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2010矩阵论试卷及答案


2010 年矩阵论试卷
一.填空题(每题 3 分,共 30 分)
?? 0 0 ? 1. 设 矩 阵 A ? ? 0 ? 1 ? , 则 ? I ? A 的 所 有 行 列 式 因 子 为 D1 (? ) ? 1 , ? ? ? ? 0 0 ? ? ?

D2 (? ) ? (? ? ? ) , D3 (? ) ? (? ? ? )3 。

?0 a a? ? (a ? R ) 。a ? ( ? 1 , 1 ) a a 0 2. 设 A ? ? ? ? 2 2 ? ?a a 0 ? ?

时,A k 为收敛于 O 3?3 的矩阵序列。

?? 0? H 3. 设 A 的奇异值分解为 A ? U ? V ,如果 A 为可逆矩阵,则 A?1 的奇异值 ? ? 0 0?
分解为 A?1 ? V ? ?1U H 。

? i 3 4? ? ,则向量范数 ?1 1 ? 4. 设 A ? ? ? 2 0 1 ? ? ??1 ? 2 ? 3 ? ? ?2 5 2? ?

5 , ?1

?

?

2 ;

矩阵范数 A

F

?

8 。

5. 设 x 是 A ? C m?m 的特征向量, y 是 B ? C n?n 的特征向量,则 A ? B 的特征向量
是x? y 。

6. 设 V1 ? ? x ? C n x1 ? x2 ? ? ? xn ? 0? ; V2 ? ? x ? C n x1 ? x2 ? ? ? xn ?
则 V1 ? V2 ?

Cn



0 ? ?0.2 0 ?? ? ,则 Ak ? 7. 已知 A ? ? 0 0.5 0 ? ? ? k ?0 ? 0 0.2 ? ? 0 ?

?5 ?4 ? ?0 ? ?0 ?

0 2 0

? 0? ? 0? 5? ? 4?



?1 ?1 2 ? ? ,B ? (kI ? A) 2 ( I 为与 A 同阶单位阵),则与 B 相似的对 8. 已知 A ? ? ?0 2 ?2i ? ? 1 ? ?0 0 ?

? (k ? 1) 2 ? 角阵 ? ? ? 0 ? 0 ?

0 (k ? 2) 0
2

? ? 0 ?。 (k ? 1) 2 ? ? 0

9. 已 知 A ? C n?n , rank ( A) ? r , 则 子 空 间 S ( A) ? B B ? C n?n , AB ? 0 的 维 数

?

?

dim S ( A) ?

n( n ? r )



10. 设线性空间 V 4 的两个基分别为(I) x1 , x2 , x3 , x4 ; (II) : y1 , y2 , y3 , y4 且满足
? x1 ? 2 x2 ? y3 ? ? x2 ? 2 x3 ? y4 ? y1 ? 2 y2 ? x3 ? ? y2 ? 2 y3 ? x4

则由基(I)到基(II)的过渡矩阵为

? 4 ?2 ? 8 ?4 ? ?1 0 ? ? ?2 1

1 2 0 0

0? 1? ? 2? ? 0?



二. (15 分)设 ?1 , ? 2 , ? 3 是欧氏空间 R 3 的一个基,
? 1 ?1 1 ? ? 该基的度量矩阵为 A ? ? ? ?1 2 0 ? ? ? 1 0 4? ?

(1)求内积 (?1 ? ? 2 , ?1 ) , (? 2 , ? 3 ) , (?1 ? 2? 2 ? ? 3 , 2? 2 ? ? 3 ) (2)求 R 3 用 ?1 , ? 2 , ? 3 表示的一个标准正交基。 (3)设 ?1 ? ?1 ? ? 2 , ? 2 ? 2?1 ? 3? 2 ? 2? 3 , ? 3 ? ?1 ? 3? 2 ? 2? 3 为 R 3 的一组基, 求该基的度量矩阵。 解答: (1)记 A ? (aij )3?3 ,则 (? i , ? j ) ? aij ,从而有

(?1 ? ? 2 , ?1 ) ? (?1 , ?1 ) ? (? 2 , ?1 ) ? 1 ? ( ?1) ? 0 (? 2 , ? 3 ) ? 0 ; (?1 ? 2? 2 ? ? 3 , 2? 2 ? ? 3 ) ? 3

(2)根据施密特正交法计算:

?1 ? ? 1 ; ? 2 ? ? 2 ?
?3 ? ?3 ?

