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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2第一章 空间中的垂直关系(二)


1.2.3
一、基础过关

空间中的垂直关系(二)

1. 已知三条相交于一点的线段 PA、PB、PC 两两垂直,点 P 在平面 ABC 外,PH⊥面 ABC 于 H,则垂足 H 是△ABC 的 A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 ( ) ( )

2. 设有直线 m、n 和平面 α、β,则下列结论中正确的是 ①若 m∥n,n⊥β,m?α,则 α⊥β; ②若 m⊥n,α∩β=m,n?α,则 α⊥β; ③若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β. A.①② C.②③ B.①③ D.①②③

3. 过两点与一个已知平面垂直的平面 A.有且只有一个 C.一个或无数个 B.有无数个 D.可能不存在

(

)

4. 平面 α∩平面 β=l,平面 γ⊥α,γ⊥β,则 A.l∥γ C.l 与 γ 斜交 B.l?γ D.l⊥γ

(

)

5. 若 α⊥β,α∩β=l,点 P∈α,PD/∈l,则下列命题中正确的为________.(只填序号) ①过 P 垂直于 l 的平面垂直于 β; ②过 P 垂直于 l 的直线垂直于 β; ③过 P 垂直于 α 的直线平行于 β; ④过 P 垂直于 β 的直线在 α 内. 6. α、β、γ 是两两垂直的三个平面,它们交于点 O,空间一点 P 到 α、β、γ 的距离分别是 2 cm、3 cm、6 cm,则点 P 到 O 的距离为________. 7. 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC.

求证:BC⊥AB.

8. 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E、F 分别是 A1B、A1C 的中点, 点 D 在 B1C1 上,A1D⊥B1C1. 求证:(1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C1. 二、能力提升 9. 若平面 α 与平面 β 不垂直,那么平面 α 内能与平面 β 垂直的直线有 A.0 条 C.2 条 B.1 条 D.无数条 ( ) ( )

10.设 l 是直线,α,β 是两个不同的平面,下列结论中正确的是 A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β

11.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,BC1⊥AC,则点 C1 在底面 ABC 上 的射影 H 必在直线__________上.

12.如图所示,在多面体 P—ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边 三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5.

(1)设 M 是 PC 上的一点, 求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积. 三、探究与拓展 13.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面△ABC 中,AB=BC,能否在侧棱 BB1 上找到一点 E, 使得截面 A1EC⊥侧面 AA1C1C?若能找到,指出点 E 的位置;若不能找到,说明理由.

答案
1.C 2.B 3.C 4.D 5.①③④ 6.7 cm 7.证明 在平面 PAB 内,作 AD⊥PB 于 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC, 且平面 PAB∩平面 PBC=PB. ∴AD⊥平面 PBC. 又 BC?平面 PBC, ∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴PA⊥BC, ∴BC⊥平面 PAB. 又 AB?平面 PAB, ∴BC⊥AB. 8.证明 (1)由 E、F 分别是 A1B、A1C 的中点知 EF∥BC.

因为 EF?平面 ABC,BC?平面 ABC. 所以 EF∥平面 ABC. (2)由三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱知 CC1⊥平面 A1B1C1. 又 A1D?平面 A1B1C1, 故 CC1⊥A1D. 又因为 A1D⊥B1C1,CC1∩B1C1=C1,故 A1D⊥平面 BB1C1C, 又 A1D?平面 A1FD, 所以平面 A1FD⊥平面 BB1C1C. 9.A 11.AB 12.(1)证明 在△ABD 中, ∵AD=4,BD=8,AB=4 5, ∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD. 又∵面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD, BD?面 ABCD, ∴BD⊥面 PAD,又 BD?面 BDM, ∴面 MBD⊥面 PAD. 10.B

(2)解 过 P 作 PO⊥AD, ∵面 PAD⊥面 ABCD, ∴PO⊥面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高. 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形, ∴PO=2 3. 在底面四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=2DC, ∴四边形 ABCD 为梯形. 4×8 8 5 在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 = ,此即为梯形的高. 5 4 5 ∴S 四边形 ABCD= 2 5+4 5 8 5 × =24. 2 5

1 ∴VP—ABCD= ×24×2 3=16 3. 3 13.解 假设能找到符合题意的点 E.如图所示,作 EM⊥A1C 于点 M.因为 截面 A1EC⊥侧面 AA1C1C,所以 EM⊥侧面 AA1C1C.取 AC 的中点 N, 连接 MN,BN,因为 AB=BC,所以 BN⊥AC. 又因为 AA1⊥BN, 所以 BN⊥侧面 AA1C1C, 所以 BN∥EM. 因为平面 BEMN∩平面 AA1C1C=MN, BE∥平面 AA1C1C, 所以 BE∥MN∥A1A. 因为 AN=NC,所以 A1M=MC. 因为四边形 BEMN 为矩形, 1 所以 BE=MN= A1A. 2 所以当 E 为 BB1 的中点时,平面 A1EC⊥侧面 AA1C1C.


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