?

2 23 . ? 25 5
2 . 5 2 ? 25 . 所以 BC ? 5 . 5

(2)由题设及(1)知, cos ?BDC ? sin ?ADB ? 在 △BCD 中,由余弦定理得

BC 2 ? BD2 ? DC 2 ? 2 ? BD ? DC ? cos ?BDC ? 25 ? 8 ? 2 ? 5 ? 2 2 ?

9


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