(? 2 , ?1 ) ?1 ? ? 2 ? ? 1 ( ?1 , ?1 )

(? 3 , ?1 ) (? , ? ) ?1 ? 3 2 ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ? 2?1 ( ?1 , ?1 ) (?2 , ?2 )

?1 ? 1 , ? 2 ? 1 , ? 3 ? 2
标准正交基为 ? 1 ? ?1 , ? 2 ? ? 2 ? ?1 , ? 3 ? (3)设 ?1 , ? 2 , ? 3 的度量矩阵为 B ,且
? 1 2 1? ? ( ?1 , ? 2 , ? 3 ) ? (?1 , ? 2 , ? 2 ) ? ? ?1 3 3 ? ? (?1 , ? 2 , ? 2 ) P ? ? 0 2 2? ? ? 5 ?3 ?5 ? ? 则 B ? P AP ? P AP , B ? ? ? ?3 34 33 ? 。 ? ? ?5 33 33 ? ?
H T

1 (? 3 ? ? 2 ? 2?1 ) 2

? 5 0 ?1 ? ? ? 三. (15 分)已知 A ? ? 1 6 1 ? , ?1 0 7 ? ? ?
(1) 求 A 的若当标准型 J; (2) 计算 cos A 和 e
。 0 1 ? 0 ? ? 5? ?? ?5 ? 1 ? ? 初等 ? ? ? ? ?1 ? ? 6 ?1 ? 解答: (1)由 ? I ? A ? ? ?1 ? ? 6 ?1 ? ??? 变换 ? ?1 ?? ?7 ?1 ? ? ? 7? 0 0 ? ? ? ? 0 0 ? ?1 ? ? 初等 ??? ??0 ? ? 6 0 ? 变换 ?0 0 (? ? 6)2 ? ? ? ?6 0 0? ? 故得矩阵 A 的约当标准型为 J ? ? ?0 6 1? 。 ? ?0 0 6? ?
A

. 利用 1 中结果, 设可逆矩阵 P ? ? 使得 A ? PJP ?1 , 即 AP ? PJ , (2) ??1 , ? 2 , ? 3 ? ?,

? A?1 ? 6?1 ?(6I ? A)?1 ? 0 ? ? 得 ? A? 2 ? 6? 2 ,即求解方程组 ?(6I ? A)? 2 ? 0 , ? A? ? ? ? 6? ? 3 2 ?( ?6I ? A)? 3 ? ? 2 ? 3

1? 1 ?1 1 ?1 ? ? 1 1 1? 解 ?1 ? ? ,?3 ? ? ? ? ,?2 ? ? ? ? 0? ? 2? 2 ?2 2 ?2 ? ? 2 2 2? 1 1 ? ? 1 ? 2 ?2 2 ? ?1 1 0 ? ? ? 1 1 1? ? ?1 ? ? ,P ? ? P? ?1 1 2 ? 。 ? 2 2 2? ? ? 1 1 ? ?2 0 2? ? ?? 0 ? ? ? ? 2 2 ? 则利用矩阵函数知识有 1 1 ? ? 1 ? 2 ?2 2 ? 0 0 ?? 1 1 ? ? ? f (6) 1 1 1 ?? ?? ?1 ' ? f ( A) ? Pf ? J ? P ? f (6) f (6) ? ? 1 1 ? ? 0 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ?? 0 f (6) ? 0 ?? 2 0 1 1 ?? 0 ? ? 2 2 ? ? ? ? f (6) ? f ' (6) ? f ' (6) ?? ? f ' (6) ?
0 f (6) 0

T

T

T

,即得矩阵

0? ? 2? 2? ?

? ? f (6) ? f (6) ? f ' (6) ? ? ? f ' (6)
'

?0 ? x 6 ' 6 A 当 f ( x ) ? e 时, f (6) ? e , f (6) ? e ,故 e ?? ? e 6 ? e6 ?
当 f ( x ) ? cos x 时, f (6) ? cos 6 , f ' (6) ? ? sin 6 ,
0 sin 6 ? ? cos 6 ? sin 6 ? cos 6 ? sin 6 ? 故 cos A ? ? ? sin 6 ?。 ? 0 cos 6 ? sin 6 ? ? ? sin 6 ?

0 e6 0

?e6 ? ? e6 ? ; 2e 6 ? ?

四. (8 分) 设 ? 是 C n?n 上的矩阵范数, ? 是给定的非零 n 维向量, 对任意 x ? C n , 定义 x * ? xa H ,试证明 ? * 为与 ? 相容的向量范数。 证明: (1)正定性:因为 ? ? 0 ,故只要 x ? 0 ,则 xa H ? 0 ,从而

x * ? xa H ? 0
(2)奇次性:对 ?k ? C (或 R ),则

kx * ? kxa H ? k xa H ? k x
(3)三角性:对 ?y ? C (或 R ),有

*

x ? y * ? ( x ? y )a H ? xa H ? ya H ? xa H ? ya H ? x * ? y
(4)向量范数与矩阵范数的相容性:

*

Ax * ? Axa H ? A xa H ? A x

*

故得结论, ? * 为一个向量范数,且与矩阵范数 ? 相容。
?a 五. (7 分)设 A ? ? 11 ?a 21
a12 a 22 a13 a 23 a14 ? , Y ? ? y1 a 24 ? ?

y2

y3

y 4 ? 是常向量,
T

求:

d ( AY )T d ( AY ) , dA dA
? 4 ( AY ) T ? ?? a1 j y j ? j ?1
0 y1
y3 0 0 y3

? 4 ? ? ? a1 j y j ? ? 解答: AY ? ? j4?1 ? a y ? 2j j? ?? ? j ?1 ?
?y ? ( AY ) T d ( AY ) T ?( )?? 1 ?aij dA ?0
? y1 ?0 d ( AY ) ? ( AY ) )?? ?( ?0 dA ?aij ? ? y1 y2 0 0 y2

?a
j ?1

4

2j

? yj? ?
0? y4 ? ?

y2

0

0 y2
y4 ? 0? ? 0? ? y4 ?

y3

0

0 y3

y4

0

2 2 六. (10 分)设 Hermite 二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? x12 ? ax2 ? x3 ? 2 x1 x2 ? 2ax1 x3 ? 2 x2 x3 的

正负惯性指数都是 1。 (1)求参数 a ; (2)求一个酉变换 x = Uy,化二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 为标准型。
? 1 1 ?a ? ? ,因为 f ( x , x , x ) 的正负惯性指 解: (1)二次型对应的矩阵为 A ? ? 1 2 3 ? 1 a ?1 ? ? ? ? ? a ?1 1 ?

数都为 1,则有矩阵 A 有一个 0 特征值,不妨设 ?1 ? 0 ,对应的行列式 A ? 0 ,于 是,
1 1 1 a ?a ?1 ? 3a ? a 3 ? 2 ? 0 1

?a ?1

解得 a ? ?2 或 a ? 1 。 (i)当 ? ? 1 时, A ? ? E ? ?? 3 ? 3? ? 0 ,解得 ?1,2 ? 0 , ?3 ? 0 (舍去) (ii)当 ? ? ?2 时, A ? ? E ? ?? 3 ? 9? ? 0 ,解得 ?1 ? 0 , ?2 ? 3 , ?3 ? ?3 (2)由于 ?1 ? 0 , ?2 ? 3 , ?3 ? ?3 ,所以,二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? x12 ? ? x2 ? x3 ? 2 x1 x2 ? 4 x1 x3 ? 2 x2 x2 的标准型为 2 2 。 f ( y1 , y2 , y3 ) ? 3 y12 ? (?3) y2 ? 0 y3

6 0? ?4 ? 七. (10 分)求矩阵 A ? ?? 3 ? 5 0? ? 的谱分解。 ? ?? 3 ? 6 1? ?

解答:先求 A 的特征值和特征向量,由

??4 ?E ? A ?
3 3

?6

0 0

? ?5
6

? ?? ? 1? ?? ? 2 ?
2

? ?1

得 A 的特征值为: ?1 ? ? 2 ? 1, ?3 ? ?2
?? 3 ? 6 0? ? x1 ? ? ? 当 ? ? 1 时,由方程组 ? 6 0? ?3 ? ? x2 ? ? 0 ? 6 0? ?3 ?? ? x3 ? ?

求得特征向量为 ? 1 ? ?2 ? 1 0? , ? 2 ? ?0 0 1?
T

T

?? 6 ? 6 0 ? ? x1 ? ? ? 当 ? ? ?2 时,由方程组 ? 3 0? ?3 ? ? x2 ? ? 0 ? 6 ? 3? ?3 ?? ? x3 ? ?

求得特征向量为 ? 3 ? ?? 1 1 1?

T

所以, P ? ?? 1 ? 2

1 0? ?1 ? 2 0 ? 1? ? ? ? ?1 ? 3 ? ? ?? 1 0 1 ?, P ? ?? 1 ? 2 1? ? ? ? 2 0? ?1 ? ?0 1 1? ?

2 0? ? 2 0? ?2 1 0? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 ? 1 0? E1 ? ?? 1 0? ? ? ? ?? 1 ? 2 1? ?? 1 ? 2 1? ? ? 0 1 ? ? ? ?

?? 1 ? 2 0? ?? 1? ? ? A ? E1 ? 2 E 2 E 2 ? ? 1 ??1 2 0? ? ? 2 0? ?1 ? ,故 A 的谱分解表达式为 ? ? 2 0? ?1 ? ?1? ?

八. (5 分)设矩阵 A ? C n?n ,证明 (1) 当正数 ? 充分小时, A ? ? I 可逆; (2) 极限 lim( A ? ? I ) ?1 Ak 存在当且仅当 rankAk ? rankAk ?1 , 其中 k 为某一给定的
? ?0

非负整数。 证明 (1)由矩阵的若当分解:
* ? ?1 ? ? ? ??1 * ? ? ? ? ? ?2 * ?2 ? ? * ?1 ? ? ? ? P ?1 , A? P P , A??I ? P ? ? * ? ? *? ? ? ? ? ? ?n ? ?n ? ? ? ? ? 当正数 ? 充分小时, A ? ? I 的对角元素都不是 0,所以 A ? ? I 可逆。

(2) 若 A 可逆或 A ? 0 命题显然,下设 A 不可逆且 A ? 0 。
在(1)中矩阵 A 的若当分解中不妨设 ?1 , ?2 ,? , ?r ? 0 , ?r , ?r ?1 ,? , ?n ? 0 。



?? A? P? ?0

0 ? ?1 P N? ?



? ?1 * ? ? ? *? ??? ? ? ? ? r? ?



?0 * ? ? N ? ? ? *? ? ? ? 0 ? ?



?? ? ? I A??I ? P? ? 0

0 ? ?1 P N ??I? ?
? ?1 ? P 存在 (N ? ? I ) N ? 0
?1 k

? (? ? ? I ) ?1 ? k lim( A ? ? I ) ?1 Ak ? P lim ? ? ?0 ? ?0 0 ?

? lim( N ? ? I ) ?1 N k 存在
? ?0

由于 N l ? 0 ,所以

( N ? ? I ) ?1 N k ?
? ?0

1

?

1 1 1 1 1 ( I ? (? N )) ?1 N k ? [ I ? (? N ) ? (? N ) 2 ? ? ? (? N )l ?1 ]N k ,

?

?

?

?

?

所以 lim( N ? ? I ) N 存在
?1 k

? N k ? 0 ? rankAk ? rankAk ?1 。


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